3.2 二倍角正弦，余弦和正切公式 学案

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学案 二倍角正弦，余弦和正切公式
【学习目标】
（1）在理解两角和、差的正弦、余弦和正切公式的基础上，能够推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，并能运用这些公式解决简单的三角函数问题。
（2）通过公式的应用（正用、逆用、变形用），使学生掌握有关化简技巧，提高分析、解决问题的能力。
重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式
难点：二倍角的理解及其正用、逆用、变形用。
【课前回顾】
两角和、差的正弦、余弦、正切公式



【新课探究】
思考：在这些和角公式中，如果令，会有怎样的结果呢？
公式推导：

思考：把上述关于的式子能否变成只含有或的式子呢？
；
．

以上这些公式都叫做倍角公式


【典型例题】
类型一　二倍角公式正用
例一、1.（1）已知cosa，a∈（，0），求sin2a，cos2a，tan2a的值；




已知cos2α，且2α∈[π，2π]，求sinα，cos4α．




说明：运用二倍角公式不仅局限于是的2倍，还适用于是的2倍，是的2倍，是的2倍等情况，这里蕴含了换元的数学思想。
类比二倍角公式，你能用的三角函数表示，用的三角函数表示吗？


变式一：1、已知cos，8π＜α＜12π，求sin，cos，tan的值．




类型二　二倍角公式逆用
例二：求值
；


；


；


；



5、8sincoscoscos ；



cos10°?cos20°?cos40°?cos80°



sin70°?sin50°?sin10°



变式2、已知sin（α），α∈（，π），求sin2α，cos2α，tan2α的值．




类型三　二倍角公式变形用
例三、1、已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ，那么sin2θ等于(　　)




2、已知，．求tan2α的值；





3、




4、化简，其中α为第二象限角．




5、若θ∈[0，2π]且sinθ﹣cosθ，则θ的取值范围　 　．




6.若α∈则化简为　________．




7、化简：．




二倍角正弦，余弦和正切公式参考答案
例一1（1）解：∵cosa，a∈（，0），
∴sina，
∴sin2a＝2sinacosa＝2，
cos2a＝2cos2a﹣1＝21，
tan2a．
（2）解：∵cos2α0，且2α∈[π，2π]，
∴2α∈[，2π]，则α∈[，π]，
∴sinα，
cos4α＝2cos22α﹣1．
变式一解：∵8π＜α＜12π，
∴，2，
∴sin，
∴sin2sincos2×（）×（），
∴cos±±，tan±．
例二1、
例二2、
例二3、
例二4、
例二5、解：8sincoscoscos4sincoscos2sincossin．
例二6、解：cos10°?cos20°?cos40°?cos80°






．
例二7、解：sin70°?sin50°?sin10°
＝cos20°?cos40°?cos80°
cos20°?cos40°?cos80°
sin40°?cos40°?cos80°
sin80°?cos80°
sin160°
．
变式二解：sin（α），α∈（，π），
∴α，解得α．
∴sin2α＝sin，
cos2α＝cos，
tan2α＝tan．
例三1、解：∵sin2θ+cos2θ＝1，
∴sin4θ+cos4θ+2sin2θcos2θ＝1，
∵
∴
∵角是第三象限角，
∴sin2θ，
例三2、解：（1）由，，
得cosα，∴．
∴；
例三3、解：∵cos0，sin1，
∴cos4sin40﹣14＝﹣1．
例三4、解：∵．

∵α为第二象限角，
∴cosα＜0，1﹣sinα＞0．
∴
＝||﹣||


＝﹣2tanα．
例三5、解：θ∈[0，2π]，
且
＝|sinθ|+|cosθ|
＝sinθ﹣cosθ，
∴，
∴θ的取值范围是[，π]．
故答案为：[，π]．
例三6、解：若α∈，则cosα＜0，∴|sin|．
再由 ，可得 sin0，故|sin|＝sin，
故答案为 sin．
例三7、解：cos10°．











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