3.4 互斥事件
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解互斥事件及对立事件的概念，能判断两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立事件．(重点、难点)
2．了解两个互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论．会用相关公式进行简单概率计算．(重点)
3．注意学生思维习惯的培养，在顺向思维受阻时，转向逆向思维.
1.通过求事件发生的概率锻炼学生的数据分析、数学运算核心素养．
2．借助于互斥事件概率之间的关系，培养学生的逻辑推理核心素养.
1．互斥事件与对立事件的定义
(1)一次试验中，不能同时发生的两个事件称为互斥事件，如果事件A和事件B互斥，是指事件A和事件B在一次试验中不能同时发生，也就是说，事件A和事件B同时发生的概率为0.
如果事件A1，A2，…，An中的任意两个事件都互斥，就称事件A1，A2，…，An彼此互斥，从集合的角度看，n个事件彼此互斥是指各个事件所含结果的集合彼此不相交．
(2)一次试验中，两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A的对立事件记为.从集合的角度看，事件A的对立事件是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集．
思考：互斥事件与对立事件有什么区别和联系？
提示：
区别
从集合角度看，若A，B是互斥事件，则B?，A?；若A，B是对立事件，则有A＝，＝B．例如，假设全集是天气情况，那么事件A“晴天”与事件B“下雨”是互斥事件，但不是对立事件，因为天气情况还包括“阴天”“下雪”等
联系
对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件
2．概率加法公式
(1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
(2)一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于每个事件概率的和．
3．对立事件的一个重要公式
对立事件A与必有一个发生，故A＋是必然事件，从而P(A)＋P()＝P(A＋)＝1.
由此，我们可以得到一个重要公式：
P()＝1－P(A)．
1．给出以下结论：
①互斥事件一定对立；
②对立事件一定互斥；
③互斥事件不一定对立；
④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；
⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．
其中正确的命题个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
A [对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴④错；
只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错．]
2．抽查10件产品，设A＝{至少有两件次品}，则为________．
至多有一件次品 [“至少有两件次品”的对立事件是“至多有一件次品”．]
3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为________．
50% [甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.]
4．在10张卡片上分别写上0,1,2,3,4,5,6,7,8,9后，任意叠放在一起，从中任取一张，设“抽到大于3的奇数”为事件A，“抽到小于7的奇数”为事件B，则P(A＋B)＝________.
[易知A，B不是互斥事件，所以不能直接套用互斥事件的概率加法公式．事件A＋B包含了5个基本事件，即抽到1,3,5,7,9，则P(A＋B)＝＝.]
互斥事件与对立事件的判断
【例1】 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
思路点拨：判断两个事件是否互斥，就是要判断它们能不能同时发生．判断两个互斥事件是否对立，就是要判断它们是否必有一个发生．
[解] (1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件．当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件．由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)当选出的是1名男生、1名女生时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
1．要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．
2．考虑事件的结果间是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．
1．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
思路点拨：解决这类问题搞清互斥事件与对立事件的区别和联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生．
[解] (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
2．某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A：“只订甲报”，事件B：“至少订一种报”，事件C：“至多订一种报”，事件D：“不订甲报”，事件E：“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
思路点拨：对于互斥事件要抓住如下特征进行理解：(1)互斥事件研究的是两个事件之间的关系；(2)所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；(3)两个事件互斥是由试验的结果不能同时出现确定的．
[解] (1)由于事件C“至多订一种报”中有可能“只订甲报”，即事件A与C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件，又由于事件B与E必有一个发生，故B与E是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，从而事件B与D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有这些可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)知，事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能，故C与E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
概率的加法公式
【例2】 某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下：
年最高水位/m
[8,10)
[10,12)
[12,14)
[14,16)
[16,18]
概率
0.1
0.28
0.38
0.16
0.08
计算在同一时期内，河流此处的年最高水位在下列范围内的概率：
(1)[10,18]；(2)[8,14)．
思路点拨：→→
[解] 记此处河流的年最高水位在[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18]范围内分别为事件A，B，C，D，E，则这5个事件是彼此互斥的，由互斥事件的概率加法公式可得：
(1)此处河流的年最高水位在[10,18]的概率是
P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.90.
(2)此处河流的年最高水位在[8,14)的概率是
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.76.
1．将一个事件拆分为若干个互斥事件，分别求出各事件的概率，然后用加法公式计算结果．
2．在运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件，做到不重不漏．
3．常用步骤：(1)确定诸事件彼此互斥；(2)诸事件中有一个发生；(3)先求诸事件分别发生的概率，再求和．
3．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，求“3个球中既有红球又有白球”的概率．
思路点拨：记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，分别计算出每个基本事件发生的概率，再利用概率的加法公式进行计算．
[解] 本题应先判断事件“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A(“3个球中有1个红球，2个白球”)和事件B(“3个球中有2个红球，1个白球”)，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
4．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第1声时被接的概率为0.1，响第2声时被接的概率为0.3，响第3声时被接的概率为0.4，响第4声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是多少？
思路点拨：直接利用互斥事件的概率加法公式求得结果．
[解] 记“响第1声时被接”为事件A，“响第2声时被接”为事件B，“响第3声时被接”为事件C，“响第4声时被接”为事件D，“响前4声内被接”为事件E，则易知A，B，C，D互斥，且E＝A＋B＋C＋D，所以由互斥事件的概率加法公式，得P(E)＝P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.
求对立事件的概率
【例3】 一个袋中装有4个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机抽取2个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取1个球，该球的编号为m，将球放回袋中，再从袋中随机取1个球，该球的编号为n，求n思路点拨：(1)利用列举法求出基本事件的总数，进而求出概率；(2)是有放回抽样，所取的编号有先后次序之分，基本事件的总数为16，利用“正难则反”思想求解．
[解] (1)从袋子中随机取2个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．
从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个．
因此所求事件的概率为＝.
(2)先从袋中随机取1个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取1个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
满足条件n≥m＋2的结果为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率P＝，
故满足条件n1．当直接计算符合条件的事件个数较多时，可先计算其对立事件的概率，再由公式P(A)＝1－P()间接地求出符合条件的事件的概率．
2．应用公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏，该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解．
5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________．
[每位同学有2种选法，基本事件的总数为24＝16，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个，根据对立事件的概率公式知，周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1－＝.]
6．玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1球，求：
(1)得到红球或黑球的概率；
(2)得到红球或黑球或白球的概率．
思路点拨：转化为互斥事件或对立事件来计算概率．
[解] 记事件A1：从12只球中任取1球得红球；A2：从12只球中任取1球得黑球；A3：从12只球中任取1球得白球；A4：从12只球中任取1球得绿球，则
P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，P(A4)＝.
(1)取出红球或黑球的概率为：P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4.
P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
互斥事件、对立事件概
率公式的综合应用
【例4】 抛掷一个均匀的正方体玩具(各个面上分别有1,2,3,4,5,6这6个数字)，求：
(1)落地时向上的数是偶数的概率；
(2)落地时向上的数是奇数的概率；
(3)落地时向上的数不小于5的概率；
(4)落地时向上的数大于1的概率；
(5)落地时向上的数最大或最小的概率．
思路点拨：落地时向上的数分别是1,2,3,4,5,6，这6个事件彼此互斥，且概率之和为1.
[解] 列表如下：
向上的数x
1
2
3
4
5
6
概率
(1)P(x是偶数)＝P(x＝2)＋P(x＝4)＋P(x＝6)＝＋＋＝.
(2)P(x是奇数)＝P(x＝1)＋P(x＝3)＋P(x＝5)＝＋＋＝，或P(x是奇数)＝1－P(x是偶数)＝1－＝.
(3)P(x≥5)＝P(x＝5)＋P(x＝6)＝＋＝.
(4)P(x>1)＝P(x＝2)＋P(x＝3)＋P(x＝4)＋P(x＝5)＋P(x＝6)＝×5＝，或P(x>1)＝1－P(x≤1)＝1－P(x＝1)＝1－＝.
(5)P(x最大或最小)＝P(x＝6)＋P(x＝1)＝＋＝.
所以：(1)落地时向上的数是偶数的概率是；
(2)落地时向上的数是奇数的概率是；
(3)落地时向上的数不小于5的概率是；
(4)落地时向上的数大于1的概率是；
(5)落地时向上的数最大或最小的概率是.
“互斥”和“对立”都是针对两个事件而言．“互斥”是指两个事件不能同时发生；“对立”是指两个互斥事件有且仅有一个发生．
对于求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求出所求事件的对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
7．掷一枚骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A＋发生的概率为________．
[事件A发生的概率为P(A)＝＝，事件B发生的概率为P(B)＝＝，所以事件发生的概率为P()＝1－P(B)＝1－＝，易知事件A与事件互斥，故P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.]
8．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率．
思路点拨：甲获胜和乙不输是对立事件，甲不输与乙获胜是对立事件，根据概率公式计算即可．
[解] (1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－－＝.
即甲获胜的概率是.
(2)法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝.
法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝.即甲不输的概率是.
1．本节课的重点是理解互斥事件和对立事件的概念及关系，难点是利用互斥事件、对立事件间的概率关系求事件发生的概率．
2．应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率.
1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是( )
A．至少有1名男生与全是女生
B．至少有1名男生与全是男生
C．至少有1名男生与至少有1名女生
D．恰有1名男生与恰有2名女生
D [A是对立事件，B、C均不是互斥事件．]
2．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率是，则至少一个5点或6点的概率是________．
[由对立事件的概率公式，得所求的概率为1－＝.]
3．抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝P(B)＝，则出现1点或出现2点的概率为________．
[设事件C为“出现1点或出现2点”，∵事件A，B是互斥事件，由C＝A∪B可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.]
4．高一(2)班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，计算下列事件的概率：
(1)恰有一名参赛学生是男生；
(2)至少有一名参赛学生是男生；
(3)至多有一名参赛学生是男生.
思路点拨：(1)利用古典概型知识求解， (2)(3)利用对立事件处理较为简单．
[解] 从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共有15(种)等可能的结果．
(1)恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有3×3＝9(种)结果，所以恰有一名参赛学生是男生的概率为＝.
(2)“至少有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是女生”，从3名女生中任选2人有3(种)结果，所以至少有一名参赛学生是男生的概率为
1－＝.
(3)“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，从3名男生中任选2人有3(种)结果，所以至多有一名参赛学生是男生的概率为1－＝.
课件57张PPT。第3章 概率3.4 互斥事件互斥事件 0 彼此互斥 不相交 对立事件 补 P(A)＋P(B) 1 1－P(A) 互斥事件与对立事件的判断 概率的加法公式 求对立事件的概率 互斥事件、对立事件概率公式的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十一) 互斥事件
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列各组事件中，不是互斥事件的是( )
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分
C．播种菜子100粒，发芽90粒与发芽80粒
D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%
B [由互斥事件的定义作出判断：A、C、D中描述的两个事件都不能同时发生，为互斥事件；B中当平均分为90分时，描述的两个事件能同时发生．]
2．在掷骰子的游戏中，向上的数字是1或2的概率是( )
A． B．
C． D．
C [事件“向上的数字是1”与事件“向上的数字是2”为互斥事件，且二者发生的概率都是，所以“向上的数字是1或2”的概率是＋＝.]
3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．0.35 B．0.3
C．0.5 D．0.05
A [事件“抽到的不是一等品”是A的对立事件，故P＝1－P(A)＝0.35.]
4．抛掷一颗骰子，观察掷出的点数， 设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则抛掷一颗骰子“出现奇数点或偶数点”的概率是( )
A． B．
C． D．1
D [法一：记“出现奇数点或偶数点”为事件C，则C＝A＋B，因为A，B是互斥事件，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝1.
法二：因为抛掷一骰子出现点数不是奇数就是偶数，所以“抛掷一骰子出现奇数点或偶数点”是必然事件，其概率为1.]
5．从甲、乙等5名学生中随机地选出2人，则甲被选中的概率为( )
A． B．
C． D．1
C [设这5名学生为甲、乙、丙、丁、戊，从中任选2人的所有情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)共10种，甲被选中的情况有4种，故甲被选中的概率为＝.]
二、填空题
6．某产品分一、二、三级，其中一、二级是正品，若生产中出现正品的概率是0.98，二级品的概率是0.21，则出现一级品与三级品的概率分别是________．
0．77,0.02 [设生产中出现一级品为事件A，出现二级品为事件B，则A，B互斥，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.98，P(B)＝0.21，所以P(A)＝0.77.
出现三级品的概率P＝1－0.98＝0.02.]
7．投掷红、蓝两颗均匀的骰子，观察出现的点数，至少一颗骰子出现偶数点的概率是________．
[至少一颗骰子出现偶数点的对立事件为都出现奇数点，出现奇数点的概率是×＝，故至少一颗骰子出现偶数点的概率是1－＝.]
8．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，不是2面涂有颜色的小正方体的概率是________．
[将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从中任取一个出现的可能结果有27种，每种试验结果出现的可能性相同，设事件A为“恰有2面涂有颜色的小正方体”，则事件A的对立事件是事件“不是2面涂有颜色的小正方体”，又事件A所包含的可能结果有12种，所以从这些小正方体中任取1个是恰有2面涂有颜色的小正方体的概率是.]
三、解答题
9．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)射中7环以下的概率．
思路点拨：(1)射中10环和射中7环显然为互斥事件，由概率加法公式求解；(2)利用对立事件的定义判断出“7环以下”与“射中7环或8环或9环或10环”为对立事件，利用对立事件的概率公式求解．
[解] (1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，
则“射中10环或7环”的事件为A＋B，事件A和事件B是互斥事件，
故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49，
所以射中10环或7环的概率为0.49.
(2)设“射中7环以下”为事件C，“射中7环或8环或9环或10环”为事件D，
则P(D)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97.
又事件C和事件D是对立事件，所以P(C)＝1－P(D)＝1－0.97＝0.03.
所以射中7环以下的概率是0.03.
10．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？
思路点拨：分别以A，B，C，D表示事件：从袋中任取一球“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”，则由题意得到三个和事件的概率，求解方程组得答案．
[解] 从袋中任取一球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为事件A，B，C，D，且彼此互斥，则有
P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝；
P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝；
P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝1－P(A)＝1－＝.
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.
[能力提升练]
1．现有历史、生物、地理、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )
A． B．
C． D．
D [记取到历史、生物、地理、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则A，B，C，D，E互斥，取到理科书的概率为事件B，D，E概率的和．
所以P(B＋D＋E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)
＝＋＋＝.]
2．高二某班的50名同学参加了2018年《学业水平测试》化学科目的考试，考试分A，B，C，D四个等级．考试结果如下：获得D等级的同学的概率为0.02，获得B等级以下的同学的概率为0.7.则获得C等级的同学的概率是( )
A．0.3 B．0.68
C．0.7 D．0.72
B [设“获得D等级的”为事件A，“获得B等级以下的”为事件B，“获得C等级的”为事件C，则A，C为互斥事件，且A＋C＝B．
∴P(B)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)．
∴P(C)＝P(B)－P(A)＝0.7－0.02＝0.68.]
3．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P()＝________.
[由题意知P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1－＝，结合P(A)＝2P(B)，解得P(A)＝，P(B)＝，故P()＝1－P(A)＝.]
4．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
[由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝＋＝.
由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为
P(A)＝1－P(B)＝1－＝.]
5．袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次．求所得球：
(1)3只球颜色全相同的概率；
(2)3只球颜色不全相同的概率．
思路点拨：3只球颜色不全相同的情况较多，如有2只球同色而另1只球不同色(即可以是2只同为红色、同为黄色或同为白色等等)或3只球颜色全不相同等，这样考虑起来比较麻烦，而其对立事件是3只球颜色全相同，其概率易求出，故可运用对立事件的概率公式求解(2)．
[解] (1)“3只球颜色全相同”只可能是这样的3种情况：
“3只球全是红球”(事件A)，
“3只球全是黄球”(事件B)，
“3只球全是白球”(事件C)，
且它们之间是互斥关系，
故“3只球颜色全相同”这个事件可记为A＋B＋C．
由于事件A，B，C不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又由于红、黄、白球个数一样，有放回地抽取3次共有27种结果，故不难得到P(A)＝P(B)＝P(C)＝，故P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝.
(2)记“3只球颜色不全相同”为事件D，则事件为“3只球颜色全相同”，显然事件D与是对立事件，且P()＝P(A＋B＋C)＝.
所以P(D)＝1－P()＝1－＝.故3只球颜色不全相同的概率为.
