课件49张PPT。第2章 函 数2.1 函数的概念
2.1.2 函数的表示方法列表等式图象不同部分解析表达式并并解析式一个同一求函数解析式 分段函数 方程组法求解析式 点击右图进入…Thank you for watching !2.1.2 函数的表示方法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)
2.了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点)
通过学习本节内容进一步提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.
1．函数的表示方法
2．分段函数
(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．
(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．
(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示． ( )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示． ( )
(3)有些函数能用三种方法来表示． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．若函数f(x)＝则f(x)的定义域为______，值域为________．
{x|x≠0} {y|y>－1} [定义域为{x|x>0或x<0}＝{x|x≠0}，
当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)>－1，∴值域为{y|y>－1}．]
3．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种方法表示函数y＝f(x)．
[解] 列表法：
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
解析法：y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．
图象法：
求函数解析式
【例1】 求下列函数的解析式．
(1)已知f(x)为一次函数，f(2x＋1)＋f(2x－1)＝－4x＋6，则f(x)＝________.
(2)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________.
(3)已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.
(4)设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为________．
(5)若f ＝x2＋，则f(x)＝________.
思路点拨：(1)(3)(4)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把＋1看作一个整体来求解．(5)可以把x－看作一个整体来求解．
(1)－x＋3 (2)x2－1(x≥1) (3)2x－或－2x＋1
(4)f(x)＝ (5)x2＋4
[(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
f(2x＋1)＝a(2x＋1)＋b，
f(2x－1)＝a(2x－1)＋b，
f(2x＋1)＋f(2x－1)＝4ax＋2b＝－4x＋6，
所以解得
即函数f(x)的解析式为f(x)＝－x＋3.
(2)法一：令＋1＝t(t≥1)，
则＝t－1，x＝(t－1)2，
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二：f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)设所求函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，
所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－1，
则
解得或
所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(4)由题意得解得
故f(x)＝
(5)f ＝x2＋＝＋4，
∴f(x)＝x2＋4.]
求函数解析式的常用方法
?1?待定系数法：已知函数f?x?的函数类型，求f?x?的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程?组?，确定其系数即可.
?2?换元法：令t＝g?x?，注明t的范围，再求出f?t?的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f?x?，一定要注意t的范围即为f?x?中x的范围.
?3?配凑法：已知f?g?x??的解析式，要求f?x?时，可从f?g?x??的解析式中拼凑出“g?x?”，即用g?x?来表示，再将解析式两边的g?x?用x代替即可.
?4?代入法：已知y＝f?x?的解析式求y＝f?g?x??的解析式时，可直接用新自变量g?x?替换y＝f?x?中的x.
1．(1)已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f(2)＝3，f(1)＝3，则f(x)＝________.
(2)若f＝＋，则f(x)＝________.
(1)x＋ (2)x2－x＋1(x≠1)
[(1)设f(x)＝k1x＋，则?
∴f(x)＝x＋.
(2)令t＝(t≠1)，则x＝，∴f(t)＝＋(t－1)＝t2－t＋1，
∴f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．]
分段函数
【例2】 已知函数f(x)＝
试求f(－5)，f(－)，f 的值．
思路点拨：要求各个函数值，需要把自变量代入到相应的解析式中．
[解] 由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2(－)
＝3－2.
因为f＝－＋1＝－，
－2<－<2，
所以f ＝f
＝＋2×
＝－3＝－.
1．(变结论)本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．
[解] ①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，所以a＝2>－2不合题意，舍去．
②当－2
即a2＋2a－3＝0.
所以(a－1)(a＋3)＝0，所以a＝1或a＝－3.
因为1∈(－2,2)，－3(－2,2)，
所以a＝1符合题意．
③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意．
综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
2．(变结论) 本例条件不变，若f(m)>m(m≤－2或m≥2)，求实数m的取值范围．
[解] 若f(m)>m，
即或
即m≤－2或
所以m≤－2或m≥2.
所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．
2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值范围的并集即可．
求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．
方程组法求解析式
[探究问题]
1．解二元一次方程组的主导思想是什么？
[提示] 主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．
2．解方程组：
[提示] 法一(代入消元法)：由②得A＝B＋6，代入①得B＋6＋B＝4，∴B＝－1，代入A＝B＋6，得A＝5，∴A＝5，B＝－1.
法二(加减消元法)：①＋②得2A＝10，∴A＝5，
①－②得2B＝－2，∴B＝－1.
3．探究2中，每个等式右边如果是代数式，如能求A，B吗？
[提示] 能求A，B.仍可以采用上述两种方法．
两式相加得2A＝x2＋4x，∴A＝，
两式相减得2B＝x2－4x，∴B＝.
【例3】 求解析式．
(1)已知f(x)＋2f(－x)＝，求f(x)；
(2)已知2f(x)＋f ＝3x，求f(x)．
思路点拨：将f(x)与f(－x)，f(x)与f 分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f(x)．
[解] (1)∵f(x)＋2f(－x)＝，①
用－x替换x得f(－x)＋2f(x)＝－，②
②×2－①得3f(x)＝－－＝－，∴f(x)＝－.
(2)∵2f(x)＋f ＝3x，
用替换x得2f ＋f(x)＝，
消去f 得3f(x)＝6x－，∴f(x)＝2x－.
方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数，互为相反数(f(－x)，f(x))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用或－x替换原式中的x即可．
2．已知f(x)满足f(x)＝2f ＋x，则f(x)的解析式为________．
f(x)＝－－ [因为f(x)＝2f ＋x，用替换x得f ＝2f(x)＋，
代入上式得f(x)＝2＋x，
解得f(x)＝－－.]
1．函数三种表示法的优缺点
2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．
3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．
1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
C [先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．
距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]
2．已知函数f(3x＋1)＝x2＋3x＋2，则f(10)＝________.
20 [令3x＋1＝10，∴x＝3，代入得f(10)＝32＋3×3＋2＝20.]
3．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝________.
3x－2 [设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，
∴∴
∴f(x)＝3x－2.]
4．已知函数f(x)＝
(1)求f(2)，f(f(2))的值；
(2)若f(x0)＝8，求x0的值．
[解] (1)∵0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，
∴f(2)＝22－4＝0，f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4.
(2)当0≤x0≤2时，由x－4＝8，得x0＝±2(舍去)；
当x0>2时，由2x0＝8，得x0＝4.∴x0＝4.
课时分层作业(八) 函数的表示方法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．设f(x)＝则f(f(－2))＝( )
A．－1 B．
C． D．
C [因为－2<0，所以f(－2)＝2－2＝>0，
所以f ＝1－＝1－＝.]
2.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f ＝( )
A． B．
C．－ D．
B [由图象知，当－1＜x＜0时，f(x)＝x＋1，
当0＜x＜1时，f(x)＝x－1，
∴f(x)＝∴f ＝－1＝－，
∴f ＝f ＝－＋1＝.]
3．设f(x)＝g(x)＝
则f(g(π))的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．π
B [∵π是无理数，∴g(π)＝0，则f(g(π))＝f(0)＝0.]
4．函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0
C [依题意，可知函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，∴c<0.
令x＝0，得f(0)＝，又由图象知f(0)>0，∴b>0.
令f(x)＝0，得x＝－，结合图象知－>0，∴a<0.
故选C.]
5．设函数f(x)＝若f ＝4，则b＝( )
A．1 B．
C． D．
D [f ＝3×－b＝－b，若－b<1，即b>，则3×－b＝－4b＝4，解得b＝，不符合题意，舍去；若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.]
二、填空题
6．设函数f ＝x，则f(x)＝________.
(x≠－1) [设t＝(t≠－1)，∴x＝，
∴f(t)＝(t≠－1)，
∴f(x)＝(x≠－1)．]
7．已知函数y＝使函数值为5的x的值是________．
－2 [若x2＋1＝5，则x2＝4，又∵x≤0，∴x＝－2；
若－2x＝5，则x＝－，与x>0矛盾，故答案为－2.]
8．若函数f(x)满足关系式f(x)＋2f ＝3x，则f(2)的值为________．
－1 [把x＝2代入得f(2)＋2f ＝6，把x＝代入得f ＋2f(2)＝，解方程组可得f(2)＝－1.]
三、解答题
9．已知二次函数f(x)满足f(0)＝0，且对任意x∈R总有f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．
[解] 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝c＝0，
∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)
＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，
f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1
＝ax2＋(b＋1)x＋1.
∴∴
∴f(x)＝x2＋x.
10．设f(x)＝
(1)在下列直角坐标系中画出f(x)的图象；
(2)若f(t)＝3，求t值．
[解] (1)如图
(2)由函数的图象可得：f(t)＝3即t2＝3且－1＜t＜2，∴t＝.
[等级过关练]
1．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(f(2)))＝( )
A．0 B．2
C．4 D．6
B [由题意可知f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2，
因此，有f(f(f(2)))＝f(f(0))＝f(4)＝2.]
2．已知f(x)＝则f(3)＝________.
2 [由函数解析式可知f(3)＝f(5)＝f(7)＝2.]
3．已知f(x)满足f(x)＋3f(－x)＝x2－3x，则f(x)＝________.
＋x [用－x替换原式中的x得f(－x)＋3f(x)＝x2＋3x，联立f(x)＋3f(－x)＝x2－3x，
消去f(－x)得f(x)＝＋x.]
4．某公司规定：职工入职工资为2 000元/月．以后2年中，每年的月工资是上一年月工资的2倍，3年以后按年薪144 000元计算．试用列表、图象、解析式三种不同的形式表示该公司某职工前5年中，月工资y(元)(年薪按12个月平均计算)和年份序号x的函数关系，并指出该函数的定义域和值域．
[解] 由题意，前3年的月工资分别为2 000元，4 000元，8 000元，第4年和第5年的月工资平均为：＝12 000.当年份序号为x时，月工资为y元，则用列表法表示为：
年份序号x(年)
1
2
3
4
5
月工资y(元)
2 000
4 000
8 000
12 000
12 000
图象法表示为：
其解析式为：
f(x)＝
由题意，该函数的定义域为{1,2,3,4,5}，值域为{2 000，4 000,8 000,12 000}．
