2.4 线性回归方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解两个变量之间的相关关系并与函数关系比较．
2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系．
3．能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，并能由回归方程对总体进行预测、估计．(重点、难点)
通过对已有数量的分析、运算培养学生数据分析、数学运算的核心素养.
1．变量之间的两类常见关系
在实际问题中，变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示．另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示．
2．相关关系的分类
相关关系分线性相关和非线性相关两种．
3．线性回归方程系数公式
能用直线方程＝bx＋a近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫线性回归方程．给出一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，
(xn，yn)，线性回归方程中的系数a，b满足
上式还可以表示为
1．有下列关系：
①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；
②曲线上点与该点的坐标之间的关系；
③苹果的产量与气候之间的关系；
④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；
⑤学生与其学号之间的关系．
其中具有相关关系的是________．
①③④ [②⑤为确定关系不是相关关系．]
2．下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________．
③ [散点图①中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；③中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填③.]
3．工人工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的线性回归方程为＝50＋80x，下列判断正确的是________．
①劳动生产率为1 000元时，工资为130元；
②劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元；
③劳动生产率提高1 000元时，工资提高130元；
④当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元．
② [回归直线斜率为80，所以x每增加1，增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元．]
4．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：
广告费用(千元)
1
4
6
10
14
销售额(千元)
19
44
40
52
53
销售额y(千元)与广告费用x(千元)之间有线性相关关系，回归方程为＝2.3x＋a(a为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元．
15 [＝7，＝41.6，
则a＝－2.3＝41.6－2.3×7＝25.5.
当y＝6万元＝60千元时，
60＝2.3x＋25.5，解得x＝15(千元)．]
变量间相关关系的判断
【例1】 在下列两个变量的关系中，具有相关关系的是________．
①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故发生率之间的关系．
②④ [两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．]
1．函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2．准确理解变量间的相关关系是解答本题的关键．要准确区分两个变量间的相关关系和函数关系，事实上，现实生活中相关关系是处处存在的，从某种意义上讲，函数关系可以看作一种理想的关系模型，而相关关系是一种普遍的关系．两者区别的关键点是“确定性”还是“不确定性”．
1．下列两个变量中具有相关关系的是________(填写相应的序号)．
①正方体的棱长和体积；②单产为常数时，土地面积和总产量；③日照时间与水稻的亩产量．
③ [正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V＝x3；单产为常数a公斤/亩，土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y＝ax.日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选③.]
2．下列命题：
①任何两个变量都具有相关关系；
②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；
③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；
④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；
⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．
其中正确的命题为________．
③④⑤ [两个变量不一定是相关关系，也可能是确定性关系，故①错误；圆的周长与该圆的半径具有函数关系，故②错误；③④⑤都正确．]
散点图的画法及应用
【例2】 现有5个同学的数学和物理成绩如下表：
学生
学科
A
B
C
D
E
数学
80
75
70
65
60
物理
70
66
68
64
62
利用散点图判断它们是否具有线性相关关系？如果有线性相关关系，是正相关还是负相关？
思路点拨：本题涉及两个变量(数学成绩与物理成绩)，以x轴表示数学成绩、y轴表示物理成绩，可得相应的散点图，再观察散点图得出结论．
[解] 把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在平面直角坐标系中描点(xi，yi)(i＝1,2，…，5)．从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有线性相关关系，且当数学成绩减小时，物理成绩也由大变小，即它们正相关．
1．判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．
如果变量的对应点分布没有规律，我们就可以认为这两个变量不具有相关关系．
2．正相关、负相关
线性相关关系又分为正相关和负相关．
正相关是指两个变量具有相同的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变大．从散点图上看，因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域．
负相关是指两个变量具有相反的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变小．从散点图上看，因变量随自变量的增大而减小，图中的点分布在左上角到右下角的区域．
提醒：画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．
3．如图是两个变量统计数据的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系？
思路点拨：观察图中点的分布情况作出判断．从散点图上看，点的分布散乱无规律，故不具有相关关系．
[解] 不具有相关关系，因为散点散乱地分布在坐标平面内，不呈线形．
4．有个男孩的年龄与身高的统计数据如下：
年龄(岁)
1
2
3
4
5
6
身高(cm)
78
87
98
108
115
120
画出散点图，并判断它们是否有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？
思路点拨：描点(1,78)，(2,87)，(3,98)，(4,108)，(5,115)，(6,120)．观察点的分布，作出判断．
[解] 作出散点图如图：
由图可见，具有线性相关关系，且是正相关．
线性回归方程的求法及应用
【例3】 某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据．
广告支出x/万元
1
2
3
4
销售收入y/万元
12
28
42
56
(1)画出表中数据的散点图；
(2)求出y对x的回归直线方程＝bx＋a，并解释b的意义；
(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？
思路点拨：→→
→→→→
[解] (1)散点图如图．
(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以便计算回归系数a，B．
序号
x
y
x2
y2
xy
1
1
12
1
144
12
2
2
28
4
784
56
3
3
42
9
1 764
126
4
4
56
16
3 136
224
∑
10
138
30
5 828
418
于是＝，＝，＝30，＝5 828，iyi＝418，
代入公式得，b＝＝＝，
a＝－b＝－×＝－2.
故y对x的回归直线方程为＝x－2，其中回归系数b＝，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y平均增加万元．
(3)当x＝9万元时，＝×9－2＝129.4(万元)，
即若广告费为9万元，则销售收入约为129.4万元．
1．求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：
第一步，计算平均数，；
第二步，求和iyi，；
第三步，计算b＝＝，a＝－b；
第四步，写出线性回归方程＝bx＋A．
2．对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的．因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程．
提醒：(1)对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，判断变量之间是否线性相关，再由系数a，b的计算公式，计算出a，b，由于计算量较大，在计算时应借助计算器，仔细计算，以防出现错误．
(2)为了方便，常制表对应算出xiyi，x，以便于求和．
(3)研究变量间的相关关系，求得回归直线方程能帮助我们发现事物发展的一些规律，估计、预测某些数据，为我们的判断和决策提供依据．
5．如图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
注：年份代码1－7分别对应年份2012－2018.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据： yi＝9.32， tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数r＝，回归方程＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝，a＝－b .
思路点拨：(1)
(2)→
[解] (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得
＝4， (ti－)2＝28，＝0.55，
(ti－)(yi－)＝tiyi－yi＝40.17－4×9.32＝2.89，
∴r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝≈1.331及(1)得
b＝＝≈0.103.
a＝－b ≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.
将2016年对应的t＝9代入回归方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．
1．本节课的重点是会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．难点是了解相关关系、线性相关、回归直线的概念．
2．本节课要掌握以下几类问题
(1)准确区分相关关系与函数关系．
(2)会利用散点图判断两个变量间的相关关系．
(3)掌握用线性回归方程估计总体的一般步骤.
1．在如图所示的四个散点图中，两个变量具有相关性的是( )
A．①② B．①④
C．②③ D．②④
D [由图可知①中变量间是一次函数关系，不是相关关系；②中的所有点在一条直线附近波动，是线性相关的；③中的点杂乱无章，没有什么关系；④中的所有点在某条曲线附近波动，是非线性相关的．故两个变量具有相关性的是②④.]
2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；
②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号有( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
B [由正、负相关性的定义知①④一定不正确．]
3．某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的线性回归方程是________．
＝0.7x＋0.35 [∵＝＝4.5，＝＝3.5，
∴a＝－b＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
∴线性回归方程为＝0.7x＋0.35.]
4．2019年元旦前夕，某市统计局统计了该市2018年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：
年收入x(万元)
2
4
4
6
6
6
7
7
8
10
年饮食支出y(万元)
0.9
1.4
1.6
2.0
2.1
1.9
1.8
2.1
2.2
2.3
(1)如果已知y与x是线性相关的，求线性回归方程；
(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．
(参考数据：iyi＝117.7，＝406)
思路点拨：按照求线性回归方程的一般步骤，求出线性回归方程，再根据回归方程作出预测．
[解] (1)依题意可计算得：＝6，＝1.83，2＝36，
＝10.98，又∵iyi＝117.7，＝406，
∴b＝≈0.17，a＝－b＝0.81，
∴＝0.17x＋0.81.
∴所求的线性回归方程为＝0.17x＋0.81.
(2)当x＝9时，＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)，
可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．
课件53张PPT。第2章 统计2.4 线性回归方程 确定性函数相关线性 非线性 线性回归方程 变量间相关关系的判断 散点图的画法及应用 线性回归方程的求法及应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八) 线性回归方程
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列两个变量之间的关系是相关关系的有( )
①长方体的体积和长方体的棱长；②正n边形的边数和其内角和；③父亲的身高与儿子的身高；④光照时间和果树亩产量．
A．①② B．①③
C．②③ D．③④
D [①②是函数关系；关于③，一般来说父亲的身高高，儿子也不矮，两者之间具有相关关系；对于④，一般来说，光照时间越长，果树亩产量也越高，两者之间具有相关关系．]
2．图中各图反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有线性相关关系的有( )
A．①② B．①④
C．②③ D．②④
B [图①④中的点的分布基本上集中在一个带状区域内，反映了两个变量之间存在相关关系，即当一个变量变化时，另一个变量的值虽然不能完全确定，但大体上总是落在带状区域内，我们可以寻找一条合适的直线来近似表示两个变量之间的关系，因此这两个变量具有线性相关关系．图②中的点的分布基本上集中在由某条曲线两侧的带状区域内，表示两个变量有相关关系，但不是线性相关关系．图③表示两个变量之间有确定的关系，即函数关系．]
3．如图，有4组(x，y)数据，去掉一点后，剩下的3组数据的线性相关程度最大．则去掉的点是( )
A．P1 B．P2
C．P3 D．P4
C [去掉P3点后， 其余点大致在一条直线附近．]
4．已知x，y的取值如下表所示：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
从散点图分析，y与x线性相关，且＝0.95x＋a，则a＝( )
A．2 B．2.6
C．3 D．4.5
B [回归直线必过样本中心点(，)，且＝2，＝4.5，则4.5＝0.95×2＋a，a＝2.6.]
5．某地区调查了2岁～9岁的儿童的身高，由此建立的身高y(单位：cm)与年龄x(单位：岁)的线性回归方程为＝8.25x＋60.13，则下列叙述中正确的是
( )
A．该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cm
B．该地区2岁～9岁的儿童每年身高约增加8.25 cm
C．该地区9岁儿童的平均身高是134.38 cm
D．利用这个模型可以准确地预算该地区每个儿童(2岁～9岁)的身高
B [根据回归分析的意义知该地区一个10岁儿童的身高只能估计为142.63 cm；该地区9岁儿童的平均身高不一定是134.38 cm，且利用这个模型只能近似地预算该地区每个2岁～9岁儿童的身高．所以只有B正确．]
二、填空题
6．已知三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的横坐标x与纵坐标y具有线性关系，则其线性回归方程是________．
＝x＋ [根据线性回归方程系数公式计算．]
7．已知一个回归直线方程为＝2.5－3x，则当变量x平均增加1个单位时，变量y的变化情况是________．
平均减少3个单位 [由回归直线方程知斜率k＝－3，所以当x平均增加1个单位时，y平均减少3个单位．]
8．已知回归直线斜率的估计值为3，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为________．
＝3x－7 [由题意知回归直线方程为＝3x＋a，将(4,5)代入方程得5＝3×4＋a，解得a＝－7，故回归直线方程为＝3x－7.]
三、解答题
9．下表是某地年降水量与年平均气温的统计数据：
年平均气
温/℃
12.51
12.84
12.84
13.69
13.33
12.74
13.05
年降水量/mm
748
542
507
813
574
701
432
(1)判断两变量是否有相关关系；
(2)求回归直线方程有意义吗？
[解] (1)以x轴为年平均气温、y轴为年降水量，可得相应的散点图如图．
因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系．
(2)由(1)知，两变量没有线性相关关系．故没有必要用回归直线进行拟合，即使用公式求出回归直线方程也是没有意义的．
10．有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：
摄氏温度/℃
－5
0
4
7
12
15
19
23
27
31
36
热饮杯数
156
150
132
128
130
116
104
89
93
76
54
(1)画出散点图；
(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；
(3)求回归方程；
(4)如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数．
[解] (1)散点图如图所示：
(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．
(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出线性回归方程的系数．利用计算器容易求得线性回归方程＝－2.352x＋147.767.
(4)当x＝2时，＝143.063.因此，某天的气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮．
[能力提升练]
1．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：103 kJ)几组对应的数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程＝0.7＋0.35，那么表中t的值为( )
A．2.8 B．3
C．3.2 D．3.5
B [由＝0.7＋0.35，得
＝0.7×＋0.35，
故＝3.5，即t＝3.]
2．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差的分数为( )
A．50 B．40
C．30 D．20
D [令两人的总成绩分别为x1，x2.
则对应的数学成绩估计为1＝6＋0.4x1，
2＝6＋0.4x2，所以
|1－2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.]
3．在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：
①对所求出的回归直线方程作出解释；
②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；
③求线性回归方程；
④求相关系数；
⑤根据所搜集的数据绘制散点图．
如果根据可行性要求能够得出变量x，y具有线性相关的结论，则正确的操作顺序是________．
②⑤④③① [按照做回归分析的步骤可知顺序应为②⑤④③①.]
4．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.
185 [根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的对应数据可列表如下：
父亲的身高(x)
173
170
176
儿子的身高(y)
170
176
182
＝173，＝176，∴b＝＝＝1，a＝－b＝176－173＝3，
∴线性回归方程为＝x＋3，从而可预测他孙子的身高为182＋3＝185(cm)．]
5．某厂的生产原料耗费x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间具有线性相关关系，有如下的对应关系：
x
2
4
6
8
y
30
40
50
70
(1)求x与y之间的回归直线方程；
(2)若实际销售额不少于50万元，则原料耗费应该不少于多少？
思路点拨：利用公式求回归系数，然后得回归直线方程并据此作出相应的预测．
[解] (1)＝5，＝47.5，＝120，＝9 900，iyi＝1 080，由公式得回归系数为b＝6.5，a＝－b＝47.5－6.5×5＝15，故回归直线方程为＝6.5x＋15.
(2)由回归直线方程得当≥50时，即6.5x＋15≥50，x≥≈5.38.故原料耗费应不少于5.38万元．
