第三章 三角恒等变换 章末复习二 学案

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学案 三角章末复习二
【典型例题】
类型一　半角公式的直接应用
【例1】 已知sin α=- QUOTE ,π<α< QUOTE ,求sin QUOTE ,cos QUOTE ,tan QUOTE 的值.






类型二　三角函数式的化简求值
【例2】 (1)化简 QUOTE =　　　　.?





(2) QUOTE - QUOTE 的值为　　　　.?





类型三　三角恒等式的证明
【例3】证明= tan 2α







类型四　三角恒等变换与平面向量知识的综合
【例4】 已知向量a=(1+sin 2x,sin x-cos x),b=(1,sin x+cos x),函数f(x)=a·b.
(1)求f(x)的最大值及相应的x值;




(2)若f(θ)= QUOTE ,求cos 2( QUOTE -2θ)的值.





类型五　三角恒等变换与三角函数的综合
【例5】 已知函数f(x)=sin2x+2 QUOTE sin xcos x+3cos2x,x∈R,
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;




(2)求函数f(x)在区间[- QUOTE , QUOTE ]上的值域.





类型六　三角恒等变换的实际应用
【例6】 点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT且PT=1,∠PAB= α,问α为何值时,四边形ABTP面积最大?






三角恒等变换章末二参考答案
例一、解：因为π<α< QUOTE ,sin α=- QUOTE ,所以cos α=- QUOTE ,且 QUOTE < QUOTE < QUOTE ,
所以sin QUOTE = QUOTE = QUOTE ,cos QUOTE =- QUOTE =- QUOTE ,tan QUOTE = QUOTE =-2.
例二、解：(1) QUOTE = QUOTE = QUOTE = QUOTE =1.
(2)原式= QUOTE = QUOTE = QUOTE = QUOTE =4.
例三、解：左式tan2α．
例四、解：(1)因为a=(1+sin 2x,sin x-cos x),b=(1,sin x+cos x),
所以f(x)=1+sin 2x+sin2x-cos2x=1+sin 2x-cos 2x= QUOTE sin(2x- QUOTE )+1.
因此,当2x- QUOTE =2kπ+ QUOTE ,即x=kπ+ QUOTE (k∈Z)时,f(x)取得最大值 QUOTE +1.
(2)由f(θ)=1+sin 2θ-cos 2θ及f(θ)= QUOTE ,得sin 2θ-cos 2θ= QUOTE ,两边平方得1-sin 4θ= QUOTE ,
即sin 4θ= QUOTE .因此,cos 2( QUOTE -2θ)=cos( QUOTE -4θ)=sin 4θ= QUOTE .
例五、解：(1)f(x)= QUOTE + QUOTE sin 2x+ QUOTE =2+ QUOTE sin 2x+cos 2x=2sin(2x+ QUOTE )+2,
所以最小正周期T= QUOTE =π.因为- QUOTE +2kπ≤2x+ QUOTE ≤2kπ+ QUOTE ,k∈Z时,f(x)为单调递增函数,
所以f(x)的单调递增区间为[kπ- QUOTE ,kπ+ QUOTE ],k∈Z.
(2)由(1)知f(x)=2+2sin(2x+ QUOTE ),由于- QUOTE ≤x≤ QUOTE ,所以2x+ QUOTE ∈[- QUOTE , QUOTE ],
所以sin (2x+ QUOTE )∈[- QUOTE ,1],所以f(x)∈[1,4],所以f(x)在区间[- QUOTE , QUOTE ]上的值域为[1,4].
例六、解：如图所示.因为AB为直径,
所以∠APB=90°,AB=1,∠PAB=α.
则PA=cos α,PB=sin α.
又PT为圆的切线,
所以∠TPB=∠PAB=α,
所以四边形SABTP=S△PAB+S△TPB= QUOTE PA·PB+ QUOTE PT·PB·sin α
= QUOTE cos αsin α+ QUOTE sin2α= QUOTE sin 2α+(1-cos 2α)
= QUOTE (sin 2α-cos 2α)+ QUOTE = QUOTE sin(2α- QUOTE )+ QUOTE .
因为0<α< QUOTE ,所以- QUOTE <2α- QUOTE < QUOTE .
所以当2α- QUOTE = QUOTE ,即α= QUOTE 时,四边形ABTP面积最大.









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