3.1 随机事件及其概率
学 习 目 标
核 心 素 养
1.体会确定性现象与随机现象的含义．
2．了解必然事件、不可能事件及随机事件．
3．了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别．(难点)
4．理解概率的统计定义，知道根据概率的统计定义计算概率的方法．(重点)
1.通过对事件性质的判断来锻炼学生的逻辑推理核心素养．
2．通过对数据的分析、计算来培养学生的数据分析、数学运算核心素养.
1．随机事件
(1)确定性现象、随机现象
在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象．
在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象．
(2)试验、事件
一次试验就是对于某个现象的条件实现一次，例如对“掷一枚硬币，出现正面”这个现象来说，做一次试验就是将硬币抛掷一次．
而试验的每一种可能的结果，都是一个事件．
(3)必然事件、不可能事件、随机事件
在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件；
在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件；
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．
我们用A，B，C等大写英文字母表示随机事件，如我们记“某人射击一次，中靶”为事件A．
2．随机事件的概率
(1)频数与频率
在一定条件下，重复进行了n次试验，如果某一事件A出现了m次，则事件A出现的频数是m，称事件A出现的次数与试验总次数的比例为事件A出现的频率．
(2)概率的统计定义
一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以发现事件A发生的频率趋近于一个常数，这个常数随着试验次数的增加越来越稳定，我们把这个常数作为事件A发生的概率的近似值，即P(A)≈.
这里这个常数的意义就代表是随机事件的概率，由于随着试验次数的增加，频率越来越接近概率，也即概率是频率的期望值，所以用频率来定义概率是合理的，可行的．
(3)必然事件和不可能事件的概率
可以把必然事件和不可能事件当成随机事件的两种特殊情况来考虑，分别用Ω和?来表示，显然P(Ω)＝1，P(?)＝0.所以对任何一个事件A，都有0≤P(A)≤1.
思考：频率与概率之间有什么关系？
[提示] (1)频率是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，且可能会随着试验次数的改变而改变，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，反映了随机事件出现的可能性的大小，近似反映了概率的大小．比如全班同学都做了10次掷硬币的试验，但得到正面向上的频率可以是不同的．
(2)概率是一个确定的常数，是客观存在的，它是频率的科学抽象，与每次试验无关，不随试验结果的改变而改变，从数量上反映随机事件发生的可能性大小．例如，如果一个硬币质地均匀，则掷该枚硬币出现正面向上的概率是0.5，与做多少次试验无关．
(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率．在实际问题中，随机事件的概率未知，常用大量重复试验中事件发生的频率作为它的估计值．
1．有下列现象：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面向上；②异性电荷互相吸引；③在标准大气压下，水在1 ℃结冰；④南通某天下雨．其中是随机现象的是( )
A．①③ B．②③
C．①④ D．③④
C [随机现象的典型特征是不能事先预料哪一种结果会出现，据此逐个分析，所以①④正确．]
2．在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件．给出下列事件：①3件都是红色；③3件都是白色；③至少有1件红色；④至少有1件白色．其中是必然事件的序号为________．
③ [因白色商品共2件，而要抽出3件商品，故抽出的3件中至少有1件为红色的，故选③.]
3．某英语试题中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3题答对．”这句话____________________________________．
(填“正确”“错误”或“不一定”)
错误 [把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是，说明了答对的可能性大小是，由于每次试验的结果都是随机的，因而做12次试验，结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定答对3道题，也可能都选错，也可能有1,2,3,4，…甚至12道题选择正确．]
4．将一枚骰子掷300次，则掷出的点数大于2的次数大约是________．
200 [根据题意，得300×＝200.]
事件的有关概念
【例1】 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．
(1)抛一石块，下落；
(2)在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化；
(3)某人射击一次，中靶；
(4)如果a>b，那么a－b>0；
(5)掷一枚硬币，出现正面；
(6)导体通电后，发热；
(7)从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签；
(8)某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
(9)没有水分，种子能发芽；
(10)在常温下，焊锡熔化．
[解] (1)是必然事件，该现象是大自然的客观规律所致．
(2)是不可能事件，在标准大气压下，只有温度高于0 ℃时，冰才融化．
(3)是随机事件，射击一次可能中靶，也可能不中靶．
(4)是必然事件，由不等式性质可得．
(5)是随机事件，因为将一枚硬币抛掷一次，可能出现正面向上，也可能出现反面向上．
(6)是必然事件，导体通电发热是物理现象．
(7)是随机事件，从5张标签中任取一张，每张都有被取到的可能．
(8)是随机事件，因为结果有不可预知性．
(9)是不可能事件，因为种子只有在有水分的条件下，才能发芽．
(10)是不可能事件，因为金属锡只有在高温下才能熔化．
要判定某事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．其次再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
1．有下列事件：①足球运动员罚点球命中；②在自然数集合中任取一个数为偶数；③在标准大气压下，水在100 ℃时沸腾；④已知A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，则B?A；⑤光线在均匀介质中发生折射现象；⑥任意两个奇数之和为奇数．
在上述事件中为随机事件的有________，为必然事件的有________，为不可能事件的有________．
①② ③ ④⑤⑥ [①足球运动员罚点球可能命中，也可能不命中；②在自然数集合中任取一个数可能为奇数，也可能为偶数；③在标准大气压下，水在100 ℃时一定沸腾；④已知A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，则B?A是不可能的；⑤光线在均匀介质中是沿直线传播的，不可能发生折射现象；⑥任意两个奇数之和为偶数．]
2．分析下面给出的五个事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)某地2月3日下雪；
(2)函数y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数；
(3)实数的绝对值不小于0；
(4)在标准大气压下，水在1 ℃结冰；
(5)a，b∈R，则ab＝bA．
[解] (1)随机事件，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪．
(2)随机事件，函数y＝ax当a>1时在定义域上是增函数，当0
(3)必然事件，实数的绝对值非负．
(4)不可能事件，在标准大气压下，水在0℃以下结冰．
(5)必然事件，若a，b∈R，则ab＝ba恒成立．
对概率意义的理解
【例2】 某种病的治愈概率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?
思路点拨：解答本题要理解概率的意义．
[解] 如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈的概率是0.3，指随着试验次数的增加，即治疗的病人数的增加，大约有30%的人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没治愈是可能的，而对后3个病人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也有可能没治愈．
治愈的概率是0.3，是指如果患病的有1 000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈概率附近摆动这一前提，就可以认为这1 000人中，大约有300人能治愈，这个事先估计对于医药卫生部门是很有参考价值的．这也进一步说明了随机事件的概率只是反映了大量重复试验条件下，随机试验A发生的频率的稳定性．
随机事件的发生具有随机性，概率值仅说明事件发生的可能性的大小，因此，在解释随机事件的概率时，凡是出现“必定”“肯定”之类的确定性字眼，一般都是错误的．
3．如果某种彩票中奖的概率为，那么买1 000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释．
思路点拨：买1 000张彩票，相当于做1 000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1 000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1 000张彩票有可能没有1张中奖．
[解] 不一定能中奖．因为买1 000张彩票相当于做1 000次试验，而每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1 000张彩票中可能没有1张中奖，也可能有1张、2张或者多张中奖．
4．试解释下列情况中概率的意义．
(1)某商场为促进销售，实行有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20；
(2)一生产厂家称：我们厂生产的产品合格的概率是0.98.
思路点拨：有奖销售活动中，凡购买其商品的顾客中奖的概率表示购买其商品的顾客中奖的可能性的大小；生产厂家所说的产品合格的概率表示其厂生产的产品合格的可能性的大小．
[解] (1)指购买其商品的顾客中奖的可能性为20%.
(2)指其厂生产的产品合格的可能性是98%.
频率与概率的关系及求法
【例3】 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组
[500，
900)
[900，
1 100)
[1 100，
1 300)
[1 300，
1 500)
[1 500，
1 700)
[1 700，
1 900)
[1 900，
＋∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
思路点拨：→→
[解] (1)频率依次是：
0．048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是
48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中灯管使用寿命不足1 500小时的频率是＝0.6，
所以灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
1．频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是概率．
2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
5．下列说法：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②百分率是频率，不是概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是________．
①③④ [由频率与概率的定义及两者之间的关系知①③④正确，②不正确．]
6．某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表：
菜籽粒数
2
5
10
70
130
310
700
1 500
2 000
3 000
发芽粒数
2
4
9
60
116
282
639
1 339
1 806
2 715
发芽频率
(1)填写表中的菜籽发芽的频率；
(2)求该种菜籽发芽的概率．
思路点拨：事件A出现的频数nA与试验次数n的比值fn(A)＝即为事件A发生的频率，当事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A发生的概率．
[解] (1)根据表格计算不同情况下种子发芽的频率分别是：1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893，0.903，0.905.
(2)随着菜籽粒数的增加，菜籽发芽的频率越来越接近于0.9，且在它的附近摆动．故该种菜籽发芽的概率约为0.9.
1．本节课的重点是理解概率的含义，了解频率与概率的区别与联系．
2．本节课的难点是求解事件发生的频率和概率．
3．本节课的易错点是混淆频率与概率的概念，列举试验结果时出现遗漏.
1．下列现象中，不是随机现象的是( )
A．在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆
B．若a为整数，则a＋1为整数
C．发射一颗炮弹，命中目标
D．检查流水线上一件产品是合格品还是次品
B [当a为整数时，a＋1一定为整数，是必然现象，其余3个均为随机现象．]
2．在200件产品中，有192件一级品、8件二级品，则下列事件：
①“在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品”；
②“在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品”；
③“在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品”；
④“在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10”．
其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．
④ ② ①③ [事件①③，可能发生也可能不发生；对于事件②，由于200件产品中只有8件二级品，故不可能选出9件二级品，是不可能事件；对于事件④，选出的9件产品中不是一级品的件数必定小于10，是必然事件．]
3．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
0 [①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．]
4．据统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，对此有人解释为该运动员投篮100次，一定有90次命中，10次不中．你认为这种解释正确吗？
思路点拨：投篮命中率为90%，是指该运动员投篮命中的概率，是指一种可能性，而不是说投篮100次就一定命中90次．
[解] 这种解释显然是不正确的．因为“投篮命中”是一个随机事件，90%是指“投篮命中”这个事件发生的概率，我们知道，概率为90%的事件也可能不发生，所以这种解释是错误的．
课件47张PPT。第3章 概率3.1 随机事件及其概率发生或不发生 可能 不能 将硬币抛掷一次 不会 可能发生也可能不发生 A，B，C A m 稳定 概率 期望 Ω ? 0≤P(A)≤1 事件的有关概念 对概率意义的理解 频率与概率的关系及求法 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(九) 随机事件及其概率
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列事件中，随机事件的个数为( )
①物体在只受重力的作用下会自由下落；
②方程x2＋2x＋8＝0有两个实根；
③某信息台每天的某段时间收到信息咨询超过10次；
④下周六会下雨．
A．1 B．2
C．3 D．4
B [根据定义，①必定会发生，是必然事件；②方程的判别式Δ＝22－4×8＝－28<0，方程无实根，是不可能事件；③和④可能发生也可能不发生，是随机事件．]
2．下列说法错误的个数是( )
①若概率为的事件没有发生，则概率为的事件也不会发生；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率；
③事件发生频率与概率是相同的；
④随机事件和随机试验是一回事．
A．1 B．2
C．3 D．4
D [概率为的事件有可能发生，故①错误；做n次随机事件，事件A发生m次，则事件A发生的频率不是事件的概率，因为频率是可以改变的，而概率是一定的，故②不正确；③与②道理是一样的，故不正确；由随机试验与随机事件的概念可知，试验的可能结果是随机事件，因此两者不是同一回事，故④错误．]
3．在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率P(A)与的关系是( )
A．P(A)≈ B．P(A)＜
C．P(A)＞ D．P(A)＝
A [对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)，即P(A)≈.]
4．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷100次，那么第99次出现正面朝上的概率是( )
A． B．
C． D．
D [因为硬币质地均匀，所以任何一次抛掷得到正面朝上的概率都是.]
5．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖，甲、乙2人各抽取1张，2人都中奖的概率是( )
A． B．
C． D．
C [事件的总数为3×2＝6，甲、乙2人各抽取1张奖券，2人都中奖只有2种情况，所以2人都中奖的概率为＝.]
二、填空题
6．某厂一批产品的次品率为2%，那么该厂8 000件产品中合格品大约是________件．
7 840 [由题意得8 000×(1－2%)＝8 000×98%＝7 840.]
7．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
10
11
8
8
6
10
18
9
11
9
则取到号码为奇数的频率是________．
0．53 [利用公式fn(A)＝计算出频率值，取到号码为奇数的频率是＝0.53.]
8．某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示，则在区间[4,5)上的数据的概率为________．
0．3 [在区间[4,5)上数据的频率为1－0.05－0.10－0.15－0.40＝0.3，故所求概率为0.3.]
三、解答题
9．小林在复习时发现了两个关于“事件发生的频率与概率”的问题，请你帮助他解答下列问题：
(1)某厂一批产品的次品率为，问任意抽取其中的10件产品是否一定会发现一件次品？为什么？
(2)10件产品的次品率为，问这10件产品中必有一件次品的说法是否正确？为什么？
思路点拨：总体次品率不一定就代表了抽取的样本中的次品率．
[解] (1)不一定，此处次品率指概率．从概率的统计定义看，当抽取件数相当多时，其中出现次品的件数与抽取总体数之比在附近摆动，是随机事件结果，而不是确定性数字结果，事实上这10件产品中有11种可能，全为正品，有1件次品，2件次品，…直至有10件次品．本题若改为“可能有一件次品”便是正确的了．
(2)正确．这是确定性数学问题．
10．为了解学生的身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如图所示．
① ②
(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170 cm～185 cm之间的概率．
思路点拨：首先根据统计知识估计学校男生的总人数，然后利用频率估计概率的值．
[解] (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
(2)由统计图知，样本中身高在170 cm～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170 cm～185 cm之间的频率f＝＝0.5，故估计该校学生身高在170 cm～185 cm之间的概率约为0.5.
[能力提升练]
1．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
C [必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，所以任何事件发生的概率总在[0,1]之间，故A错；B、D混淆了频率与概率的概念，也错．]
2．某机床厂每月生产某种精密数控机床10台，已知生产一台合格品能赢利8万元，生产一台次品将会亏损2万元．假设该精密数控机床任何两台之间合格与否相互没有影响．相关部门统计了近两年每个月生产的合格品，以生产最稳定的年份估计2019年工厂生产该精密数控机床的合格率约为( )
合格品
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
2017
7
8
7
6
10
8
5
6
7
8
6
6
2018
9
8
7
8
8
8
9
7
8
10
7
7
A．0.75 B．0.8
C．0.85 D．0.9
B [2017年合格品的方差约为1.67,2018年合格品的方差约为0.83，所以2018年生产较稳定.2018年生产精密数控机床的合格率为0.8，估计2019年生产精密数控机床的合格率约为0.8.]
3．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是________．
0．45 [由图可知抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.]
4．设有外形完全相同的2个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，今随机地抽取1箱，再从取出的1箱中抽取1个球，结果取得白球．我们作出统计推断该白球是从________箱中抽出的．
甲 [作出判断的依据是“样本发生的可能性最大”，甲箱中有99个白球和1个黑球，故随机地取出1个球，得白球的可能性是；乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取1个球，得白球的可能性是.由此看出，这1个白球是从甲箱中抽出的概率比是从乙箱中抽出的概率大得多，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中抽出的，所以我们推断该白球是从甲箱中抽出的．]
5．某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，估计学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
思路点拨：(1)根据抽样比计算分层抽样中应抽取的人数．(2)已知300个样本数据的频率分布直方图，图中组距为2(小矩形的面积就是该组频率)，用频率估计概率，求概率．
[解] (1)因为300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得
1－2×(0.025＋0.100)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
