2.2.2 向量的减法
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.理解向量减法的意义及减法法则．(重点)
2.掌握向量减法的几何意义．(难点)
3.能熟练地进行向量的加、减运算．(易混点)
通过学习本节内容提升学生的直观想象和数学运算核心素养.
向量的减法
(1)向量减法的定义
若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
(2)向量的减法法则
如图所示，以O为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b，即当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a－b.
1．思考辨析
(1)－＝.( )
(2)若－b与a同向，则a－b与a同向．( )
(3)向量的减法不满足结合律．( )
[解析] (1)×.－＝；
(2)√.－b与a同向，则a－b＝－b＋a与a同向．
(3)×.如(a－b)＋c＝a＋(c－b)．
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．化简－＋等于________．
0 [－＋
＝＋
＝0.]
3．化简－＋＋的结果等于________．
[－＋＋＝＋＋－＝＋＝.]
向量减法的几何作图
【例1】 如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
思路点拨：根据相反向量及三角形法则求作．
[解] 法一：先作a－b，再作(a－b)－c即可．
如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b，连结CB，得向量，再以C为起点作向量，使＝c，连结DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c.
法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②.
(1)作＝－b和＝－c；
(2)作＝a，则＝a－b－c.
求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连结两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合时，再作出差向量.
1．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
[解] 如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
向量减法法则的应用
【例2】 (1)化简下列式子：
①－－－；
②(－)－(－)．
(2)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
思路点拨：(1)充分利用减法的运算律求解．
(2)寻找图中已知向量和所表示向量之间的关系，然后利用向量的加(减)法解决．
[解] (1)①原式＝＋－(＋)＝－＝0.
②(－)－(－)
＝－－＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
(2)因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c；
＝－＝b－a，
故＝＋＝b－a＋c.
?1?向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点.
?2?用几个基本向量表示其他向量的技巧：
①观察待表示的向量位置；
②寻找相应的平行四边形或三角形；
③运用法则找关系，化简得结果.
2．如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：
(1)－；(2)＋；(3)－.
[解] (1)－＝＝－，
∵＝d，＝b，
∴－＝d－b.
(2)∵＋＝(－)＋(－)，
＝a，＝b，＝c，＝f，
∴＋＝b＋f－a－c.
(3)－＝＝－，
∵＝f，＝d，
∴－＝f－d.
|a－b|与a，b之间的关系
[探究问题]
1．若a与b共线，怎样作出a－b?
提示：①当a与b同向且|a|≥|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：
＝a，＝b，则＝a－b；
②当a与b同向且|a|≤|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：
＝a，＝b，则＝a－b；
③若a与b反向，在给定的直线l上作出差向量a－b：
＝a，＝b，则B＝a－b.
2．结合探究问题1的图示及向量的减法法则，探究|a－b|与a，b之间的大小关系？
提示：当a与b不共线时，有：||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|；
当a与b同向且|a|≥|b|时，有：|a－b|＝|a|－|b|；
当a与b同向且|a|≤|b|时，有：|a－b|＝|b|－|a|.
【例3】 已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.
思路点拨：|a＋b|＝|a－b|→判断a与b的位置关系→求|a－b|的值．
[解] 如图，设＝a，
＝b，以AB，AD为邻边作?ABCD.
则＝a＋b，＝a－b，
因为|a＋b|＝|a－b|，
所以||＝||.
又四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为矩形．
故AD⊥AB.
在Rt△DAB中，
||＝6，||＝8，
由勾股定理得||＝
＝＝10，
所以|a－b|＝10.
1．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．
2．正确理解向量加(减)法的几何意义，恰当构造几何图形，是求解此类问题的关键．
3．已知向量a，b，满足|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，求|a－b|.
[解] 在?ABCD中，使＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
由于|a|＝|b|＝1，所以ABCD为菱形，且AC⊥BD，交点为O，∴AO＝，AB＝1，OB＝＝，∴BD＝2BO＝1，即|a－b|＝1.
教师独具
1．本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利用已知向量表示未知向量，难点是利用已知向量表示未知向量．
2．要掌握向量减法的三个问题
(1)向量的减法运算；
(2)向量减法及其几何意义；
(3)利用已知向量表示未知向量．
3．掌握用已知向量表示某向量的基本步骤
第一步：观察各向量的位置；
第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；
第三步：运用法则找关系；
第四步：化简结果．
1．在平行四边形ABCD中，下列结论不正确的是( )
A.－＝ B.－＝0
C.－＝ D.－＝
D [∵ABCD是平行四边形，
∴＝，∴－＝＝，故A正确；
又－＝0，故B正确；
又＝，∴－＝－＝，
故C正确；
又－＝≠，故D错误．]
2．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
0 2 [若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0.
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1.
∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.]
3．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝________.
a＋c－b [由三角形法则可知
＝－
＝(＋)－
＝a＋c－b.]
4．如图所示，?ABCD中，＝a，＝b.
(1)用a，b表示，；
(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
(3)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?
(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
[解] (1)＝＋＝b＋a，＝－＝a－b.
(2)由(1)知，a＋b＝，a－b＝.
若a＋b与a－b所在直线垂直，
则AC⊥BD.又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，即应满足|a|＝|b|.
(3)假设|a＋b|＝|a－b|，
即||＝||.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，∴a⊥b，
∴当a与b垂直时，|a＋b|＝|a－b|.
(4)不可能，∵?ABCD的两条对角线不可能平行，
∴a＋b与a－b不可能为共线向量，也就是不可能为相等向量．
课件44张PPT。第2章 平面向量2.2 向量的线性运算
2.2.2 向量的减法2345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十六) 向量的减法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．化简下列向量式，结果为0的个数是( )
①－＋；②＋＋－；③－－；④＋－.
A．1 B．2 C．3 D．4
D [①－＋＝0.
②＋＋－＝＋＝0.
③－(＋)＝0.
④＋－＝0.]
2．如图所示，在正方形ABCD中，已知＝a，＝b，＝c，则图中能表示a－b＋c的向量是( )
A. B.
C. D.
B [由已知得，
a－b＝－＝，c＝，
∴a－b＋c＝＋＝.]
3．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于( )
A．b－c B．b＋c
C．－b－c D．－b＋c
A [＝＝＝－＝b－c.]
4．下列式子不正确的是( )
A．a－0＝a B．a－b＝－(b－a)
C.＋≠0 D.＝＋＋
C [根据向量减法的三角形法则，A正确；B正确；因为与是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C不正确；根据向量加法的多边形法则，D正确．]
5．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列各式正确的是( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
A [A项，＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝0；
B项，－＋＝(＋)－＝－≠0；
C项，＋－＝＋(－)＝＋≠0；
D项，－－＝(－)－＝－＝＋≠0.]
二、填空题
6．已知两向量a和b，如果a的方向与b的方向垂直，那么|a＋b|________|a－b|.(填写“＝”“≤”或“≥”)
＝ [以a，b为邻边的平行四边形是矩形，
矩形的对角线相等．由加减法的几何意义知|a＋b|＝|a－b|.]
7．已知|a|＝7，|b|＝2，若a∥b，则|a－b|＝________.
5或9 [∵a∥b，当a与b同向时，|a－b|＝|7－2|＝5，
当a与b反向时，|a－b|＝|7＋2|＝9.]
8．对于向量a，b，当且仅当________时，有|a－b|＝||a|－|b||.
a与b同向 [当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|>||a|－|b||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||.]
三、解答题
9．如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作a－b＋a.
[解] 如图所示：作向量＝a，向量＝b，则向量＝a－b.
作向量＝a，
则＝a－b＋a.
10．化简：
(1)－＋－；
(2)＋＋－.
[解] (1)－＋－＝(＋)－(＋)
＝－＝0.
(2)＋＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝0.
[等级过关练]
1．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝( )
A. B．1 C. D．2
C [如图．∵四边形ABCD为平行四边形，且E，F分别为CD，BC的中点，∴＝＋＝(－)＋(－)
＝(＋)－(＋)＝(＋)－，
∴＝(＋)，∴λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.]
2．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( )
A．2 B. C. D．1
B [如图所示，|－|＝|＋|＝||，
又||＝1，||＝1，∠ABC′＝120°，
∴在△ABC′中，||＝2||cos 30°＝.]
3．如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，则＝________.
a＋c－b [因为＝a，＝b，＝c，所以＝－＝c－b，又＝，所以＝＋＝a＋c－b.]
4．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－等于________．
， [由图易知＝，∴－＝－＝， 又＝，∴－＝.]
5．如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：
(1)a＋b＋c；
(2)a－b＋c.
[解] (1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延长AC到E，
使||＝||.则a＋b＋c＝，且||＝2.
所以|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连结BD，CF，
则＋＝，
而＝－＝a－b，
所以a－b＋c＝＋＝，
且||＝2，所以|a－b＋c|＝2.
