北师大版数学九年级上册同步课时训练
第四章 图形的相似
8 图形的位似
第1课时 位似多边形
自主预习 基础达标
要点1 位似多边形的概念和性质
1. 一般地，如果两个 多边形任意一组对应顶点P，P′所在的直线都经过同一个点O，且有 (k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形.点O叫做位似中心.k就是这两个相似多边形的 .
2. 位似图形具有 的一切性质；对应点的连线必过 ；位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于 .
要点2 位似图形的画法
画位似图形的步骤：
第一步：确定 (位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上，还可以在某一个顶点上)；
第二步：画出图形各顶点与位似中心O的连线；
第三步：按 取点；
第四步：顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形.
课后集训 巩固提升
1. 将△ABC的三边缩小为原来的，得到对应的△DEF，下列说法：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF周长比为2∶1；④△ABC与△DEF面积比为4∶1.正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4
2. 如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为( )
A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶5 D. 1∶9
第2题 第3题
3. 如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( )
A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N
4. 如图所示的是位似图形的几种画法，其中不正确的是( )
A B
C D
5. 用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心( )
A. 只能选在原图形的外部 B. 只能选在原图形的内部
C. 只能选在原图边的边上 D. 可以选择任何位置
6. 如图所示，已知AB∥CD，AC与BD相交于点O，EF过点O，交AB，CD分别于点F，E，则图中位似图形有 组，它们分别是 .
第6题 第7题
7. 如图，DC∥AB，OA＝2OC，则△OCD与△OAB的位似比是 .
8. 如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上.若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中图形的高度为6cm，则屏幕上的图形的高度为 cm.
9. 如图，在正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上顺次截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′，根据所学知识，我们知道四边形A′B′C′D′也是正方形，且正方形A′B′C′D′相似于正方形ABCD，其中点A与A′，点B与B′，点C与C′，点D与D′是对应顶点，那么这两个正方形是位似图形吗？如果是位似图形，请找出位似中心；如果不是位似图形，请说明理由.
10. 如图，正方形DEFG的顶点D在△ABC的边AB上，EF在边BC上，请你以点B为位似中心，在图中作出正方形DEFG的位似图形MNPQ，使点M，Q分别在边AB，AC上，点N，P在边BC上.
11. 作一个四边形A′B′C′D′与如图所示的四边形ABCD位似，相似比为，位似中心为O.
12. 如图，求作四边形ABCD以O为位似中心的位似四边形A′B′C′D′.(要求沿OA方向放大为原图的2倍)
13. 如图，点O是△ABC内一点，A′，B′，C′分别是OA，OB，OC的中点.
求证：△A′B′C′与△ABC是位似三角形.
14. 如图，△OAB与△ODC是位似图形.试问：
(1)AB与CD平行吗？请说明理由.
(2)如果OB＝3，OC＝4，OD＝3.5，试求△OAB与△ODC的相似比及OA的长.
15. 如图所示，如果AC∥BD，CE∥DF，那么：
(1)△OAE与△OBF是否相似？是否位似？
(2)△ACE与△BDF是否位似？
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 1. 相似 OP′＝k·OP 相似比 2. 相似图形 位似中心 相似比
要点2 位似中心O 相似比
课后集训 巩固提升
1. C 2. D 3. A 4. C 5. D
6. 3 △EOD与△FOB，△COE与△AOF，△DOC与△BOA
7. 1∶2
8. 18
9. 解：这两个正方形不是位似图形，因为它们对应点的连线所在的直线不交于同一点.
10. 解：如图所示，正方形MNPQ即为所求.
11. 解： 如图所示，作法：连接AO，DO，BO，CO，在AO上找一点A′使得OA′＝OA.同理OD′＝OD，OC′＝OC，OB′＝OB，依次连接A′D′，D′C′，C′B′，A′B′，四边形A′B′C′D′就是所求作的四边形ABCD的位似图形.
12. 解：作法：(1)连接OA，并延长OA到A′，使AA′＝OA. (2)连接OB，并延长OB到B′，使BB′＝OB. (3)连接OC，并延长OC到C′，使CC′＝OC. (4)连接OD，并延长OD到D′，使DD′＝OD. (5)连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′.则四边形A′B′C′D′为所求作的四边形.
13. 证明：∵A′，B′分别是OA，OB的中点，∴A′B′∥AB，同理得A′C′∥AC，B′C′∥BC.∴＝＝，＝＝.∴＝＝，又△ABC与△A′B′C′对应点的连线都经过点O，可得△A′B′C′与△ABC是位似三角形.
14. 解：(1)AB∥CD.∵△OAB与△ODC是位似图形，AB的对应边是CD，根据位似性质知AB∥CD.
(2)△OAB中OB的对应边是△ODC中的OC，故△OAB与△ODC的相似比为＝；＝，得OA＝.
15. 解：(1)△OAE与△OBF相似且位似.∵AC∥BD，∴＝.又∵CE∥DF，∴＝，∴＝，∴AE∥BF.∴△OAE∽△OBF.又∵△OAE和△OBF对应点的连线都经过点O，∴△OAE与△OBF位似.
(2)△ACE与△BDF位似.由(1)得AE∥BF，∴＝.又∵AC∥BD，∴＝＝.又∵CE∥DF，∴＝，∴＝＝.∴△ACE∽△BDF.又∵△ACE和△BDF对应点的连线都经过点O，∴△ACE与△BDF位似.
