2.2 向量的线性运算
2.2.1 向量的加法
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．(重点)
2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．(重点、易错点)
3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．(难点)
通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养
一、向量的加法
1．向量加法的定义
求两个向量和的运算叫做向量的加法．
2．向量加法的运算法则
(1)三角形法则：
如图，已知向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.
(2)平行四边形法则：
如图，已知两个不共线的非零向量a，b，作＝a，＝b，以OA，OC为邻边作?OABC，则以O为起点的对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做向量加法的平行四边形法则．
二、向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(3)a＋0＝0＋a＝a.
(4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
1．思考辨析
(1)两个向量相加就是两个向量的模相加．( )
(2)两个向量相加，结果有可能是个数量．( )
(3)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加．( )
[解析] (1)错误，向量相加与向量长度、方向都有关；(2)错误，向量相加，结果仍是一个向量；(3)错误，向量加法的平行四边形法则适合有相同起点的向量相加．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．(＋)＋(＋)＋等于________．
[(＋)＋(＋)＋＝＋＋＋＋＝.]
3.＋＋＝________.
0 [＋＋＝＋＝0.]
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
【例1】 如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
思路点拨：根据三角形法则或平行四边形法则求解．
[解] 法一：可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即为a＋b＋c(用到向量加法运算律)．
如图①，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求．
法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，
(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b；(2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b；(3)再作向量＝c；(4)作?CODE，则＝＋c＝a＋b＋c.则即为所求．
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系：
区别：?1?三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；?2?三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.
联系：?1?当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；?2?三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.
1．如图所示，求作向量和．
(1) (2) (3)
[解] 如图中①，②所示，
图① 图② 图③
首先作＝a，然后作＝b，
则＝a＋b.
如图③所示，
作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝＋＝(a＋b)＋c，即＝a＋b＋c.
向量的加法运算
【例2】 (1)在正六边形ABCDEF中，＝a，＝b，则＝________，＝________，＝________.
(2)＋＋＋＋＝________.
思路点拨：(1)结合正六边形的性质及向量的平行四边形法则求解．
(2)由向量加法的三角形法则求解．
(1)2a＋b 2a＋2b a＋2b (2)0 [(1)如图，连结FC交AD于点O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF，四边形ABCO均为平行四边形．
根据向量的平行四边形法则，有＝＋＝a＋b.
在平行四边形ABCO中，＝＋＝a＋a＋b＝2a＋b.＝2＝2a＋2b.
而＝＝a＋b，
由三角形法则得：＝＋＝b＋a＋b＝a＋2b.
(2)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0.]
1．解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.
2．运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
2.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
[解] (1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
向量加法在实际问题中的应用
[探究问题]
1．速度、位移等物理量是向量吗？为什么？
提示：是向量．因为它们既有大小，又有方向，具有向量的两个要素．
2．利用向量加法解决实际问题的关键是什么？
提示：关键是把实际问题向量模型化，并借助向量加法知识解决实际问题．
【例3】 已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h，问：
(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？
(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30°有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)
思路点拨：(1)结合向量共线知识求解；
(2)借助三角形的边角关系求解．
[解] (1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/h；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h，此时小船是静止的．
(2)如图所示，设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度．
设MC⊥MA，||＝||＝10，∠CMN＝30°.
∵＋＝，
∴四边形MANB为菱形．
则∠AMN＝60°，
∴△AMN为等边三角形．
在△MNB中，||＝||＝||＝10，∴∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，∴∠CMB＝30°，
所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30°.
解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题→作出解答.
3．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
[解] 如图所示，设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km.
则飞机飞行的路程指的是||＋||；两次飞行的位移的和指的是＋＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)．
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.
所以||＝
＝＝800(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
教师独具
1．本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用．
2．要掌握向量加法的三个问题
(1)求作向量的和．
(2)向量加法运算．
(3)向量加法的应用．
3．求作向量和时应注意以下两点
(1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点．
1．如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋＝( )
①；②；③；④.
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
A [∵四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，
∴＋＋＝＋＋＝＋＝.]
2．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b＝________.
[a＋b＝＋＝.]
3．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|＋|，则四边形ABCD是________．
矩形 [由图知|＋|＝||.
又|＋|＝|＋|＝||，
∴||＝||.
∴四边形ABCD为矩形．]
4．化简：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋＋.
[解] (1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝.
