频率与概率
【例1】 对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品概率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？
思路点拨：(1)根据频数除以总数＝频率，分别求出即可；
(2)根据(1)中所求即可得出任取1个U盘是次品的概率；
(3)利用不等式得出x(1－0.02)≥2 000，求出即可．
[解] (1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．
频率是概率的近似值，而概率是一个理论值．当做大量的重复试验时，试验次数越多，频率的值越接近概率值，故可用频率来估计概率．
1．某射手在相同条件下进行射击，结果如下：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
(1)问该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
(2)假设该射手射击了300次，期望击中靶心的次数是多少？
(3)假如该射手射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
(4)假如该射手射击了10次，前9次已击中8次，那么第10次一定击中靶心吗？
思路点拨：弄清频率与概率的含义及它们之间的关系是解题的关键．
[解] (1)由题意，得击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．
(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心．
(4)不一定．
2．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每题10分，然后做了统计，下表是统计结果：
贫困地区
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
发达地区
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率(结果保留到小数点后三位)；
(2)估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
思路点拨：由频数求出频率，再由频率估计概率．
[解] (1)贫因地区
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
0.533
0.540
0.520
0.520
0.512
0.503
发达地区
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
0.567
0.580
0.560
0.555
0.552
0.550
(2)估计贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别为0.503和0.550.
古典概型
【例2】 某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x，y，z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x，y，z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
思路点拨：(1)用综合指标S＝x＋y＋z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求．
(2)①直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果．
②列出在取出的2件产品中每件产品的综合指标S都等于4的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解．
[解] (1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．
所以P(B)＝＝.
1．当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的基本事件，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．
2．在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出基本事件的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．
3．甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)．
求：(1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)乙赢的概率．
思路点拨：首先列举出基本事件的总数，确定出所求事件包含的基本事件数，利用公式求概率．
[解] 甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法．
一次出拳游戏共有3×3＝9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的，所以一次游戏(试验)是古典概型，它的基本事件总数为9.
平局的含义是两人出法相同．例如都出了锤子．甲赢的含义是甲出锤子且乙出剪刀，甲出剪刀且乙出布，甲出布且乙出锤子这3种情况．乙赢的含义是乙出锤子且甲出剪刀，乙出剪刀且甲出布，乙出布且甲出锤子这3种情况．
设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C．
由图容易得到：
(1)平局含3个基本事件(图中的△)；
(2)甲赢含3个基本事件(图中的○)；
(3)乙赢含3个基本事件(图中的※)．
由古典概型的概率计算公式，可得P(A)＝＝；
P(B)＝＝；P(C)＝＝.
4．先后随机投掷2枚均匀的正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．
(1)求点P(x，y)在直线y＝x－1上的概率；
(2)求点P(x，y)满足y2<4x的概率．
思路点拨：(1)是一个古典概型，基本事件总数为6×6＝36个，再验证满足条件的事件数；(2)也是一个古典概型，与(1)解法相同．
[解] (1)投掷每枚骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为6×6＝36.
记“点P(x，y)在直线y＝x－1上”为事件A，A有5个基本事件：
A＝{(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)}．∴P(A)＝.
(2)记“点P(x，y)满足y2<4x”为事件B，
当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝1,2；当x＝3时，y＝1,2,3；
当x＝4时，y＝1,2,3；当x＝5时，y＝1,2,3,4；当x＝6时，y＝1,2,3,4.
则事件B有17个基本事件．
∴P(B)＝.
互斥事件和对立
事件的概率
【例3】 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
思路点拨：本题利用分类思想，把甲、乙抽题情况先分为四类，即“甲抽选择题，乙抽判断题”“甲抽判断题，乙抽选择题“甲、乙都抽到选择题”“甲、乙都抽到判断题”这四个互斥事件，而在每个互斥事件中，又按抽某个具体题目分类，从而写出了所有可能的基本事件，第(2)问利用对立事件求解更为方便．
[解] 把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.
“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：
(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：
(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：
(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；
“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．
(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率是P1＝＝，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率是P2＝＝.故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.
(2)甲、乙两人都抽到判断题的概率是＝，
故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是
1－＝.
1．互斥事件的概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．
3．当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
5．甲、乙两人举行比赛，比赛结果有胜、负、平三种情况，甲胜的概率是30%，甲、乙平的概率是50%，那么
(1)甲负的概率是多少？
(2)甲不输的概率是多少？
思路点拨：由题意，“甲胜”“甲、乙平”“甲负”这三个事件两两互斥，可利用互斥事件的概率公式求解．
[解] 记“甲胜”为事件A，“甲、乙平”为事件B，“甲负”为事件C，
则A，B，C两两互斥，且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.
(1)P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－30%－50%＝20%.
(2)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝30%＋50%＝80%.
故甲负的概率是20%，甲不输的概率是80%.
6．由经验得，在某超市的付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5个人及以上
概率
0.2
0.14
0.4
0.1
0.1
0.06
求：(1)“至多有2个人排队”的概率；
(2)“至少有2个人排队”的概率．
思路点拨：“至多有2个人排队”由“没有人排队”“有1个人排队”“有2个人排队”这三个互斥事件组成．“至少有2个人排队”，可以研究它的对立事件“至多有1个人排队”．“至多有1个人排队”包括“没有人排队”和“有1个人排队”两种情况．
[解] (1)设“没有人排队”为事件A，“有1个人排队”为事件B，“有2个人排队”为事件C，
则P(A)＝0.2，P(B)＝0.14，P(C)＝0.4.
由题意知，A，B，C彼此互斥，
所以“至多有2个人排队”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.14＋0.4＝0.74，
即“至多有2个人排队”的概率是0.74.
(2)设“至少有2个人排队”为事件D，则为“至多有1个人排队”，即＝A＋B，
因此P(D)＝1－P()＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.2－0.14＝0.66，
即“至少有2个人排队”的概率是0.66.
课件37张PPT。第3章 概率章末复习课频率与概率 古典概型 互斥事件和对立事件的概率 Thank you for watching !章末综合测评(三) 概 率
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某射手射击一次，命中的环数可能为0,1,2，…，10共11种情况．设事件A：“命中的环数大于8”，事件B：“命中的环数大于5”，事件C：“命中的环数小于4”，事件D：“命中的环数小于6”，则事件A，B，C，D中，互斥事件的对数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
D [A与C互斥，A与D互斥，B与C互斥，B与D互斥，即A，B，C，D中有4对互斥事件．]
2．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为( )
A．0.52 B．0.48
C．0.5 D．0.25
A [100次试验中，48次正面朝上，则52次反面朝上，由频率＝得事件A出现的频率为0.52.]
3．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，那么称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A． B．
C． D．
D [从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，共有如下10种不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)．其中能组成勾股数的只有(3,4,5)，所以所求的概率为.]
4．小明忘记了微信登陆密码的后两位，只记得最后一位是字母A，a，B，b中的一个，另一位是数字4,5,6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是( )
A． B．
C． D．
B [列举出满足条件的所有事件的可能，从而求出概率值即可．]
5．如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是，取到方块的概率是，则取到黑色牌的概率是( )
A． B．
C． D．
C [取到黑色牌的概率为1－－＝.]
6．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中，任取一个，这个集合恰是集合{a，b，c}的子集的概率是( )
A． B．
C． D．
C [由集合的相关知识可知，集合{a，b，c，d，e}的子集个数是25，而集合{a，b，c}的子集个数是23，所以所求概率是＝.]
7．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A． B．
C． D．
B [任取两个数可能出现的情况有6种，满足条件的情况为{1,3}，{2,4}两种，所以P＝＝.]
8．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为( )
A．0.65 B．0.35
C．0.75 D．0.9
A [中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.]
9．若a，b∈{0,1,2}，则函数f(x)＝ax2＋2x＋b有零点的概率为( )
A． B．
C． D．
D [当函数f(x)＝ax2＋2x＋b没有零点时，a≠0且Δ＝4－4ab<0，即ab>1.所以(a，b)有三种情况：(1,2)，(2,1)，(2,2)，基本事件总数为3×3＝9，故有零点概率P＝1－＝.]
10．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，则摸出红球的概率为
( )
A．0.04 B．0.42
C．0.2 D．0.38
C [记A＝“摸出红球”，B＝“摸出白球”，C＝“摸出黑球”，则A，B，C两两互斥．则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.58，P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝0.62，P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，解得P(A)＝0.2.故摸出红球的概率为0.2.]
11．在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )
A． B．
C． D．
C [分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝.]
12．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m＝a＋b，则( )
A．事件“m＝2”的概率为
B．事件“m＞11”的概率为
C．事件“m＝2”与“m≠3”互为对立事件
D．事件“m是奇数”与“a＝b”互为互斥事件
D [事件“m＝2”的概率为，故A错误；
事件“m＞11”的概率为，故B错误；
事件“m＝2”与“m≠2”互为对立事件，故C错误；
a＝b时，m为偶数，故事件“m是奇数”与“a＝b”互为互斥事件，故D正确．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________.
0．3 [∵A，B为互斥事件，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，
∴P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.]
14．一枚硬币连掷三次，则至少有一次出现正面的概率为________．
[记A1表示“掷三次硬币有一次出现正面”，A2表示“掷三次硬币有两次出现正面”，A3表示“掷三次硬币有三次出现正面”，A表示“掷三次硬币至少有一次出现正面”．
因为每次掷硬币会出现正反面两种情况，所以掷三次硬币总情形数为2×2×2＝8.又因为A1包含三种可能结果，A2包含三种可能结果，A3包含一种可能结果，且易知A1，A2，A3互斥，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.]
15．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________．
[从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．
设“A1和B1不全被选中”为事件N，则其对立事件表示“A1和B1全被选中”，由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P()＝＝，由对立事件的概率计算公式得P(N)＝1－P()＝1－＝.]
16．将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2无公共点的概率为________．
[若直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2无公共点，则>，
则a>b，第一次掷骰子的点数可能为1,2,3,4,5,6，第二次掷骰子的点数可能为1,2,3,4,5,6，故基本事件的所有情况为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，而满足a>b的有15种，故所求概率为P＝＝.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答，试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
思路点拨：(1)先列举出总的基本事件，总数为15，其中所取2道题都是甲类题的基本事件个数为6，由此求得P＝＝.
(2)所取2道题不是同一类题包含基本事件个数为4×2＝8，由此求得P＝.
[解] 将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝.
(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
18．(本小题满分12分)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人)．
高校
相关人数
抽取人数
A
18
x
B
36
2
C
54
y
(1)求x，y；
(2)若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．
思路点拨：(1)根据分层抽样的方法，有＝＝，可得答案．
(2)根据题意，可得从5人中抽取两人的情况数目与二人都来自高校C的情况数目，根据概率公式即可求得．
[解] (1)由题意可得，＝＝，所以x＝1，y＝3.
(2)记从高校B抽取的2人为b1，b2，从高校C抽取的3人为c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10种．
设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共3种，因此P(X)＝.
故选中的2人都来自高校C的概率为.
19．(本小题满分12分)某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；
(2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．
思路点拨：(1)利用互斥事件的概率公式求解．
(2)由于甲、乙两人停车都不超过4小时，故甲、乙二人付费各有4种不同情况，用列举法写出所有可能的结果．利用古典概型公式求解．
[解] (1)设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，则P(A)＝1－＝.∴甲临时停车付费恰为6元的概率是.
(2)设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b＝6,14,22,30.则甲、乙二人的停车费用共有16种等可能的结果：(6,6)，(6,14)，(6,22)，(6,30)，(14,6)，(14,14)，(14,22)，(14,30)，(22,6)，(22,14)，(22,22)，(22,30)，(30,6)，(30,14)，(30,22)，(30,30)．其中，(6,30)，(14,22)，(22,14)，(30,6)这4种情形符合题意．∴“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率P＝＝.
20．(本小题满分12分)假设人的某一特征(如眼睛大小)是由他的一对基因决定的，以D表示显性基因，d表示隐性基因，则具有DD基因的人为纯显性，具有dd基因的人为纯隐性，具有Dd基因的人为混合性．纯显性与混合性的人都表露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性．
问：(1)一个孩子有显性基因决定的特征的概率是多少？
(2)两个孩子中至少有一个有显性基因决定的特征的概率是多少？
思路点拨：由生物遗传机制知，孩子有显性基因决定的特征是具有DD基因或Dd基因，而这两种情况是互斥的，且孩子得到D，d基因的遗传是等可能的．对于(2)，可先考虑其对立事件，即两个孩子都不具有显性基因决定的特征．
[解] 孩子的一对基因为DD，dd，Dd的概率分别为，，，若孩子有显性基因决定的特征，则孩子的基因为DD或Dd，所以：
(1)一个孩子有显性基因决定的特征的概率为＋＝.
(2)因为两个孩子如果都不具有显性基因决定的特征，即两个孩子都具有dd基因的纯隐性特征，其概率为×＝，所以两个孩子中至少有一个有显性基因决定的特征的概率为1－＝.
21．(本小题满分12分)箱子中装有6张卡片，分别写有1到6这6个数字．从箱子中任意取出1张卡片，记下它的数字x，然后放回箱子，第二次再从箱子中取出1张卡片，记下它的数字y，试求：
(1)x＋y是5的倍数的概率；
(2)xy是3的倍数的概率；
(3)x，y中至少有一个是5或6的概率．
思路点拨：(1)所有实数对(x，y)共有6×6＝36个，用列举法求得其中满足x＋y是5的倍数的实数对有7个，所求概率p＝；(2)用列举法求得满足xy是3的倍数的实数对共有12个，由此求得xy是3的倍数的概率；(3)用列举法求得x，y中至少有一个是5或6的实数对共有19个，由此求得x，y中至少有一个是5或6的概率．
[解] 基本事件共有6×6＝36(个)．
(1)x＋y是5的倍数包含以下基本事件：(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(4,6)，(6,4)，(5,5)，共7个．∴x＋y是5的倍数的概率是.
(2)xy是3的倍数包含的基本事件如图所示：
共20个，∴xy是3的倍数的概率是＝.
(3)此事件的对立事件是x，y都不是5或6，其基本事件有4×4＝16(个)，∴x，y中至少有一个是5或6的概率是1－＝.
22．(本小题满分12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数，则算甲赢；否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，以B表示“甲至少赢一次”的事件，C表示“乙至少赢两次”的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
思路点拨：对(1)，基本事件有25种可能结果，事件A有5种可能结果，由此可求出P(A)；对(2)，根据互斥事件的概念，即可判断B与C是否为互斥事件；对(3)，基本事件有25种可能结果．和为偶数的事件有13种可能结果，由此可求出甲赢的概率，进而可判断游戏是否公平．
[解] (1)基本事件空间与点集S＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*,1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一对应．
因为S中点的总数为5×5＝25(个)，所以基本事件总数为25.
事件A包含的基本事件数为5个，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，所以P(A)＝＝.
(2)B与C不是互斥事件，因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．
(3)这种游戏规则不公平．理由：和为偶数的基本事件数为13个，和为奇数的基本事件数为12个，所以甲赢的概率为，乙赢的概率为，所以这种游戏规则不公平．
