2.4 向量的数量积
第1课时 数量积的定义
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．(易错点)
2.理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点)
3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)
通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养.
一、向量的数量积
已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
思考1：两个向量的数量积是向量吗？
[提示] 两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．
思考2：数量积的大小和符号与哪些量有关？
[提示] 数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定．
二、两个向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，如图所示．作＝a，＝b，则∠AOB称为向量a与b的夹角．
2．范围：0°≤θ≤180°.
3．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．
4．当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.
思考3：把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？
[提示] 角．
三、向量的数量积的运算律及性质
1．向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数λ.
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
2．数量积的性质：
(1)a·a＝|a|2或|a|＝；
(2)|a·b|≤|a||b|；
(3)a⊥b?a·b＝0.
3．数量积的几何意义：
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
思考4：向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？
[提示] 向量线性运算结果是向量，而数量积运算结果是数量．
思考5：向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影相同吗？
[提示] 不一定相同．
1．已知|a|＝3，|b|＝6，则
(1)若a与b夹角为0°，则a·b＝________；
(2)若a与b的夹角为60°，则a·b＝________；
(3)若a与b的夹角为90°，则a·b＝________.
(1)18 (2)9 (3)0 [(1)a·b＝|a||b|cos 0°＝|a||b|＝18.
(2)a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×＝＝9.
(3)a·b＝|a||b|cos 90°＝3×6×0＝0.]
2．试指出图中向量的夹角，
图①中向量与的夹角________；
图②中向量与的夹角________；
图③中向量与的夹角________；
图④中向量与的夹角________．
[答案] θ 0° 180° θ
3．已知|a|＝3，|b|＝5，a与b的夹角为45°，则a在b上的投影为________；b与a上的投影为________．
[a在b上的投影为|a|cos 45°＝3×＝；b在a上的投影为|b|cos 45°＝5×＝.]
向量数量积的运算及几何意义
【例1】 已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．
思路点拨：借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)．
[解] (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×＝－3.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2
＝8－15－27
＝－34.
1．求平面向量数量积的步骤：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.要特别注意书写时，a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．
2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．
1．已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
[解] (1)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos 120°
＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
求向量的模
【例2】 已知向量＝a，＝b，∠AOB＝60°，且|a|＝|b|＝4.求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|.
思路点拨：根据已知条件将向量的模利用|a|＝转化为数量积的运算求解．
[解] ∵a·b＝|a|·|b|cos∠AOB＝4×4×＝8，
∴|a＋b|＝＝
＝＝4，
|a－b|＝＝
＝＝4，
|3a＋b|＝＝
＝＝4.
1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
2．一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
2．已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，则|b|＝________.
[因为|2a＋b|＝，
所以(2a＋b)2＝10，
所以4a2＋4a·b＋b2＝10，
又因为向量a与b的夹角为45°，且|a|＝1，
所以4|a|2＋4|a||b|cos 45°＋|b|2＝10，故4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10，整理得|b|2＋2|b|－6＝0，
解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)，故|b|＝.]
求向量的夹角
【例3】 已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
思路点拨：解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式，从而得到a，b之间的关系，再由cos θ＝求得夹角．
[解] 由已知，得(a＋3b)·(7a－5b)＝0，
即7a2＋16a·b－15b2＝0，①
(a－4b)·(7a－2b)＝0，
即7a2－30a·b＋8b2＝0，②
①②两式相减，得2a·b＝b2，∴a·b＝b2，
代入①②中任一式，得a2＝b2，设a，b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
1．求向量a，b夹角的流程图：
→→→
2．若两非零向量a，b的夹角为锐角?a·b＞0且a·b≠|a||b|；两非零向量a，b的夹角为钝角?a·b＜0且a·b≠－|a||b|.
提醒：求两向量的夹角时，要注意θ∈[0，π]．
3．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角θ.
[解] ∵e1，e2为单位向量且夹角为60°，
∴e1·e2＝1×1×cos 60°＝.
∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)
＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－，
|a|＝＝＝＝，
|b|＝＝＝＝，
∴cos θ＝＝－×＝－.
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
数量积的几何意义
[探究问题]
1．设非零向量a，b，试用数量积“a·b”及|a|，|b|表示a在b上的投影．
提示：a在b上的投影为|a|cos θ，
又cos θ＝，∴|a|cos θ＝.
2．数量积a·b＝|a||b|cos θ的几何意义是什么？
提示：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影|a|cos θ的乘积．
已知a·b＝－9，a在b方向上的投影为－3，b在a方向上的投影为－，求a与b的夹角θ.
思路点拨：分别列出a在b方向上的投影和b在a方向上的投影，解方程组便可．
[解] 由题意可知
∴|a|＝6，|b|＝3，
∴cos θ＝＝＝－，
又0≤θ≤π，∴θ＝.
1．(变结论)若本例中条件不变，求|2a＋b|.
[解] 由本例解答可知|a|＝6，|b|＝3，θ＝，
∴|2a＋b|＝
＝＝.
2．(变条件)已知a·b＝－9，a为单位向量，a在b方向上的投影为－，求a与b的夹角θ.
[解] 由题意可知|a|cos θ＝＝－，
∴|b|＝18，
∴cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，∴θ＝.
1．投影是个数量，可正、可负、可为零．
2．计算投影时要分清“谁是投影线”，即a在b上的投影为|a|cos θ＝；b在a上的投影为|b|cos θ＝.
教师独具
1．本节课的重点是向量数量积的定义、几何意义以及向量的夹角和向量数量积的性质、运算律，难点是向量数量积的几何意义．
2．要掌握与数量积相关的三个问题
(1)数量积的计算．
(2)向量的模的计算．
(3)向量的夹角及垂直问题．
3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别
(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：
①a＝0，b＝0；②a＝0，b＝0；③a≠0，b≠0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.
(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cos θ|，而|cos θ|≤1.
(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.
(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
1．下面给出的关系式中不正确的是( )
A．0·a＝0
B．a2＝|a|2
C．a·b≤|a||b|
D．(a·b)2＝a2·b2
D [(a·b)2＝a2·b2·cos2θ.]
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
[答案] B
3．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在b方向上的投影为________．
[|a|cos θ＝＝.]
4．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
[解] (1)∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴a2－b2＝，
即|a|2－|b|2＝.
又|a|＝1，
∴|b|＝.
∵a·b＝，
∴|a|·|b|cos θ＝，
∴cos θ＝，
∴向量a，b的夹角为45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2＝，
∴|a－b|＝.
课件51张PPT。第2章 平面向量2.4 向量的数量积
第1课时 数量积的定义点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 数量积的坐标表示
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算．(重点)
2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式．(重点)
3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．(重点、难点)
通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
一、平面向量数量积的坐标运算
若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
二、向量的长度、夹角、垂直的坐标表示
1．向量的模：设a＝(x，y)，则a2＝x2＋y2，即|a|＝.
2．向量的夹角公式：设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cos θ＝＝ .
特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.
思考：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量的模？
[提示] ∵＝－＝(x2－x1，y2－y1)，
∴||＝.
1．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝( )
A．1 B．－1 C．5 D．－5
B [∵a＝(1，－1)，b＝(2,3)，
∴a·b＝1×2－3＝－1.]
2．已知a＝(－2，x)，b＝(0,1)，若a·b＝3，则x＝________.
3 [∵a＝(－2，x)，b＝(0,1)，
∴a·b＝x＝3.]
3．已知a＝(－5,5)，b＝(0，－3)，则|a|＝________，a与b的夹角为________．
5 [∵a·b＝－15，|a|＝＝5，|b|＝3，∴cos θ＝＝＝－，
又θ∈[0，π]，∴θ＝.]
4．已知a＝(3,1)，b＝(x，－5)，若a⊥b，则x＝________.
[∵a⊥b，∴a·b＝0，∴3x－5＝0，∴x＝.]
数量积的坐标运算
【例1】 已知a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a＋b)；(3)(a·b)·c.
思路点拨：先求相关向量的坐标，再代入坐标运算表达式求解．
[解] (1)a·b＝1×2＋3×5＝17.
(2)∵a＋b＝(3,8)，
2a＋b＝(4,11)，
∴(a＋b)·(2a＋b)＝12＋88＝100.
(3)(a·b)·c＝17c＝(34,17)．
利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件，找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算，列出方程组来进行求解.
1．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c.
[解] (1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，
∴a＝(2,4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a·(b·c)＝0·a＝0，
(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
向量的夹角
【例2】 已知A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值．
思路点拨：先求，，再代入向量夹角公式求∠BAC的余弦值．
[解] ∵＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，
＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，
·＝3×(－1)＋3×6＝15.
又||＝＝3，
||＝＝，
∴cos∠BAC＝＝＝.
已知a，b的坐标求夹角时，应先求出a，b及|a|，|b|，再代入夹角公式，由夹角的余弦值确定夹角的大小.
2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为________．
120° [∵a·b＝－10，
∴(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，
∴c·a＝－.
设a与c的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝－.
又θ∈[0°，180°]，
∴θ＝120°.]
向量平行与垂直的综合应用
[探究问题]
1．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则其坐标间满足什么等量关系？a⊥b呢？
提示：a∥b?x1y2－x2y1＝0；a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
2．在△ABC中，已知点A，B，C的坐标，如何用向量法求BC边上的高的大小？
提示：设高AD交边BC于点D，由B，D，C三点共线及·＝0可求点D的坐标，进而可求||.
【例3】 已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
思路点拨：设D(x，y)，由＝λ及·＝0可求D，进而求||.
[解] 设点D坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，
∵D在直线BC上，即与共线，
∴存在实数λ，使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，
∴
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，
即2x＋y－3＝0.②
由①②可得即D点坐标为(1,1)，＝(－1,2)，
∴||＝＝，即||＝，D(1,1)．
1．(变条件)本例中将“AD为BC边上的高”换为∥，且||＝，求D点坐标．
[解] 设点D坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，
由∥得－6(y＋1)＋3(x－2)＝0，即x＝2y＋4，①
||＝＝，②
由①②可得或
即D点坐标为(4,0)或(0，－2)．
2．(变结论)本例条件不变，求与的夹角．
[解] 由本例解答可知：＝(－1,2)，
又＝(1,3)，
∴cos θ＝＝＝，
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
向量的垂直问题主要借助于结论：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，把几何问题转化为代数问题．它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．
提醒：两个向量共线的坐标表示与两个向量垂直的坐标表示截然不同，不能混淆．
教师独具
1．本节课的重点是向量的坐标表示以及用向量的坐标解决模、夹角、垂直等问题．
2．要掌握平面向量数量积的坐标运算及应用
(1)求平面向量的数量积；
(2)解决向量模的问题；
(3)解决向量的夹角与垂直问题．
3．本节课的易错点
解决两向量的夹角问题时，易忽视夹角为0或π的特殊情况.
1．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
C [由题知|a|＝＝1，|b|＝＝，a·b＝1×＋0×＝，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．]
2．向量m＝(x－5,1)，n＝(4，x)，m⊥n，则x＝________.
4 [4(x－5)＋x＝0，∴x＝4.]
3．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)，则a与b的夹角为________．
[cos θ＝
＝＝－，
又θ∈[0,2π]，∴θ＝.]
4．已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．
[解] (1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
则·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.
设C点的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，
从而有即
∴C点的坐标为(0,5)．
∵＝(－4,2)，∴||＝2，
即矩形ABCD的对角线的长度为2.
课件42张PPT。第2章 平面向量2.4 向量的数量积
第2课时 数量积的坐标表示点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十一) 数量积的定义
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．e1，e2是两个平行的单位向量，则e1·e2＝( )
A．0 B．1 C．－1 D．±1
D [∵e1∥e2，∴e1，e2的夹角为0°或180°，
∴e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝±1.]
2．已知|a|＝8，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则向量b在a方向上的投影为( )
A．2 B．－2 C．4 D．－4
B [∵|a|＝8，|b|＝4，b在a方向上的投影为|b|cos 120°＝4×cos 120°＝4×＝－2.]
3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ为120°，则a·a＋a·b＝( )
A．－ B．0 C. D．1
C [∵|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，
∴a·b＝|a||b|cos 120°＝－.
又a·a＝|a|2＝1，
∴a·a＋a·b＝1－＝.]
4．在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是( )
A．－25 B．25 C．－60 D．60
A [∵||＝13，||＝5，||＝12，
∴||2＝||2＋||2，
∴△ABC为直角三角形．
又cos∠ABC＝，
∴·＝||||cos(π－∠ABC)
＝13×5×＝－25.]
5．若向量|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝( )
A．2 B. C. D.
C [∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，∴a2－2a·b＋b2＝4，即|a|2－2a·b＋|b|2＝4，
得1－2a·b＋4＝4，∴2a·b＝1.于是|a＋b|＝＝＝＝.]
二、填空题
6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．
1 [·(2a－3b)＝a2＋a·b－3b2＝12，即3|b|2－|b|－4＝0，
解得|b|＝(舍负)，b在a方向上的投影是|b|cos 45°＝×＝1.]
7．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
4 [法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.
又(a－b)·c＝0，
∴(a－b)·(－a－b)＝0，
即a2＝b2.
则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
法二：如图，作＝＝a，
＝b，则＝c.
∵a⊥b，
∴AB⊥BC.
又∵a－b＝－＝，
(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，
所以△ABC是等腰直角三角形，
∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.]
8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.
－8或5 [由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos ，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.]
三、解答题
9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．
[解] (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，
∴|a＋b|＝
＝＝.
(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，
∴向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝.
10．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？
[解] ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)
＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2
＝2k＞0，
∴k＞0.
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围为{k|k＞0且k≠1}．
[等级过关练]
1．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．－8 B．8 C．－6 D．6
B [由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cos θ＝－，sin θ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sin θ＝2×5×＝8.]
2．设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝( )
A. B. C．－ D．±
D [(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝9－25λ2＝0，
∴λ＝±.]
3．非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a，b的夹角为________．
[由|a|＝|b|＝|a＋b|，所以|a|2＝|a＋b|2，
所以|a|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，得a·b＝－|b|2，
所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝－|b|2，
所以cos θ＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.]
4．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
[设||＝x(x＞0)，则·＝x，
所以·＝(＋)·＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的长为.]
5．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．
[解] (1)证明：∵|a|＝|b|＝|c|＝1且a，b，c之间的夹角均为120°，
∴(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，∴(a－b)⊥c.
(2)∵|ka＋b＋c|＞1，∴(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)＞1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＞1.
∵a·c＝a·b＝b·c＝cos 120°＝－，
∴k2－2k＞0，解得k＜0或k＞2.
即k的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
课时分层作业(二十二) 数量积的坐标表示
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．设a＝(1，－2)，b＝(3,1)，c＝(－1,1)，则(a＋b)·(a－c)等于( )
A．14 B．11 C．10 D．5
B [a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)，
∴(a＋b)·(a－c)＝2×4＋(－1)×(－3)＝11.]
2．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为( )
A．8 B．6 C．4 D．2
C [依题意得a＋b＝(3，k＋2)，由a＋b与a共线，得3×k－1×(k＋2)＝0，解得k＝1，所以a·b＝2＋2k＝4.]
3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为( )
A. B. C．13 D.
A [∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝，|b|＝，∴cos θ＝＝，
∴a在b上的射影为|a|cos θ＝×＝.]
4．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为( )
A. B. C. D.
B [由于2a＋b＝(4,2)，则b＝(4,2)－2a＝(2,0)，
则a·b＝2，|a|＝，|b|＝2.
设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝.
又θ∈[0，π]，所以θ＝.]
5．已知O是坐标原点，A，B是坐标平面上的两点，且向量＝(－1,2)，＝(3，m)．若△AOB是直角三角形，则m＝( )
A. B．2 C．4 D.或4
D [在Rt△AOB中，＝(4，m－2)，
若∠OAB为直角时，·＝0，可得m＝4；
若∠AOB为直角时，·＝0，可得m＝；
若∠OBA为直角时，无解．]
二、填空题
6．已知平面向量a＝(1，)，|a－b|＝1，则|b|的取值范围是________．
[1,3] [设b＝(x，y)，则|a－b|＝＝1，即点(x，y)在圆(x－1)2＋(y－)2＝1上，则|b|的几何意义是圆上点到原点的距离．又圆心到原点的距离为2，所以|b|的取值范围是[1,3]．]
7．已知a＝(4,2)，则与a垂直的单位向量b＝________.
或 [设b＝(x，y)，
则由得或]
8．已知＝(2,2)，＝(4,1)，O为坐标原点，在x轴上求一点P，使·有最小值，则P点的坐标为________．
(3,0) [设P(x,0)，所以·＝(x－2，－2)·(x－4，－1)＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，·有最小值，此时P(3,0)．]
三、解答题
9．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1)求a与b的夹角的余弦；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
[解] (1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝.
10．已知＝(4,0)，＝(2,2)，＝(1－λ)＋λ(λ2≠λ)．
(1)求·及在上的投影；
(2)证明A，B，C三点共线，且当＝时，求λ的值；
(3)求||的最小值．
[解] (1)·＝8，设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，
∴在上的投影为||cos θ＝4×＝2.
(2)＝－＝(－2,2)，＝－＝(1－λ)·－(1－λ)＝(λ－1)，
所以A，B，C三点共线．
当＝时，λ－1＝1，所以λ＝2.
(3)||2＝(1－λ)2＋2λ(1－λ)·＋λ2＝16λ2－16λ＋16＝162＋12，
∴当λ＝时，||取到最小值，为2.
[等级过关练]
1．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m的值为( )
A．2 B．－ C．0 D.
D [由题意得|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m＝2cos，解得m＝.]
2．已知a＝(4,7)，b＝(－5，－2)，则|a－b|＝( )
A．81 B．9 C. D．9
B [因为a－b＝(9,9)，所以|a－b|＝＝9.]
3．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．
1 1 [以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．
则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，
设E(1，a)(0≤a≤1)．
所以·＝(1，a)·(1,0)＝1，
·＝(1，a)·(0,1)＝a≤1，
故·的最大值为1.]
4．以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使A＝90°，则的坐标为________．
(－2,5)或(2，－5) [设＝(x，y)，由||＝||，得＝.①
由⊥，得5x＋2y＝0②
联立①②，解得x＝－2，y＝5或x＝2，y＝－5.
故＝(－2,5)或＝(2，－5)．]
5．已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．
(1)求使·取得最小值时的；
(2)对于(1)中求出的点C，求cos∠ACB.
[解] (1)因为点C是直线OP上一点，
所以向量与共线，设＝t，则＝(2t，t)．
＝－＝(1－2t,7－t)，
＝－＝(5－2t,1－t)．
·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)
＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.
当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4,2)．
(2)当＝(4,2)时，＝(－3,5)，＝(1，－1)，
所以||＝，||＝，·＝－8.
所以cos∠ACB＝＝－.
