一、算法初步
1．流程图中的框图
2．算法的三种基本逻辑结构
(1)顺序结构：
(2)选择结构：
条件语句
If条件Then If条件Then
步骤A 步骤A
Else End If
步骤B
End If
(3)循环结构：
循环语句
While条件 Do
循环体 循环体
End While Until条件
End Do
二、统 计
1．比较典型和常用的2种抽样方法：简单随机抽样、分层抽样．
2．简单随机抽样常用的两种方法是抽签法和随机数表法．
3．用样本估计总体分布时常用的一表三图分别是：频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图，茎叶图．
4．估计总体的特征数字可分为两大类：一类是反映集中趋势的，包括众数、中位数和平均数；另一类是反映波动大小的，包括极差、方差和标准差．
5．变量之间常见的关系有2种：函数关系和相关关系．两个变量之间相关关系的研究，通常先作变量的散点图．
三、概 率
1．频率是概率的近似值，概率是频率的期望值．
2．古典概型的特点是有限性和等可能性．
3．求较为复杂的事件的概率常用的方法是把复杂的事件分解为几个彼此互斥的事件的和．
4．互斥的事件不一定对立，对立的事件一定互斥；互为对立事件的概率之和等于1.
1．解决某一个具体问题算法不同，则结果不同．(×)
提示：解决一个具体问题算法可以不同，但结果必定相同．
2．算法执行步骤的次数不可以很大．(×)
提示：算法执行步骤的次数可以很大，但不能是无限执行下去．
3．长方形框是处理框，可用来对变量赋值，也可用来计算．(√)
4．选择结构中的两条路径可以同时执行．(×)
提示：选择结构中的两条路径都可能执行，但不能同时执行．
5．对于一个算法来说，判断框中的条件是唯一的．(×)
提示：判断框中的条件只要能起到相同的限制作用即可．
6．循环结构中不一定包含选择结构．(×)
提示：循环结构中一定包含选择结构，否则循环将无法结束．
7．If语句中可以没有Else，但必须以End If结束．(√)
8．一般来说Until语句和While语句可以互相转换．(√)
9．For语句中初值和步长都不能为负数．(×)
提示：初值和步长可正、可负，但步长不能为0.
10．辗转相除法是求最小公倍数的方法．(×)
提示：辗转相除法是求最大公约数的方法．
11．更相减损术是通过减法运算求最大公约数的方法．(√)
12．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽样无关，与样本容量也无关．(×)
提示：与样本容量有关，容量越大，抽到的可能性也越大．
13．在用分层抽样时，一个个体被抽到的可能性与用简单随机抽样被抽到的可能性一样大．(√)
14．频率分布直方图与频率分布折线图有密切关系．(√)
15．中位数一定是所给数据中的某一个数．(×)
提示：所给数据若是奇数个，中位数是数据中大小居中的数，若所给数据是偶数个，中位数是大小居中的两个数的平均数．
16．标准差越大，表明各个样本数据在平均数周围越分散．(√)
17．任何两个变量不一定具有相关关系．(√)
18．圆的周长与该圆半径具有相关关系．(×)
提示：圆的周长与该圆半径是函数关系．
19．由线性回归方程在给定一个变量时可以准确知道对应量．(×)
提示：只能作大致估计．
20．频率分布直方图的高度表示频率．(×)
提示：直方图的高度表示频率除以组距的值．
21．方差与标准差没有关系．(×)
提示：标准差是方差的算术平方根．
22．样本容量大且组距小时频率分布折线图接近总体密度曲线．(√)
23．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数、方差都不变．(×)
提示：平均数改变，方差不变．
24．10张票中有1张奖票，10人去抽，无论谁先抽，中奖的概率都是0.1.(√)
25．一次抽奖活动，中奖概率为0.2，则抽5张票，一定有一张中奖．(×)
提示：抽5张票不一定必有一张中奖，可能没有中奖，也可能多张中奖．
26．古典概型中，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(√)
27．古典概型中，每个事件出现的可能性不一定相等．(×)
提示：古典概型中，每个事件出现的可能性相等．
28．互斥事件可能也是对立事件．(√)
29．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．(√)
30．事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．(×)
提示：只有A与B是对立事件时P(A)＝1－P(B)．
1．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入( )
A．i＝i＋1 B．i＝i＋2
C．i＝i＋3 D．i＝i＋4
B [由程序框图的算法功能知处理框N＝N＋计算的是连续奇数的倒数和，而处理框T＝T＋计算的是连续偶数的倒数和，所以在空白处理框中应填入的命令是i＝i＋2，故选B．]
2．(2018·江苏高考)一个算法的伪代码如图所示，
执行此算法，最后输出的S的值为________．
8 [第一次I＝3，S＝2；
第二次I＝5，S＝4；
第三次I＝7，S＝8.
此时I＞6结束循环，故输出8.]
3．(2018·江苏高考)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．
[用列举法得出共有10种选法，而选中两名女生有3种选法，故概率为.]
4．(2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t.
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
思路点拨：本题考查折线图、线性回归模型、数据的分析．
(1)利用两个线性回归模型分别求解；(2)根据折线图的特征结合两个线性回归模型及预测值分析即可．
[解] (1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
课件27张PPT。第3章 概率模块复习课23456随机数表 频率分布直方图 7平均 方差 相关 散点 8近似值 期望值 有限性 互斥 不一定 一定 1 910× × √ × × 11× √ √ × × 12√ × √ √ × 13√ √ ×× × 14× √ × 15√ × 16√ × √ √ × 17181920212223242526Thank you for watching !模块综合测评
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为( )
A．0.5 B．0.51
C．0.31 D．0.49
B [由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为＝0.51.]
2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
B [由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.
故选B．]
3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取的件数是( )
A．20 B．18
C．24 D．12
B [应从丙种型号的产品中抽取60×＝18(件)．]
4．某题的得分情况如下：
得分/分
0
1
2
3
4
频率/%
37.0
8.6
6.0
28.2
20.2
其中众数是( )
A．37.0% B．20.2%
C．0 D．4
C [因为0出现的次数最多．]
5．一个算法的流程图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x值为( )
A．－2 B．
C．2 D．－2或
D [当x≤0时，由y＝x－4＝0，得x＝－2；当x＞0时，由y＝log3x＋1＝0，得x＝.]
6．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率为( )
A．0.92 B．0.85
C．0.97 D．0.03
C [断头不超过两次的概率P＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.]
7．观察下列伪代码，该循环变量I(I为整数)共循环的次数是( )
S←0
I←1
While S＜60
S←S＋I
I←I＋1
End While
A．9 B．10
C．11 D．12
C [由题意知该伪代码的作用是判断S＝1＋2＋3＋…＋n≥60的最小整数n.
∵1＋2＋3＋…＋10＝55＜60，
1＋2＋3＋…＋11＝66＞60，
故循环次数为11次．]
8．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得线性回归直线方程＝bx＋a中的b＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量度数为( )
A．68 B．70
C．74 D．76
A [回归直线过点(，)，根据题意得＝＝10，＝＝40，将(10,40)代入＝－2x＋a，解得a＝60，则＝－2x＋60，当x＝－4时，＝(－2)×(－4)＋60＝68，即当气温为－4 ℃时，用电量约为68度．]
9．一流的高尔夫选手约70杆即可打完十八洞，而初学者约160杆才可打完十八洞．甲、乙两位高尔夫选手在五次训练测试中打出的杆数为甲：79,76,69,76,75；乙：72,67,75,82,79，则发挥比较稳定的选手的方差为( )
A．27.6 B．22
C．10.8 D．9.6
C [由题意得甲＝×(69＋75＋76＋76＋79)＝75，
∴s＝×[(69－75)2＋(75－75)2＋(76－75)2＋(76－75)2＋(79－75)2]＝10.8.
乙＝×(67＋72＋75＋79＋82)＝75，
∴s＝×[(67－75)2＋(72－75)2＋(75－75)2＋(79－75)2＋(82－75)2]＝27.6，∴s10．同时掷3枚质地均匀的骰子，记录3枚骰子的点数之和，则该试验的基本事件总数是( )
A．15 B．16
C．17 D．18
B [点数之和为3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18，共16个基本事件．]
11．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250,400)内的学生人数为( )
A．600 B．650
C．700 D．750
D [由频率分布直方图，知
(0.001＋0.001＋0.004＋a＋0.005＋0.003)×50＝1，
解得a＝0.006，
故成绩在[250,400)内的学生共有(0.004＋0.006＋0.005)×50×1 000＝750.]
12．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其回归直线方程是＝x＋a，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数a的值是( )
A． B．
C． D．
A [依题意可知样本点的中心为，则＝×＋a，解得a＝.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．用更相减损术求459和357的最大公约数，需要减法的次数为________．
5 [由题意得，459－357＝102，
357－102＝255，
255－102＝153，
153－102＝51，
102－51＝51，
所以共进行了5次减法．]
14．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．
两次都不中靶 [事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．]
15．已知x是1,2,3，x,5,6,7这七个数据的中位数且1,2，x2，－y这四个数据的平均数为1，则y－的最小值为________．
[由题意得1＋2＋x2－y＝4，
所以y＝x2－1.
由中位数定义知，3≤x≤5，
所y－＝x2－1－.
当x∈[3,5]时，为增函数，
所以min＝8－＝.]
16．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．
[依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤，即a≤b，则当a＝1时，b＝1,2,3,4,5,6，共有6种，当a＝2时，b＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a＝3时，有4种，a＝4时，有3种，a＝5时，有2种，a＝6时，有1种，故共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于＝.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)一个算法流程图如图．
(1)当x∈[－5,3]时，求输出y值的集合A；
(2)在区间[－3,7]内随机取一个实数a，求a∈A的概率．
[解] (1)由流程图知y＝
当－5≤x≤－2时，y∈[0,6]；
当－2＜x＜2时，y∈(0,2)；
当2≤x≤3时，y∈[2,4]．
综上所述，输出y值的集合A＝{y|0≤y≤6}．
(2)记“a∈A”的事件为M，由几何概型知P(M)＝＝.
18．(本小题满分12分)根据世行2013年新标准，人均GDP低于1 035美元为低收入国家；人均GDP为1 035～4 085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：
行政区
区人口占城市人口比例
区人均GDP(单位：美元)
A
25%
8 000
B
30%
4 000
C
15%
6 000
D
10%
3 000
E
20%
10 000
(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．
[解] (1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为
(8 000×0.25a＋4 000×0.30a＋6 000×0.15a＋3 000×0.10a＋10 000×0.20a)＝6 400.
因为6 400∈[4 085,12 616)，
所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．
(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E)，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．
设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，
则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个，所以所求概率为P(M)＝.
19．(本小题满分12分)某网站就观众对2018年春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查，其中持各种态度的人数如下表：
喜欢
一般
不喜欢
人数
560
240
200
(1)现用分层抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一个容量为n的样本，已知从不喜欢小品的观众中抽取的人数为5，则n的值为多少？
(2)在(1)的条件下，若在抽取到的5名不喜欢小品的观众中有2名为女性，现将抽取到的5名不喜欢小品的观众看成一个总体，从中任选2名观众，求至少有1名为女性观众的概率．
思路点拨：(1)根据条件，按照各部分所占的比例确定样本容量．(2)中利用列举法求事件的概率．
[解] (1)采用分层抽样的方法，样本容量与总体容量的比为n∶1 000，则从不喜欢小品的观众中应抽取×200＝5(人)，
所以n＝25.
(2)由题意得，从女性观众中抽取2人，从男性观众中抽取3人，设女性观众为a1，a2，男性观众为b1，b2，b3，
则从5位不喜欢小品的观众中抽取2名观众有10种可能：
(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)．其中抽取的2名观众中至少有1名为女性观众有如下7种可能：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)．所以从5名不喜欢小品的观众中抽取2名观众，至少有1名为女性观众的概率为.
20．(本小题满分12分)某地区2011年至2017年农村居民家庭纯收入y(单位：万元)的数据如下表：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
年份代号
t(年)
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入
y(万元)
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝，a＝－b .
[解] (1)由所给数据计算得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，＝＝＝0.5，
a＝－b ＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，＝0.5>0，故2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5万元．
将2019年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入为6.8万元．
21．(本小题满分12分)下面是60名男生每分钟脉搏跳动次数的频率分布表．
分组
频数
频率
频率/组距
[51.5,57.5)
4
0.067
0.011
[57.5,63.5)
6
0.1
0.017
[63.5,69.5)
11
0.183
0.031
[69.5,75.5)
20
0.334
0.056
[75.5,81.5)
11
0.183
0.031
[81.5,87.5)
5
0.083
0.014
[87.5,93.5]
3
0.05
0.008
(1)作出频率分布直方图；
(2)根据直方图的各组中值估计总体平均数；
(3)估计每分钟脉搏跳动次数的范围．
[解] (1)作出频率分布直方图如下图．
(2)由组中值估计总体平均数为(54.5×4＋60.5×6＋66.5×11＋72.5×20＋78.5×11＋84.5×5＋90.5×3)÷60＝72.
(3)由(2)中组中值构成的样本数据可求得s≈8.78，
∴每分钟脉搏跳动次数的范围大致为[－s，＋s]，
即[63.22,80.78]，取整数为[64,81]．
22．(本小题满分12分)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
[解] (1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为
P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.
