1.1 算法的含义
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过实例体会算法的思想，了解算法的含义．(难点)
2．能按步骤用自然语言写出简单问题的算法过程．(重点、难点)
3．了解算法的主要特点(有限性和确定性)．(难点、易混点)
1.通过书写算法提升学生的逻辑推理素养．
2．借助解决实际问题的算法练习，培养学生的数学建模素养.
1．算法的概念
一般而言，对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法．
广义地说，为解决某一问题而采取的方法和步骤，我们都可以称之为算法，不要认为只有“计算”才有算法．例如：广播操图解是广播操的算法，菜谱是做菜的算法，歌谱是一首歌曲的算法，空调说明书是空调使用的算法．
我们过去学习的许多数学公式都是算法，加、减、乘、除运算法则以及多项式的运算法则也是算法．
2．算法的特征
(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的．
(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当模棱两可．
(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题．
(4)不唯一性：求解某一问题的算法不一定是唯一的，对于同一个问题可以有不同的算法．
(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决．
3．算法的设计要求
(1)确定性和有限性是算法的两个重要特征，我们在写算法时，一定要注意满足这两个特征．
(2)虽然解决一个问题的算法不是唯一的，但不同的算法有繁有简，因此在设计一个算法时，应本着简捷方便的原则进行．
(3)要保证算法正确，且能够被计算机执行．
1．下面的语句正确的是( )
①算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义；
②一个算法可以无止境地运算下去；
③完成一件事情的算法有且只有一种；
④设计算法要本着简单、方便的原则．
A．①② B．③④
C．①④ D．②④
C [算法的步骤必须明确，其中不能含有模糊不清、让人误解的叙述，所以①正确；一个算法必须在执行有限步之后结束，且每一步都应在有限时间内完成，所以②错误；由于求解某一类问题的算法不是唯一的，所以③错误；算法设计要尽量简单，步骤应尽量少，所以④正确．]
2．下列语句是算法的有________．(填序号)
①解方程2x－6＝0的过程是移项和系数化为1；
②从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机；
③解方程2x2＋x－1＝0；
④利用公式S＝πr2计算半径为3的圆的面积就是计算π×32.
①②④ [根据算法的含义知①②④都是算法，而③只是一个纯数学问题，没有确定的解决问题的步骤，不属于算法．]
3．下面是求1＋11＋21＋31＋41的值的一个算法，请将其补充完整．
第一步 计算1＋11，得12；
第二步 将第一步中的运算结果12与21相加，得到33；
第三步 将第二步中的运算结果33与31相加，得到64；
第四步 ______________________________，即为最后结果．
将第三步中的运算结果64与41相加，得到105 [本题是一个连续相加的问题，可以按逐一相加的方法解决．]
4．有人对命题“任何大于4的偶数都能写成两个奇质数之和”设计了如下操作步骤：
第一步 检验6＝3＋3.
第二步 检验8＝3＋5.
第三步 检验10＝5＋5.
…
利用计算机一直进行下去！
请问：利用这种步骤________(填“能”或“不能”)证明猜想的正确性，这________(填“是”或“不是”)算法．
不能 不是 [确定性和有限性是任何算法都必须满足的重要特点，若不满足则不能称之为算法．]
算法的概念和特征
【例1】 下面语句是算法的有________个．
①从南京到台湾旅游，先坐火车，再坐飞机抵达；
②解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；
③方程x2－1＝0有两个实根；
④求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再求3＋3＝6,6＋4＝10,10＋5＝15，最终结果为15.
3 [因为算法是为解决某类问题而设计的一系列可操作可计算的步骤，通过这些步骤能够有效地解决问题，因此①②④都是算法，③不是算法．]
判断一个语句是不是算法，依据是算法的概念，它是解决一类问题的具体步骤，未给出步骤的解决方法，不能够称之为算法，即按照所给出的步骤，能将问题解决，则这些步骤就可以称为一个算法．
1．下列对算法的描述正确的个数是________．
①一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的；
②算法中的每一个步骤都应当是确定的，而不应当是含糊的、模棱两可的；
③算法中的每一个步骤都应当有效地执行，并得到确定的结果；
④一个问题只能设计出一种算法．
3 [由算法的有限性知①正确；由算法的确定性知②正确；由算法的可输出性知③正确；对于同一个问题可以有不同的算法，因此④不正确．故正确的个数为3.]
2．著名数学家华罗庚提出的“烧水泡茶”的两个算法如下，
算法1：第一步 烧水；
第二步 水烧开后，洗刷茶具；
第三步 沏茶．
算法2：第一步 烧水；
第二步 在烧水过程中，洗刷茶具；
第三步 水烧开后沏茶．
其中更高效的算法是________，原因是________．
算法2 它更节约时间 [算法不同，解决问题的繁简程度不同，我们研究算法，就是要找出解决问题的最好算法．在算法1中三步所用的时间为烧水、洗茶具和沏茶时间的和，而在算法2中所用的时间为烧水和沏茶时间的和，故算法2更高效．]
算法的设计
【例2】 给出求1＋3＋5＋7＋9＋11＋13的值的一个算法．
思路点拨：本题是一个连续相加的问题，加数的个数不多，可以按逐一相加的方法解决．注意到加数依次排列可构成一个等差数列，故也可运用公式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2解决，当加数较多时，如计算1＋3＋5＋…＋99，逐个相加的方法显然是不可取的，除了使用公式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2解决该问题之外，还有没有别的方法？为此，我们还可以引入变量和循环的方法解决．
[解] 算法1：
第一步 计算1＋3，得到4；
第二步 将第一步中的运算结果4与5相加，得到9；
第三步 将第二步中的运算结果9与7相加，得到16；
第四步 将第三步中的运算结果16与9相加，得到25；
第五步 将第四步中的运算结果25与11相加，得到36；
第六步 将第五步中的运算结果36与13相加，得到49.
算法2：
第一步 取n＝7；
第二步 计算n2；
第三步 输出运算结果．
算法3：
第一步 使p＝1；
第二步 使i＝3；
第三步 使p＋i的和仍放在变量p中，可表示为p＝p＋i；
第四步 使i的值加2，即i＝i＋2；
第五步 若i≤13，返回第三步，重新执行第三步及之后的第四、第五步，否则，算法结束，最后得到的p的值就是1＋3＋5＋7＋9＋11＋13的值．
1．写出求1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19的一个算法．
[解]
第一步 取n＝10；
第二步 计算n2；
第三步 输出运算结果．
2．写出求2＋4＋6＋8＋…＋200的一个算法．
思路点拨：运用公式
2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)．
[解]
第一步 取n＝100；
第二步 计算n(n＋1)；
第三步 输出运算结果．
1．算法的设计目的
设计算法的目的实际上是寻求一类问题的算法，它可以通过计算机来完成．设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到计算机执行的目的．
2．算法的设计要求
(1)写出的算法必须能解决一类问题；
(2)要使算法尽量简单、步骤尽量少；
(3)要保证算法正确，且计算机能够执行．
3．设计算法的步骤
(1)分析问题，寻找可以解决问题的一般的数学方法；
(2)将问题的各种情况加以分类；
(3)将每一类情况划分为若干步骤；
(4)用简练的语言、数学符号和各种参数将各个步骤表达出来；
(5)按照步骤的顺序将步骤列出来．
提醒：(1)算法从初始步骤开始，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，从而组成一个步骤序列，序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解．
(2)一个具体问题的算法不唯一．
(3)不同的算法有简繁、优劣之分，但每一种算法都会使问题有一个最终的结果，对于一个具体的问题，我们可以找到一个算法步骤相对较少、执行步骤也较少的算法，即最优算法．
算法在实际生活中的应用
【例3】 一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平(不用砝码)将假银元找出来吗？写出解决这一问题的一种算法．
思路点拨：可以两枚两枚地称，直到称出假银元为止，也可以先分组再称．
[解] 法一：
第一步 任取2枚银元分别放在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的一枚就是假银元，如果天平平衡，则进行第二步；
第二步 取下右边的银元，放在一边，然后把剩余的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元．
法二：
第一步 把银元分成3组，每组3枚；
第二步 先将两组分别放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组里，如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第3组里；
第三步 取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的那一枚就是假银元，如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元．
算法在生活中的应用主要包括一些非数值型的问题．在设计算法时，应当先建立过程模型，也就是找到解决问题的方案，再把它细化为一步接一步的步骤，从而设计出算法．
3．有蓝、黑两个墨水瓶，现把蓝墨水错装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将两个墨水瓶中的墨水互换，请设计一个算法．
[解] 由于两个墨水瓶中的墨水不能直接交换，故可以考虑通过引入第三个空墨水瓶来解决问题．
算法如下：
第一步 取一个空的墨水瓶，设其为白色；
第二步 将黑墨水瓶中的蓝墨水倒入白瓶中；
第三步 将蓝墨水瓶中的黑墨水倒入黑墨水瓶中；
第四步 将白瓶中的蓝墨水倒入蓝墨水瓶中；
第五步 交换结束．
4．两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡一个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳，他们如何渡河？请写出你设计的渡河的算法．
[解] 因为每次只能渡一个大人或两个小孩，而船还要来回渡其他人，所以只能让两个小孩先渡河，然后回来一个，一直到四人全过河．
第一步 两个小孩同船渡过河去；
第二步 一个小孩划船回来；
第三步 一个大人独自划船渡过河去；
第四步 对岸的小孩划船回来；
第五步 两个小孩再同船渡过河去；
第六步 一个小孩划船回来；
第七步 余下的另一个大人独自划船渡过河去；
第八步 对岸的小孩划船回来；
第九步 两个小孩再同船渡过河去．
1．本节课的重点是理解算法的概念，体会算法的思想，难点是掌握简单问题算法的表述．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)掌握算法的特征；
(2)掌握设计算法的一般步骤；
(3)会设计实际问题的算法．
3．在解决某类数学问题时，逐一列举、验证计算量较大，不易操作，若根据题意把其分成几个组，先研究组与组之间的关系，再研究小组内的关系，可以减少操作步骤，使问题易于解决，这就是分组讨论思想．
1．下列关于算法的说法，正确的个数为( )
①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果．
A．1 B．2
C．3 D．4
C [由算法的特征(有限性、确定性、有序性、有输出等)可知②③④正确，但解决某一类问题的算法不一定是唯一的，故①错．]
2．假设家中生火泡茶有下列几个步骤，最优的一个算法是________．
a．生火；B．将水倒入锅中；C．找茶叶；D．洗茶壶茶杯；e.用开水冲茶．
bacde [利用时间最短排序．]
3．下列语句表达中是算法的是________．
①从济南到巴黎可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达；
②利用公式S＝ah计算底为1，高为2的三角形的面积；
③x>2x－4；
④求M(1,2)与N(－3，－5)两点连线所在直线的方程，可先求直线MN的斜率，再利用点斜式方程求得．
①②④ [算法是解决问题的方法步骤，这个问题并不仅仅限于数学问题，①②④都是算法，而③没有确定的解题步骤，不是算法．]
4．已知直角三角形的两条直角边长分别为3,4，设计一个算法，求该三角形的周长．
[解] 先取a＝3，b＝4，再由勾股定理，求出斜边c＝，从而得周长l＝a＋b＋.
算法如下：第一步 取a＝3，b＝4；
第二步 计算c＝；
第三步 计算l＝a＋b＋c；
第四步 输出l.
