3.1 两角和与差正弦余弦公式（1） 学案

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学案 两角和与差正弦余弦公式（1）
【学习目标】
掌握用向量方法建立两角差的余弦公式及简单运用.
掌握通过两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式.
【知识要点】
1、思考：，，再利用两角差的余弦公式得出

2、若已知和的三角函数值，如何求的值？

3、已知和的三角函数值可得等于什么？

4、若，，则=
5、若，，则=


【典型例题】
类型一　两角差的余弦公式应用
例一、课本P126例1
例二、课本P127例2
变式一、（1）










类型二 两角差与和的余弦公式的变通
例三、已知，求的值.


变三、已知x∈（0，π），cos（x），则cos（x）＝



例四、已知，其中为锐角，且.
求的值；
若，求的值.





变四、若α，β均为钝角，且sinα，sin，则α+β等于




例五、若cosα+cosβ，sinα+sinβ，则cos（α﹣β）＝
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方法提炼
1．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
3．常见的配角技巧：α＝2·；α＝(α＋β)－β； α＝β－(β－α)；
α＝[(α＋β)＋(α－β)]； β＝[(α＋β)－(α－β)]； ＋α＝－.
注意：特殊的角也看成已知角，如α＝－.
4、已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号
5、在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，
2β＝(α＋β)－(α－β)等. 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式




两角和与差的余弦公式（参考答案）
例一：答案见课本P126例1
例二：答案见课本P127例2
变式一：解：
==
=

例三：解：
，
.
变三：解：∵已知x∈（0，π），cos（x），∴sin（x），
则cos（x）＝cos[（x）]＝cos（x）cossin（x）sin?
例四：解：（1）由得，

（2），，为锐角，
，.
当时，.
当时，.
为锐角，.
变四：解：α，β均为钝角，且sinα，sin，∴α、β∈（，π），则α+β∈（，2π），
∴cosα，cosβ，
∴cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ?（）?，
∴α+β，
例5 解：∵cosα﹣cosβ，sinα+sinβ，
两边同时平方可得，cos2α+cos2β+2cosαcosβ，sin2α+sin2β+2sinαsinβ，
两式相加可得，2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）＝1，
∴2+2cos（α﹣β）＝1，
则cos（α﹣β）．








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