2.3.2 平面向量的坐标运算
第1课时 平面向量的坐标运算
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.掌握向量的坐标表示．(重点)
2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．(重点)
3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．(易混点)
通过学习本节内容提升学生的数学运算核心素养.
一、平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量的基本定理知，有且只有一对有序实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．
思考1：如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?
[提示] a＝2i＋2j.
思考2：在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1,1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1,1)，则向量a的位置确定了吗？
[提示] 对于A点，若给定坐标为A(1,1)，则A点位置确定．对于向量a，给定a的坐标为a＝(1,1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关．
二、平面向量的坐标运算
1．已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．
2．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．
思考3：设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
[提示] a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j.
1．思考辨析
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )
(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．若A(2，－1)，B(－1,3)，则的坐标是( )
A．(1,2) B．(－1，－2)
C．(－3,4) D．(3，－4)
[答案] C
3．若a＝(－1,2)，b＝(3,4)，则a＋b＝________；a－b＝________；3a＝________；－5b＝________.
(2,6) (－4，－2) (－3,6) (－15，－20) [a＋b＝(2,6)，a－b＝(－4，－2)，3a＝(－3,6)，－5b＝(－15，－20)．]
平面向量的坐标表示
【例1】 在直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图，|a|＝4，|b|＝3，且∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，分别求向量a，b的坐标．
思路点拨：借助三角函数的定义求a，b的坐标．
[解] 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由于向量a相对于x轴正方向的转角为45°，
所以a1＝|a|cos 45°＝4×＝2，a2＝|a|sin 45°＝4×＝2.
可以求得向量b相对于x轴正方向的转角为120°，
所以b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin 120°＝3×＝.
故a＝(2，2)，b＝.
求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.
1．在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别求它们的坐标．
[解] 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则
a1＝|a|cos 45°＝2×＝，
a2＝|a|sin 45°＝2×＝；
b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin 120°＝3×＝；
c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.
因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)．
平面向量的坐标运算
【例2】 已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1，8)，求，，＋，2＋.
思路点拨：直接利用平面向量的坐标运算求解．
[解] ∵A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，
∴＝(3，－1)，＝(－3,2)，
＋＝(0,1)，
2＋＝(6，－2)＋＝.
平面向量坐标的线性运算的方法：
?1?若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
?2?若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
?3?向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N的坐标和的坐标．
[解] 因为A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
所以＝(1,8)，＝(6,3)．
设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)．
由＝3得(x＋3，y＋4)＝3(1,8)，
即解得即M(0,20)．
同理可得N(9,2)，所以＝(9，－18)．
向量的坐标与点的坐标
[探究问题]
1．点的坐标与向量的坐标有何区别？
提示：(1)向量a＝(x，y)中间用等号连结，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．
(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．
(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)．
2．向量与其终点坐标是一一对应关系吗？
提示：不是一一对应关系，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标是一一对应关系．
【例3】 已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，试问：
(1)当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？
(2)四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值．若不能，说明理由．
思路点拨：(1)由已知点的坐标表示出向量，的坐标，从而知道的坐标，即点P的坐标，然后分类讨论即可．
(2)若四边形OABP为平行四边形，则＝.
[解] (1)＝(3,3)，
＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)，
则P(1＋3t,2＋3t)．
若P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－；
若P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－.
(2)因为＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)，
若OABP是平行四边形，则＝，
所以此方程组无解；
故四边形OABP不可能是平行四边形．
1．(变条件)若P在第三象限，求t的取值范围．
[解] 由本例解知，若P在第三象限，则
解得t<－，所以t的取值范围为.
2．(变条件)t为何值时，P在函数y＝－x的图象上？
[解] 由P点坐标(1＋3t,2＋3t)在y＝－x上，
得2＋3t＝－1－3t，解得t＝－.
即t＝－时，P在y＝－x的图象上．
已知含参的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横纵坐标满足的条件，建立关于参数的方程?组?或不等式?组?，求解即可.
提醒：要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.
教师独具
1．本节课的重点是平面向量的坐标表示及运算．
2．本节课要重点掌握以下问题
(1)向量的坐标表示．
(2)向量的坐标运算.
1．下列说法正确的是( )
①向量的坐标即此向量终点的坐标；
②位置不同的向量其坐标可能相同；
③一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标；
④相等的向量坐标一定相同．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
B [向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同．故正确的说法是②④.]
2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a＋2b的坐标是________．
(8,3) [3a＋2b＝3(2,1)＋2(1,0)＝(6,3)＋(2,0)＝(8,3)．]
3．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是________．
[∵＝－＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1)，∴＝.]
4．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C，D及的坐标．
[解] 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，
(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)，
则有和
解得和
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．
因此＝(－2，－4)．
课件40张PPT。第2章 平面向量2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算
第1课时 平面向量的坐标运算点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 向量平行的坐标表示
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点)
2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．(重点)
3.掌握三点共线的判断方法．(难点)
通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.
向量平行的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.
思考：当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？
[提示] 坐标不为0时成正比例．
1．下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
D [∵在D中，b＝(6，－4)，a＝(－3,2)，
∴b＝－2(－3,2)＝－2a，
∴a与b共线．]
2．若a＝(2,3)，b＝(x,6)，且a∥b，则x＝________.
4 [∵a∥b，∴2×6－3x＝0，
即x＝4.]
3．已知四点A(－2，－3)，B(2,1)，C(1,4)，D(－7，－4)，则与的关系是________．(填“共线”或“不共线”)
共线 [＝(2,1)－(－2，－3)＝(4,4)，
＝(－7，－4)－(1,4)＝(－8，－8)，
因为4×(－8)－4×(－8)＝0，
所以∥，
即与共线．]
向量平行的判定
【例1】 已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，判断与是否平行？如果平行，它们的方向相同还是相反？
思路点拨：根据已知条件求出和，然后利用两向量平行的条件判断．
[解] ∵A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，
∴＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，
＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4＜0，
∴与平行且方向相反．
此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断.
提醒：利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.
1．已知A，B，C三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝，求证：∥ .
[证明] 设点E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
依题意有，＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝，∴(x1＋1，y1)＝(2,2)，
∴点E的坐标为，
同理点F的坐标为，
∴＝.
又×(－1)－4×＝0，∴∥.
利用向量共线求参数的值
【例2】 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
思路点拨：充分利用向量共线的条件解题．
[解] 法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
所以解得k＝λ＝－.
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
因为λ＝－<0，所以ka＋b与a－3b反向．
法二：由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)．
因为ka＋b与a－3b平行，
所以(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－.
这时ka＋b＝＝－(a－3b)．
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
1．对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路：一是利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
2．利用x1y2－x2y1＝0求解向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．
2．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，求实数x的值．
[解] 因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，
所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，
由a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.
共线向量与定比分点公式
[探究问题]
1．若点P(x，y)是线段P1P2的中点，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，试用P1，P2的坐标表示点P的坐标．
提示：P，因为＝，
所以(x－x1，y－y1)＝(x2－x1，y2－y1)，
∴x＝，y＝.
2．若＝λ，则点P的坐标如何表示？
提示：P，推导方法类同于探究问题1.
已知两点A(3，－4)，B(－9,2)在直线AB上，求一点P使||＝||.
思路点拨：分“＝±”两类分别求点P的坐标．
[解] 设点P的坐标为(x，y)，
①若点P在线段AB上，则＝，
∴(x－3，y＋4)＝(－9－x,2－y)，
解得x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2)．
②若点P在线段BA的延长线上，则＝－，
∴(x－3，y＋4)＝－(－9－x
2－y)，
解得x＝7，y＝－6，∴P(7，－6)．
综上可得点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．
1．(变结论)本例条件不变，给出点P(k,12)，当k为何值时，P，A，B三点共线．
[解] ＝(k－3,16)，＝(－12,6)，
当P，A，B共线时，存在唯一实数λ，
使＝λ，
即(k－3,16)＝λ(－12,6)，
∴解得k＝－29.
2．(变条件)若P在线段AB的延长线上，求点P，使＝.
[解] 设点P的坐标为(x，y)，
＝(－12,6)，
＝(x－3，y＋4)，
由＝得解得
∴点P的坐标为(－33,14)．
1．向量具有大小和方向两个要素，因此共线向量模间的关系可以等价转化为向量间的等量关系，但要注意方向性．
2．本例也可以直接套用定比分点公式求解．
提醒：注意方程思想的应用．
教师独具
1．本节课的重点是平面向量共线的坐标表示．
2．要正确理解向量平行的条件
(1)a∥b(b≠0)?a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．
(2)a∥b?a1b2－a2b1＝0，其中a＝(a1，b1)，b＝(a2，b2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算．
(3)a∥b?＝，其中a＝(a1，b1)，b＝(a2，b2)且b1≠0，b2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
1．下列说法不正确的是( )
A．存在向量a与任何向量都是平行向量
B．如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝
C．如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则x1y2－x2y1＝0
D．如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且＝，则a∥b
B [A当a是零向量时，零向量与任何向量都是平行向量；B不正确，当y1＝0或y2＝0时，显然不能用＝来表示；C、D正确．]
2．已知a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y＝________.
－4 [∵a∥b，∴＝，∴y＝－4.]
3．若P1(1,2)，P(3,2)，且＝2，则P2的坐标为________．
(4,2) [设P2(x，y)，则＝(2,0)，
＝(x－3，y－2)，2＝(2x－6,2y－4)．
由＝2可得解得]
4．给定两个向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若a＋2b与2a－2b共线，求λ的值．
[解] ∵a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，
2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，
又a＋2b与2a－2b共线，
∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，
∴λ＝.
课件40张PPT。第2章 平面向量2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算
第2课时 向量平行的坐标表示点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十九) 平面向量的坐标运算
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，下列选项中正确的是( )
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O
D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)
A [由平面向量基本定理，可知A正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故D错误．]
2．若点P的坐标为(2 016,2)，向量＝(1，－3)，则点Q的坐标为( )
A．(2 015,5) B．(2 015，－1)
C．(2 017，－1) D．(2 017,5)
C [∵＝－，
∴＝＋
＝(2 016,2)＋(1，－3)
＝(2 017，－1)．]
3．若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝( )
A．(2,4) B．(2，－4)
C．(－2,4) D．(－2，－4)
D [＝＋
＝－
＝(2,3)－(4,7)
＝(－2，－4)．]
4．已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为( )
A．(5,14) B．(5,4)
C．(7,14) D．(7,4)
A [设B点坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5)，
∵＝3a，∴(x＋1，y－5)＝3(2,3)＝(6,9)，
∴∴]
5．若向量a＝(x＋3，y－4)与相等，已知A(1,2)和B(3,2)，则x，y的值分别为( )
A．1,4 B．－1,4
C．1，－4 D．－1，－4
B [∵＝(3,2)－(1,2)＝(2,0)＝(x＋3，y－4)，
∴解得]
二、填空题
6．已知a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，则a＝____________，b＝________.
(3,5) (－2，－2) [由a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，
∴2a＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)，∴a＝(3,5)，
2b＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)，∴b＝(－2，－2)．]
7.如图，已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________．
(－，1) [过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，设A(x，y)，
则x＝||cos 150°＝－，
y＝||sin 150°＝1.
所以的坐标为(－，1)．]
8．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为________．
[设P(x，y)，则
＝(x－3，y＋2)，
＝(－8,1)＝，
∴
∴
∴P点的坐标为.]
三、解答题
9．(1)已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1,2)，B(3,2)，求x的值；
(2)已知点P1(2，－1)，P2(0,5)，点P在线段P1P2上且||＝2||，求P点的坐标．
[解] (1)∵＝(2,0)，又∵a＝，
∴∴x＝－1.
(2)设P(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，
＝(－x,5－y)，
∵点P在线段P1P2上且||＝2||，
∴＝2，
∴∴
∴P.
10．已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.
[解] 因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
所以＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．
又因为D是BC的中点，有＝(＋)＝，而M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点，
故有＝＝－＝.
[等级过关练]
1．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(7,4) B．(－7,4)
C．(－7，－4) D．(7，－4)
C [∵＝(3,1)，
∴＝－
＝(－4，－3)－(3,1)
＝(－7，－4)．]
2．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝.设＝λ＋(λ∈R)，则λ＝( )
A. B.
C. D.
B [过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.]
3．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.
(－3，－5) [由向量的平行四边形法则可知
＝＋，
∴＝－
＝(1,3)－(2,4)
＝(－1，－1)，
∴＝－
＝(－1，－1)－(2,4)
＝(－3，－5)．]
4．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ1(3,4)，λ1∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，λ2∈R}，则M∩N等于________．
{(－2，－2)} [令(1,2)＋λ1(3,4)
＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，
即(1＋3λ1,2＋4λ1)
＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，
∴
解得
故M与N只有一个公共元素是(－2，－2)．]
5．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)．
(1)若＋＋＝0，求的坐标；
(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求m－n.
[解] (1)设点P的坐标为(x，y)，因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)．
所以解得
所以点P的坐标为(2,2)，故＝(2,2)．
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，
因为A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
所以＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，
＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，
因为＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，
所以
两式相减得m－n＝y0－x0，
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.
课时分层作业(二十) 向量平行的坐标表示
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－4，－8) B．(－8，－16)
C．(4,8) D．(8,16)
A [∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，
∴b＝(－2，－4)，
∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)，
＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．]
2．已知a＝(－1，x)与b＝(－x
2)共线，且方向相同，则实数x＝( )
A．1 B.
C. D.
C [设a＝λb，则(－1，x)＝(－λx
2λ)，所以有解得或
又a与b方向相同，则λ＞0，所以λ＝，x＝.]
3．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，则x＋2y的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
B [∵＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)
＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．
∵∥，
∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.]
4．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
D [a－c＝(3－k，－6)，b＝(1,3)，
∵(a－c)∥b，∴＝，∴k＝5.]
5．若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α＝( )
A．1 B. C．2 D.
C [∵a∥b，∴2cos α＝sin α，∴tan α＝2.]
二、填空题
6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.
[设B(x，y)，则由题意可知
∴∴＝(4,6)．
又∥a，∴4λ＝6，∴λ＝.]
7．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
m≠ [若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，
即与不共线．
∵＝－＝(3,1)，
＝－＝(2－m,1－m)，
∴3(1－m)≠2－m，
即m≠.]
8．已知两点M(7,8)，N(1，－6)，P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为________．
[设P(x，y)，如图：
∴＝3，
∴(－6，－14)＝3(x－7，y－8)，
∴解得]
三、解答题
9．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
[解] (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)∵A，B，C三点共线，∴＝λ，λ∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴
解得m＝.
10．如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标．
[解] 设P(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0)．
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ)．
又∵＝－＝(5λ－4,4λ)，
由于与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0，
解之得λ＝，∴＝＝，
∴P的坐标为.
[等级过关练]
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值是( )
A．－ B．－ C．－ D．－
B [v＝2(1,2)－(0,1)＝(2,3)，u＝(1,2)＋k(0,1)＝(1,2＋k)．因为u∥v，所以2(2＋k)－1×3＝0，解得k＝－.]
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，且(a＋λb)∥c，则λ等于( )
A．2 B. C. D.
C [a＋λb＝(1,2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)，
因为(a＋λb)∥c，所以4(1＋λ)－6＝0，故λ＝.]
3．设a＝(6,3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是________．
[－1，＋∞) [a∥b，∴6(x2－2x)－2×3a＝0，即a＝x2－2x，∴a＝(x－1)2－1≥－1.]
4．已知向量＝(1,3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
m≠1 [由A，B，C能构成三角形知，A，B，C三点不共线，∴与不共线，∴≠λ(λ为实数)．
∵＝－＝(1，－4)，＝－＝(m，m－5)，
∴(1，－4)≠λ(m，m－5)，
即≠，∴m≠1.]
5．已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c.
[解] 根据题设，画出图形，如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．
由三角函数的定义，得A(2,0)，
B(cos 150°，sin 150°)，
即B，C(3cos 240°，3sin 240°)，
即C.
故a＝(2,0)，b＝，c＝.
设c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
即＝λ(2,0)＋μ
＝.
∴
解得
∴c＝－3a－3b.
