2.3 向量的坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义．(重点)
2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量．(重点)
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．(难点)
通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.
一、平面向量基本定理
1．定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
思考1：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？
[提示] 能．依据是数乘向量和平行四边形法则．
思考2：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
[提示] 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
二、平面向量的正交分解
一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．
思考3：一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？
[提示] 能，互相垂直的两向量可以作为一组基底．
1．思考辨析
(1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底．( )
(2)0能与另外一个向量a构成基底．( )
(3)平面向量的基底不是唯一的．( )
[解析] 平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底，故(2)是错误的．(1)，(3)正确．
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．已知向量a与b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________.
3 [由原式可得解得
所以x－y＝3.]
3．如图，在△ABC中，P为BC边上一点，且＝.
(1)用，为基底表示＝________；
(2)用，为基底表示＝________.
＋ ＋ [(1)∵＝＋，
＝＝，＝－，
∴＝＋＝＋－＝＋.
(2)＝＋＝＋.]
对向量基底的理解
【例1】 如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，则下列说法正确的是( )
A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2为实数
C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内
D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
思路点拨：根据有关概念及定理，逐一分析．
A [平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对任意实数λ1，λ2，向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内，故C不正确；而对平面α内的任一向量a，实数λ1，λ2是唯一的，故D不正确．]
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
1．若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．
[解] 设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.
由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底．
用基底表示向量
【例2】 如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基底a，b表示向量.
思路点拨：本题可过N作AB的平行线，交CM于D，利用平行线的性质结合向量的线性表示求解，也可利用三点共线的条件结合平面向量定理的唯一性求解．
[解] 法一：由已知，在△ABC中，＝，且＝，已知BN与CM交于点E，过N作AB的平行线，交CM于D，如图所示．
在△ACM中，＝＝，
所以＝＝＝，
所以＝，
＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋
＝＋＝a＋b.
法二：易得＝＝b，＝＝a，
由N，E，B三点共线知存在实数m，满足
＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.
由C，E，M三点共线知存在实数n，满足
＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.
所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b.
因为a，b为基底，所以
解得所以＝a＋b.
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直到用基底表示为止；另一种是通过列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解.
2．如图所示，已知?ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.
[解] 设＝a，＝b，则
由得
∴
∴＝－＝(2e1－e2)，
∴＝e2－e1；＝＝e2－e1.
平面向量基本定理与向量共线定理的应用
[探究问题]
1．平面内的任一向量都可以表示成两个不共线向量的线性组合吗？
提示：是的．
2．若e1，e2不共线，且λe1＋μe2＝0，则λ，μ满足什么关系？
提示：λ＝μ＝0.
【例3】 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，N在AC上且AN＝2NC，AM与BN交于点P，求AP∶PM的值．
思路点拨：选取基底，→表示，→设＝λ，＝μ→由＝＋求λ，μ的值．
[解] 设＝a，＝b，
则＝(a＋b)，＝－a＋b.
∵A，P，M共线，∴设＝λ，
∴＝(a＋b)．
同理设＝μ，∴＝－μa＋μb.
∵＝＋，∴a＝(a＋b)－，
∴a＝b.
∵a与b不共线，∴
∴λ＝，μ＝，∴＝，＝，
∴AP∶PM＝4∶1.
1．充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注意方程思想的应用．
2．用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．
3．如图，平行四边形ABCD中，H为CD的中点，且AH与BD交于I，求AI∶IH的值．
[解] 设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a－b.
设＝λ，＝μ，
∴＝λ＝a＋λb，
又＝＋＝b＋μ(a－b)＝μa＋(1－μ)b，
故∴λ＝1，∴λ＝.
∴AI∶IH＝2∶1.
教师独具
1．本节课的重点是平面向量基本定理及其应用，难点是平面向量基本定理的应用．
2．本节课要重点掌握以下两个问题
(1)正确理解基底向量的概念．
(2)用平面向量基本定理解决相关问题．
1．下列关于基底的说法正确的是( )
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．①③ B．② C．① D．②③
A [零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．]
2．如图所示，△ABC中，若D，E，F依次是AB的四等分点，则以＝e1，＝e2为基底时，＝________.
e1＋e2 [＝e1，＝e2，∴＝e1－e2.
∵＝，∴＝(e1－e2)，
∴＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2.]
3．设一直线上三点A，B，P满足＝m(m≠－1)，O是直线所在平面内一点，则用，表示为________．
＝＋ [由＝m，得－＝m(－)，
∴＋m＝＋m，∴＝
＝＋.]
4．已知梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示，，.
[解] 如图所示，连结FD，
∵DC∥AB，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，
∴DC綊FB，
∴四边形DCBF为平行四边形．
∴＝＝＝b，＝＝－＝－＝a－b，＝－＝－－＝－－＝－－×b＝b－a.
课件43张PPT。第2章 平面向量2.3 向量的坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理23456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十八) 平面向量基本定理
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是( )
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
C [如图所示，与为不共线向量，可以作为基底.与为不共线向量，可以作为基底.与，与均为共线向量，不能作为基底．]
2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是( )
A．不共线 B．共线
C．相等 D．不确定
B [a＋b＝3e1－e2，所以c＝2(a＋b)，所以a＋b与c共线．]
3．若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
D [易知a∥b，故设3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，
∴∴k＝－8.]
4．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则＝( )
A. B．2 C. D．4
B [由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2，
∴＝2.]
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A. B. C. D.
A [∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
又∵＝＋λ，∴λ＝.]
二、填空题
6．如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则在以a，b为基底时，可表示为________，在以a，c为基底时，可表示为________．
a＋b 2a＋c [由平行四边形法则可知，＝＋＝a＋b，以a，c为基底时将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．]
7．△ABC中，＝，EF∥BC交AC于F点，设＝a，＝b，用a，b表示向量为________．
b－a [如图，＝＋＝＋＝－a＋b.]
8．如图，在△ABC中，＝a，＝b，＝c，三边BC，CA，AB的中点依次为D，E，F，则＋＋＝________.
0 [原式＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0.]
三、解答题
9．如图，在?ABCD中，＝a，＝b，E，F分别是AB，BC的中点，G点使＝，试以a，b为基底表示向量与.
[解] ＝＋＝＋
＝＋＝a＋b.
＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋a＝－a＋b.
10．设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a.
[解] 设a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R，则
－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，
即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，
∴∴∴a＝－b＋c.
[等级过关练]
1．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为( )
A. B. C. D.
B [如图，分别在，上取点E，F，
使＝，＝，
在上取点G，使＝，则EG∥AC，FG∥AE，
∴＝＋＝，
∴M与G重合，∴＝＝.]
2.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )
A．3 B．1 C. D.
D [设＝λ，＝－＝m＋－＝m－，λ＝λ(－)＝λ－＝λ－，∴∴m＝λ＝.]
3．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝________.
b＋a [∵＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝b＋a.]
4．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．
∪ [当a∥b时，设a＝mb，
则有e1＋2e2＝m(λe1＋e2)，
即e1＋2e2＝mλe1＋me2，
所以解得λ＝，即当λ＝时，a∥b.
又a与b是一组基底，
所以a与b不共线，所以λ≠.]
5．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
[解] (1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，
得?
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴?
∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴?
故所求λ，μ的值分别为3和1.
