2.5 向量的应用
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题.
2.会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重点、难点)
通过学习本节内容提升学生的数学建模和数学运算核心素养.
向量的应用
(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(2)向量在物理中的应用
①速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．
②物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．
(3)向量在平面解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．
1．思考辨析
(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.( )
(2)若∥，则直线AB与CD平行．( )
(3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多．( )
[解析] (1)可能·＝0或·＝0，故错误．
(2)∥，AB，CD亦可能在一条直线上，故错误．
(3)W＝F·s＝|F|·|s|cos θ，故错误．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．已知△ACB，＝a，＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状为( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
[答案] A
3．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(4,0)，则力F对物体作的功为________．
[答案] 4
向量在物理中的应用
【例1】 如图所示，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．
思路点拨：解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则．
[解] 如图，作平行四边形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.
在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.
||＝||cos 30°＝300×＝150(N)，||＝||sin 30°＝×300＝150(N)．
故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
1．解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成．
2．解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．
1．已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．
[解] (1)＝(－13，－15)，
W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J.
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·
＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)
＝－117＋15＝－102(J)．
∴合力F对质点所做的功为－102 J.
向量在平面几何中的应用
【例2】 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
思路点拨：法一：选取基底，并证明·＝0.
法二：建立平面直角坐标系证明·＝0.
[解] 法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，
所以·＝·
＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0，
故⊥，即AF⊥DE.
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0，2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE.
用向量法证明平面几何问题的方法，有两种常见思路：
(1)向量的线性运算法：
→→
→
(2)向量的坐标运算法：
→→
→
但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用．
2．已知在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.
[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．
(1)∵＝(－1,2)，
＝(－2，－1)．
∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)设点P坐标为(x，y)，
则＝(x，y－1)，
＝(2,1)，∵∥，
∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2，
同理，由∥，得y＝－2x＋4，
由得
∴点P的坐标为.
∴||＝＝2＝||，即AP＝AB.
平面向量在解析几何中的应用
[探究问题]
1．如何利用向量求经过点P0(x0，y0)，且与a＝(1，k)平行的直线l的方程？
提示：设直线l上任意一点P(x，y)，则＝(x－x0，y－y0)．
由题意可知∥a，∴y－y0＝k(x－x0)．
2．如何利用向量求经过点P0(x0，y0)，且与a＝(1，k)垂直的直线l的方程？
提示：设直线l上任意一点P(x，y)，则＝(x－x0，y－y0)．
由题意可知⊥a，∴(x－x0)＋k(y－y0)＝0.
已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．
(1)求直线DE，EF，FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在直线方程．
思路点拨：(1)先求出D，E，F的坐标，再借助共线知识求方程，(2)借助数量积求解．
[解] (1)由已知得点
D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，
设M(x，y)是直线DE上任意一点，
则∥.＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF，FD的方程分别为
x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(2)设点N(x0，y0)是CH所在直线上任意一点，则⊥，∴·＝0.
又＝(x0＋6，y0－2)，＝(4,4)，
∴4(x0＋6)＋4(y0－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．
1．(变结论)本例条件不变，证明△ABC为直角三角形．
[证明] 由本例解知＝(4,4)，＝(－6,6)，
∵·＝4×(－6)＋4×6＝0，
∴⊥，∴△ABC为直角三角形．
2．(变结论)本例条件不变，求过C与平行的直线方程．
[解] 设所求直线上任一点为P(x，y)．
则＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)，
由∥，得4(x＋6)－4(y－2)＝0，
即x－y＋8＝0.
利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算，使问题得以解决.
教师独具
1．本节课的重点是平面向量在平面几何中的应用，难点是平面向量在物理中的应用．
2．要掌握平面向量的应用
(1)利用平面向量解决平面几何中的平行、垂直问题；
(2)利用平面向量解决平面几何中的长度问题；
(3)平面向量在物理中的应用.
1．力F＝(－1，－5)作用于质点m，使m产生的位移s＝(4,6)，则力F对质点m做的功是( )
A．34 B．26 C．－34 D．－26
C [∵W＝F·s＝(－1，－5)·(4,6)＝－34，
∴力F对m所做的功是－34.]
2．在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的取值为________．
5 [＝－＝(3,2－t)，由题意知·＝0，
所以2×3＋2×(2－t)＝0，解得t＝5.]
3．在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，则实数k＝________.
4 [如图所示，由于＝(－3,1)，＝(－2，k)，所以＝－＝(1，k－1)．在矩形中，由⊥得·＝0，所以(－3,1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.]
4．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点(不与A，B重合)，求证：∠APB＝90°.(用向量方法证明)
[证明] 连结OP，设向量＝a，＝b，
则＝－a且＝－＝a－b，＝－＝－a－b，
∴·＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0，
∴⊥，
即∠APB＝90°.
课件43张PPT。第2章 平面向量2.5 向量的应用点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十三) 向量的应用
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
C [＝(1,1)，＝(－3,3)，·＝0，
即⊥，故△ABC为直角三角形．]
2．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D．12 m/s
B [由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图．所以小船在静水中的速度大小|v|＝＝＝2(m/s)．]
3．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图，已知物体重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是( )
A．5 N B．8 N
C．10 N D．12 N
C [因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N．]
4．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．重心 B．外心
C．内心 D．垂心
D [由·＝·＝·，可得·－·＝0，(－)·＝0，即·＝0，⊥，同理可证⊥，⊥.所以O是△ABC的垂心，即三条高的交点．]
5．等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且A(－1,2)，C(1,1)，则B的坐标为( )
A．(2，－1) B．(0，－1)
C．(2,3) D．(0，－1)或(2,3)
D [设B的坐标为(x，y)，
则＝(x－1，y－1)，又＝(2，－1)．
由题意知：||＝||，且·＝0，
∴
解得或]
二、填空题
6．已知向量a＝(6,2)，b＝，过点A(3，－1)且与向量a＋2b平行的直线l的方程为________．
3x＋2y－7＝0 [由题意得a＋2b＝(－2,3)，则直线l的方程为3(x－3)＋2(y＋1)＝0，即3x＋2y－7＝0.]
7．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，则对角线AC的长为________．
[∵＝＋，
∴2＝2＋2＋2·，①
又＝－，
∴2＝2＋2－2·，②
∴①＋②得2＋2＝2(2＋2)．
又AD＝1，AB＝2，BD＝2，
∴AC＝.]
8．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为________．
120° [如图，|F1|＝|F2|＝.
∵|F1|＝|F2|＝|G|，∴2cos ＝1，
∴θ＝120°.]
三、解答题
9．如图在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连结DP，EF.求证：DP⊥EF.
[证明] 设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0
则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，
AP＝a.于是·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.
所以⊥，所以DP⊥EF.
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程．
[解] 设N(x，y)，M(x0，y0)．
因为＝2，所以(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，
所以即
又因为点M(x0，y0)在圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4上，所以(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，所以(2x)2＋(2y)2＝4，即x2＋y2＝1，所以点N的轨迹方程为x2＋y2＝1.
[等级过关练]
1．在四边形ABCD中，若＝，且|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状是( )
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形
C [＝，∴∥，且||＝||，
∴四边形ABCD是平行四边形，
|＋|＝||，|－|＝||，
∴||＝||，∴平行四边形是矩形．]
2．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·＝( )
A．－ B．－ C. D.
B [如图，在△AOB中，|AB|＝，|OA|＝|OB|＝1，
∴∠AOB＝120°，∴·
＝||||cos 120°＝－.]
3．过点A(3，－2)且垂直于向量n＝(5，－3)的直线方程是________．
5x－3y－21＝0 [设P(x，y)为直线上的任意一点，
∴＝(x－3，y＋2)，⊥n，
∴5(x－3)－3(y＋2)＝0，即5x－3y－21＝0.]
4．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，＝(＋)，且||＝||，则·＝________.
1 [设BC的中点是D，如图所示，则＋＝2，则＝，
所以O和D重合，所以BC是圆O的直径，
所以∠BAC＝90°.
又||＝||，
则||＝1，||＝2，所以∠ABC＝60°，
所以·＝||||cos 60°＝1×2×＝1.]
5．在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的角平分线的方程．
[解] ＝(3,4)，＝(－8,6)，∠A的角平分线的一个方向向量为：＋＝＋－，＝.
设∠A的角平分线上任一点N(x，y)，则＝(x－4，y－1)，则与所求方向向量平行，
∴所求直线方程为：(x－4)＋(y－1)＝0，整理得7x＋y－29＝0.
