2.1 抽样方法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过对实例的分析，了解简单随机抽样、分层抽样的意义以及它们之间的联系和区别．(重点、难点、易混点)
2．掌握用抽签法、随机数表法．(重点)
3．会根据不同抽样方法的特点，进行相关的计算．(重点)
通过学习本节内容，培养学生的数据分析、数学运算的数学核心素养.
1．简单随机抽样
(1)简单随机抽样的概念
一般地，从个体数为N的总体中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样．
(2)常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法．
(3)抽签法的操作步骤
①将总体中的N个个体编号；
②将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；
③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；
④从箱中每次抽出1个号签，连续抽取k次；
⑤将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出．
(4)随机数表法抽取样本的步骤
①将总体中的个体编号(每个号码位数一 致)；
②在随机数表中任选一个数作为开始；
③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止；
④根据选定的号码抽取样本．
2．分层抽样
(1)分层抽样的概念
当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样，这样的抽样方法称为分层抽样．
(2)分层抽样的步骤
①将总体按一定标准分层；
②计算各层的个体数与总体的个体数的比；
③按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；
④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)．
1．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的是________．
①从无限多个个体中抽取100个个体作样本；
②盒子里有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
③从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验．(假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取)
③ [判断一个抽样是否为简单随机抽样，关键在于判断它们是否符合“有限”“逐个”“不放回”“等可能”等特点．依据简单随机抽样的这些特点，知①②不对，③对．]
2．①某班期中考试有10人在85分以上，25人在60～84分，5人不及格，欲从中抽出8人参加改进教学研讨；②某班级举行元旦晚会，要产生两名“幸运者”．则合适的抽样方法分别为________．
分层抽样，简单随机抽样 [结合两种抽样方法的特点判断．]
3．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________．
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
01 [由随机数法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.]
4．用随机数表法从100名学生(男生58人)中抽取30人进行“学习态”调研，某男同学被抽到的可能性为________．
0．3 [因为样本容量为30，总体中的个体数为100，所以总体中的每个个体被抽到的可能性为＝0.3.]
简单随机抽样
【例1】 下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)从无数个个体中抽取20个个体作为样本；
(2)从50台冰箱中一次性抽取5台冰箱进行质量检测；
(3)某班有40名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛；
(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．
思路点拨：简单随机抽样主要有四个特点：①总体的个体数有限；②逐个抽取；③不放回；④等可能．根据简单随机抽样的特点逐一判断即可．
[解] (1)不是简单随机抽样．因为总体的个体数是无限的，而不是有限的．
(2)不是简单随机抽样．虽然“一次性”抽取和“逐个”抽取不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样的定义要求的是“逐个”抽取．
(3)不是简单随机抽样．因为是指定个子最高的5名同学参加比赛，每个个体被抽到的可能性是不同的，所以不是等可能抽样．
(4)是简单随机抽样．因为总体的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能抽取．
1．要判断所给的抽样方法是不是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点：总体有限、逐个抽取、无放回抽样、等可能抽取．
2．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制作号签是否方便，二是号签是否容易被搅拌均匀．一般地，当总体容量和样本容量都较少时可用抽签法．
3．利用随机数表法抽取个体时，关键是先确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点，以哪个方向作为读数的方向．需注意读数时结合编号特点进行读取，编号为两位，则两位、两位地读取；编号为三位，则三位、三位地读取．
1．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是________．
， [简单随机抽样中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，都为.]
2．关于简单随机抽样的特点，有以下几种说法，其中不正确的是________．
①要求总体的个数有限；
②从总体中逐个抽取；
③它是一种不放回抽样；
④每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．
④ [由简单随机抽样的特点知④不对．]
分层抽样
【例2】 一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
思路点拨：由于职工年龄与这项指标有关，故应分层抽样来抽取样本．
[解] 用分层抽样来抽取样本，步骤是：
(1)分层．按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．
(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为＝，则在不到35岁的职工中抽125×＝25(人)；
在35岁至49岁的职工中抽280×＝56(人)；
在50岁及50岁以上的职工中抽95×＝19(人)．
(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本．
(4)综合各层抽样，组成样本．
1．当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样．
2．利用分层抽样抽取样本的操作步骤为：
(1)将总体按一定标准进行分层；
(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；
(3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量；
(4)在每一层进行抽样(用简单随机抽样)；
(5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本．
3．对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式：
(1)＝；
(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
3．下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是________．
①从10名同学中抽取3人参加座谈会；
②某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本．
② [①中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；②中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样．]
4．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是________．
9,7 [抽样比为＝，则一班和二班分别被抽取的人数是54×＝9,42×＝7.]
抽样方法的综合应用
【例3】 为考察某校的教学水平，抽查了这个学校高三年级部分学生的本年度考试成绩进行考察．为全面地反映实际情况，采取以下两种方式进行(已知该校高三年级共有14个教学班，假定该校每班人数都相同，且高三年级共有学生700人)．
①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的学习成绩；
②把该校高三年级的学生按成绩分成优秀，良好，普通三个级别，从中抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名)．
根据上面的叙述，试回答下列问题：
(1)上面两种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？
(2)上面两种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？
(3)试分别写出上面两种抽取方法各自抽取样本的步骤．
思路点拨：①总体：在一个统计问题中所要考察对象的全体叫总体．
②个体：总体中的每个考察对象叫个体．
③样本：从总体中抽取的一部分个体叫样本．
④样本容量：样本中个体的数目叫样本容量．
对照两种抽样方法的特点及适用范围判断求解．一旦确定了抽取样本的方法，就依据该抽取样本方法的一般操作步骤进行．
[解] (1)这两种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第二种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.
(2)上面二种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法，第二种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法．
(3)第一种方式抽样的步骤如下：
第一步 在这14个班中用抽签法任意抽取一个班；
第二步 从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取14名学生，考察其考试成绩．
第二种方式抽样的步骤如下：
第一步 按成绩分层，其中优秀生共105人，良好生共420人，普通生共175人，所以在抽取样本中，应该把全体学生分成三个层次；
第二步 确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体数的比为100∶700＝1∶7，所以在每个层抽取的个体数依次为，，，即15,60,25；
第三步 各层分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人，在良好生中用简单随机抽样法抽取60人，在普通生中用简单随机抽样法抽取25人；
第四步 将所抽取的个体组合在一起构成样本．
1．下列问题中，采用怎样的方法较为合理？
(1)从高二(3)班10名获奖学生中抽取2名介绍学习方法；(2)某校有在校高中生共1 600人，其中女生780人，男生820人，为调查学生的消费情况，需抽取一个容量为80的样本．
思路点拨：依据两种抽样方法各自特点及选择抽样方法的规律作判断．
[解] (1)总体容量较小宜用抽签法；
(2)因女生与男生的消费情况有明显差异，宜用分层抽样．
2．某生产企业共有800人，其中管理人员40人、技术人员120人、一线工人640人．现要调查了解全厂人员的家庭人均生活费用情况．试用恰当的抽样方法抽取一个容量为40的样本，并简要说明操作过程．
思路点拨：家庭人均生活费用的差别与人员职务有关，故应采用分层抽样的方法．
[解] 调查了解家庭人均生活费用情况应采用分层抽样的方法．三类人员的人数比为40∶120∶640＝1∶3∶16，所以分别抽取40×＝2(人)，120×＝6(人)，640×＝32(人)．又由于管理人员、技术人员人数较少，故可采用抽签法，而一线工人人数较多，可采用随机数表法．
1．简单随机抽样、分层抽样是两种常用的抽样方法，在实际生活中有着广泛的应用．
2．两种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联系．在应用时要根据实际情况选取合适的方法．
3．两种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的．
提醒：选择抽样方法的规律：
(1)当容量较小样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅拌，可采用抽签法．
(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数表法．
(3)当总体由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样．
1．本节课的重点是记住分层抽样的特点和步骤，难点是会用分层抽样从总体中抽取样本．
2．简单随机抽样、分层抽样的共同点
(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等．
(2)每次抽出的个体不再放回，即不放回抽样．
3．要掌握分层抽样的两类问题
(1)根据分层抽样的特征判断分层抽样．
(2)根据分层抽样的步骤设计分层抽样，特别是当总体容量不能被样本容量整除时注意剔除个体．
1．为了解参加运动会的2 000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有________．(填序号)
①2 000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的20名运动员是一个样本；④样本容量为20；⑤这个抽样方法可采用随机数表法抽样；⑥每个运动员被抽到的机会相等．
④⑤⑥ [①2 000名运动员不是总体，2 000名运动员的年龄才是总体．②每个运动员的年龄是个体．③20名运动员的年龄是一个样本，考察对象是运动员的年龄而不是运动员，故①②③都不对，④⑤⑥正确．]
2．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．
16 [150＋150＋400＋300＝1 000，从1 000人中抽40人，抽样比为＝，则应从丙专业中抽取400×＝16(人)．]
3．要考察某公司生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验．利用随机数表法抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号：________.(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
行
随机数表数值
7
84 42 17 53 31
57 24 55 06 88
77 04 74 47 67
21 76 33 50 25
83 92 12 06 76
8
63 01 63 78 59
16 95 55 67 19
98 10 50 71 75
12 86 73 58 07
44 39 52 38 79
9
33 21 12 34 29
78 64 56 07 82
52 42 07 44 38
15 51 00 13 42
99 66 02 79 54
785,567,199,507,175 [采用随机数表法抽取样本时，在读数的过程中一定要注意，每一次读取的数位应该与编号的数位一致．本题的编号是三位数，因此读取的时候应该是每三个数一组地读取．
从第8行第7列的数7开始，向右读下去，得到第一个三位数字号码为785，因为其在0～799之间，故将它取出；继续读下去，又得到916,955，由于它们大于799，将它们去掉；继续向右读，得到567,199，将它们取出；随后的三位数字号码是810，由于它大于799，将它去掉；再继续下去，得到507,175.至此，5个样本已经取满，于是，所要抽取的样本号码是：785,567,199,507,175.]
4．在一批产品中，有一级品100个、二级品60个、三级品40个，用分层抽样的方法从这批产品中抽取容量为20的样本．
思路点拨：分层抽样法：总体的个体数N＝200，样本容量n＝20，n∶N＝1∶10，从各个级别的产品中按照这个比例抽取即可得到应抽取的产品．
[解] 第一步 将总体分层，由题意可知应将总体分为三层；
第二步 由题意知一级品、二级品、三级品分别有100个、60个、40个，由于总体的个数N＝200，样本容量n＝20，可得n∶N＝1∶10；
第三步 需要从一级品中抽取100×＝10(个)，从二级品中抽取60×＝6(个)，从三级品中抽取40×＝4(个)；
第四步 将一级品的100个产品按00,01,02，…，99编号，将二级品的60个产品按00,01,02，…，59编号，将三级品的40个产品按00,01,02，…，39编号，采用随机数表法，分别从中抽取10个、6个、4个个体，这样就得到了一个容量为20的样本．
课件51张PPT。第2章 统计2.1 抽样方法逐个不放回地 都有相同的机会 抽签法 随机数表法 编号 相同 搅拌均匀 编号 选定的数 前面已经取出 差异明显 层次比较分明 分层 各层的个体数与总体的个体数的比 各层的个体数占总体的个体数 简单随机抽样 简单随机抽样 分层抽样 抽样方法的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五) 抽样方法
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．采用简单随机抽样，从6个标有序号A，B，C，D，E，F的球中抽取1个球，则每个球被抽到的可能性是( )
A． B．
C． D．
D [每个个体被抽到的可能性相等，均为.]
2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下列随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取，每次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A．08 B．07
C．02 D．01
D [第1行第5列和第6列的数字为65，
所以被选中的编号依次为08,02,14,07,01.
所以选出来的第5个个体的编号为01，故选D．]
3．某校对全校1 200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知从女生中抽了85人，则该校的男生人数是( )
A．720 B．690
C．510 D．200
B [由男生人数占总人数的比等于抽到的男生人数占样本容量的比，可得男生有1 200×＝690(人)．]
4．为了检验某种产品的质量，决定从101件产品中抽取10件检验，若用随机数表法抽取样本，则编号的位数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
B [用随机数表法抽取样本，位数应相同，应为3位，首位可以是000或001.]
5．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝( )
A．54 B．90
C．45 D．126
B [依题意得×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.]
二、填定题
6．利用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量的为4的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是________．
[总体个数为N＝8，样本容量为M＝4，则每一个个体被抽到的概率为P＝＝＝.]
7．某所学校有小学部、初中部和高中部，在校小学生、初中生和高中生人数之比为5∶2∶3，且已知初中生有800人，现采用分层抽样的方法从这所学校的学生中抽取一个容量为80的样本以了解学生对学校文体活动方面的评价，则每个高中生被抽到的可能性是________．
[高中生有×3＝1 200(人)，
小学生有×5＝2 000(人)，
所以每个高中生被抽到的可能性为＝＝.]
8．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________．
一年级
二年级
三年级
女生
373
380
y
男生
377
370
z
16 [一年级总人数为373＋377＝750，
二年级总人数为380＋370＝750，
故三年级总人数为2 000－750－750＝500.
因在全校抽取64名学生，所以在三年级抽取的学生人数为500×＝16.]
三、解答题
9．在下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？
(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检测；
(2)某学校有160名教职工，其中教师120名、行政人员16名、后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
思路点拨：(1)总体中的个体数比较小，因此比较适合采用抽签法或随机数表法；(2)由于学校各类职工对这一问题的看法可能差异较大，所以应采用分层抽样方法．
[解] (1)采用抽签法或随机数表法．
(2)采用分层抽样．由于总体容量为160，故样本中教师人数应为×120＝15(人)，行政人员人数应为×16＝2(人)，后勤人员人数应为×24＝3(人)．
10．某单位有80名员工，现要从中抽取8名员工去参加一个座谈会．每名员工被抽取的机会均等，应怎样抽取？
思路点拨：由于本题中的总体和样本数目都较小，因此可采用抽签法抽取，也可采用随机数表法抽取．
[解] 法一：(抽签法)①把80名员工编号为1,2,3，…，80，并写在小纸片上，折叠成小块或揉成小球；
②将制成的小块或小球放到不透明的袋子中，搅拌均匀；③从袋子中逐个抽取8个号签；
④选出总体中与抽到号签一致的8名员工参加座谈会．
法二：(随机数表法)①把80名员工编号，可以编为00,01,02，…，79；
②取出随机数表，选择某一行某一列的某个数开始读数(不妨选择第5行第12列的数8)；
③按照一定的方向读下去，在读取的过程中，若得到的号码不在编号内，则跳过，若在编号内，则取出，若得到的号码前面已经取出，即是重复出现的号码，则跳过，如此继续下去，直到取满为止；
④根据选定的号码抽取样本．
[能力提升练]
1．用随机数表法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字；④选定读数的方向．这些步骤的先后顺序应为
( )
A．②①③④ B．③④①②
C．①③④② D．④①③②
C [利用随机数表法抽取样本的一般步骤排序．]
2．为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有180,270,90名教师，则从C学校中应抽取的人数为( )
A．10 B．15
C．20 D．30
A [根据分层抽样的特征，从C学校中应抽取的人数为×60＝10.]
3．某中学有高中生3 500人、初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为________．
100 [根据分层抽样的抽样比相同，得＝，解得n＝100.]
4．某人从湖里打了一网鱼，共m条，做上记号再放回湖中，数日后又打了一网鱼，共n条，其中做记号的有k条，估计湖中有鱼________条．
[打了一网鱼，共n条，其中做记号的有k条，可以理解为每一条鱼被抽取的可能性为.设湖里共有N条鱼，则＝，所以N＝.]
5．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别
A
B
C
产品数量(件)
1 300
样本容量(件)
130
由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是多少件？
[解] 设样本容量为x，则×1 300＝130，∴x＝300.
∴A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件)．
设C产品的样本容量为y，
则y＋y＋10＝170，∴y＝80.
∴C产品的数量为×80＝800(件).
