2.2.3 向量的数乘
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.掌握向量数乘的运算及其几何意义．(重点)
2.理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理.
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
一、向量的数乘定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.
实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘．
思考：λa＝0，一定能得到λ＝0吗？
[提示] 不一定．λa＝0则λ＝0或a＝0.
二、向量数乘的运算律
1．λ(μa)＝(λμ)a；
2．(λ＋μ)a＝λa＋μa；
3．λ(a＋b)＝λa＋λb.
三、向量共线定理
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
1．思考辨析
(1)a＝0，则λa＝0.( )
(2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反．( )
(3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．5×(－4a)＝________.
－20a [5×(－4a)＝5×(－4)a＝－20a.]
3．a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则a＋b＝________.
4e1 [a＋b＝(e1＋2e2)＋(3e1－2e2)＝4e1.]
4．已知e1和e2不共线，则下列向量a，b共线的序号是________．
①a＝2e1，b＝2e2；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
②③ [∵e1与e2不共线，∴①不正确；
对于②有b＝－2a；对于③有a＝4b；④不正确．]
向量数乘的基本运算
【例1】 计算：
(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
(2)－；
(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
思路点拨：利用向量线性运算的法则化简，先去括号，再将共线向量合并．
[解] (1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)原式＝－a＋b＋a
＝a＋b－a－b－a－b－a＝0.
(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝6a＋2b.
向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解.
1．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则－3＋(2b－a)＝________.
－16i＋j [原式＝a－b－3a－2b＋2b－a
＝－a－b
＝－(3i－4j)－(5i＋4j)
＝(－11－5)i＋j
＝－16i＋j.]
向量的共线问题
【例2】 已知非零向量e1，e2不共线.
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
思路点拨：对于(1)，欲证A，B，D共线，只需证存在实数λ，使＝λ即可；对于(2)，若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则一定存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．
[解] (1)证明：∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，
∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1.
1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．
2．若A，B，C三点共线，则向量，，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系．而向量共线定理是实现线性关系的依据．
2．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．
[解] ＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.
因为A，B，D三点共线，故存在实数λ，使得＝λ，
即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.
由向量相等的条件，得解得k＝－8，所以k＝－8.
向量共线的有关结论
[探究问题]
1．已知O为平面ABC内任一点，若A，B，C三点共线，是否存在α，β∈R，使＝αO＋β，其中α＋β＝1?
提示：存在，因A，B，C三点共线，则存在λ∈R，使＝λ，
∴－＝λ(－)，
∴＝(1－λ)＋λ.
令1－λ＝α，λ＝β，则
＝α＋β，且α＋β＝1.
2．已知O为平面ABC内任一点，若存在α，β∈R，使＝α＋β，α＋β＝1，那么A，B，C三点是否共线？
提示：共线，因为存在α，β∈R，使＝α＋β，且α＋β＝1，
∴β＝1－α，∴＝α＋(1－α)，
∴＝α＋－α，
∴－＝α(－)，
∴＝α，∴A，B，C三点共线．
【例3】 如图所示，已知△OAB中，点C是以A为对称中心的B点的对称点，D是把分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
思路点拨：由已知得A为BC中点，D为OB的三等分点，由向量的线性运算法则可解第(1)问，第(2)问可由向量共线定理解决．
[解] (1)依题意，A是BC中点，
∴2＝＋，
即＝2－＝2a－b，
＝－＝－
＝2a－b－b＝2a－b.
(2)若＝λ，
则＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.
∵与共线，∴存在实数k，使＝k，
∴(λ－2)a＋b＝k，解得λ＝.
用已知向量表示未知向量的求解思路：
?1?先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；
?2?然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理，用已知向量表示未知向量；
?3?求解过程体现了数学上的化归思想.
3.如图，在?OADB中，设＝a，＝b，＝，＝.试用a，b表示，及.
[解] 由题意知，在?OADB中，＝＝＝(－)＝(a－b)＝a－b.
则＝＋＝b＋a－b＝a＋b，
＝＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b，
＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.
教师独具
1．本节课的重点是向量的数乘运算及共线向量定理，难点是共线向量定理的应用．
2．掌握与向量数乘运算有关的三个问题
(1)向量的线性运算；
(2)用已知向量表示未知向量；
(3)共线向量定理及应用．
3．本节课的易错点
当A、B、C、D四点共线时，与共线；反之不一定成立．
4．要掌握用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
5．注意以下结论的运用
(1)以AB，AD为邻边作?ABCD，且＝a，＝b，则对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b.
(2)在△ABC中，若D为BC的中点，则＝(＋)．
(3)在△ABC中，若G为△ABC的重心，则＋＋＝0.
1．已知m∈R，下列说法正确的是( )
A．若ma＝0，则必有a＝0
B．若m≠0，a≠0，则ma与a方向相同
C．m≠0，a≠0，则|ma|＝m|a|
D．若m≠0，a≠0，则ma与a共线
D [A错．若ma＝0，则m＝0或a＝0；
B错．m＞0时，ma与a同向，m＜0时，ma与a反向；
C错．∵|ma|＝|m||a|，∴m＞0时，|ma|＝m|a|；m＜0时|ma|＝－m|a|.]
2．△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，且＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)．
(b－a) [＝－＝－＝(b－a)．]
3．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则可用，表示为________．
2－ [＝＋＝＋2＝＋2(－)，∴＝2－.]
4．计算：
(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；
(2)(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)．
[解] (1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c
＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b.
(2)原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b＝－2(m＋n)b.
课件40张PPT。第2章 平面向量2.2 向量的线性运算
2.2.3 向量的数乘点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十七) 向量的数乘
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知λ∈R，则下列说法正确的是( )
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0
C [当λ<0时，A式不成立；当λ＝0或a＝0时，D式不成立；又|λa|∈R，而|λ|a是数乘向量，故B式不成立．]
2．如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝( )
A.(b－a) B.(b－a)
C.(a－b) D.(a－b)
A [＝＋＝－＝－＝b－(a＋b)＝b－a＝(b－a)．]
3．已知向量a，b且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．P1，P2，P3 B．P1，P3，P4
C．P2，P3，P4 D．P1，P2，P4
D [∵＝＋＝2a＋4b＝2，∴P1，P2，P4三点共线．]
4．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝( )
A．－ B.
C. D.
C [∵m与n共线，
∴存在实数λ，使得m＝λn，
∴－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)，
∴
∴λ＝，k＝.]
5．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为( )
A．－ B．－
C. D.
D [＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.]
二、填空题
6．若O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，＝2e1，＝3e2，则＝________.(用e1，e2表示)
e2－e1 [∵＝，∴＝－＝3e2－2e1.
又∵＝2，∴＝e2－e1.]
7.＝________.
2b－a [＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝2b－a.]
8．若＝，则＝________.
－ [∵＝，∴点A，B，C三点共线，且与同向，∵＝(如图)，
∴＝，又与反向，∴＝－.]
三、解答题
9．已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形．
[证明] 如图所示．
∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴＝2.∴与共线，且||＝2||.
又∵这两个向量所在的直线不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC.
∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．
10．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
[解] (1)证明：∵＝λ＋(1－λ)，
∴＝λ＋－λ，
－＝λ－λ，
∴＝λ(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
又与有公共点A，∴A，B，M三点共线．
(2)由(1)知＝λ，
若点B在线段AM上，则与同向，
∴||>||>0，∴λ>1.
[等级过关练]
1．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
A [∵e1，e2不共线，
∴向量a，b不为0.
又∵a，b共线，
∴存在实数λ，使a＝λb，
即2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2.
∴∴]
2．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [由＋＋＝0可知，M是△ABC的重心．
取BC的中点D，则＋＝2.
又M是△ABC的重心，∴＝2，∴＝，
∴＋＝3，即m＝3.]
3．若＝5e，＝－7e，且||＝||，则四边形ABCD的形状是________．
等腰梯形 [∵＝5e，＝－7e，∴＝－，
∴与平行且方向相反，易知||＞||.
又∵||＝||，∴四边形ABCD是等腰梯形．]
4．在△ABC中，＝2，＝m＋n，则m＝________，n＝________.
[－＝2－2，∴3＝＋2，∴＝＋.]
5．如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，；
(2)若＝λ，求λ的值．
[解] (1)由A是BC的中点，则有＝(＋)，
从而＝2－＝2a－b.
由D是将OB分成2∶1的一个内分点，得＝，从而＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由于C，E，D三点共线，则＝μ，又＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b，
从而(2－λ)a－b＝μ，
又a，b不共线，则
解得λ＝.
