3.1 两角和与差的三角函数
3.1.1 两角和与差的余弦
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)
2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点)
3.能用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)
通过学习本节内容提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.
两角和与差的余弦公式
(1)两角差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.
(2)两角和的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.
思考：cos(90°－30°)＝cos 90°－cos 30°成立吗？
[提示] 不成立．
1．思考辨析
(1)α，β∈R时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.( )
(2)cos 105°＝cos 45° cos 60°－sin 45°sin 60°.( )
(3)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )
(4)coscos＋sinsin＝cos 2α.( )
[解析] 正确运用公式．(1)中加减号错误．(2)(3)(4)正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．cos 75°＝________；cos 15°＝________.
[cos 75°＝cos(30°＋45°)
＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝.
cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 30°sin 45°＝.]
3．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为________．
[cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝.]
两角和与差余弦公式的简单应用
【例1】 求下列各式的值：
(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°；
(2)；
(3)cos 15°＋sin 15°；
(4)cos(35°－α)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)．
思路点拨：从所求式子的形式、角的特点入手，化简求值．
[解] (1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝.
(2)原式＝＝＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝.
(3)∵cos 60°＝，sin 60°＝，
∴cos 15°＋sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.
(4)原式＝cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)
＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]
＝cos(－60°)＝cos 60°＝.
1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．
2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．
提醒：要重视诱导公式在角的差异、函数名称的差异中的转化作用．
1．求下各式的值
(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；
(2)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°.
[解] (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°
＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°
＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝.
(2)原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36°
＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝.
已知三角函数值求角
【例2】 已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，求α＋β的值．
思路点拨：先求出cos α，sin β，再利用两角和的余弦公式求出cos(α＋β)，最后由α＋β的范围确定α＋β的值．
[解] 因为α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝，
所以cos α＝＝＝，sin β＝＝＝，
故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
由0<α<，0<β<，得0<α＋β<π.
因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角，
所以α＋β＝.
已知三角函数值求角，一般分三步：
第一步：求角的某一三角函数值?该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数?；
第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围；
第三步：根据角的范围写出所求的角.
2．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
[解] 由cos α＝，0<α<，
得sin α＝＝＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝＝.
由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，
∴β＝.
给值求值问题
[探究问题]
1．角“α＋β”“β”及“α”间存在怎样的等量关系？
提示：α＋β＝α＋β；α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α.
2．已知cos(α＋β)和sin β的值，如何求cos α的值？
提示：由α＝(α＋β)－β可知，cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β，故可先求出sin(α＋β)及cos β的值，代入上式求得cos α的值．
【例3】 已知sin α＝－，sin β＝，且π<α<，<β<π，求cos(α－β)．
思路点拨：由sin α求cos α；由sin β求cos β后套用公式求值．
[解] ∵sin α＝－，π<α<，
∴cos α＝－＝－.
又∵sin β＝，<β<π，
∴cos β＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
1．(变条件)若将本题改为已知sin α＝－，sin β＝，且π<α<2π，0<β<，求cos(α－β)．
[解] ∵sin β＝，0<β<，
∴cos β＝＝.
又sin α＝－，且π<α<2π，
①当π<α<时，
cos α＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－；
②当<α<2π时，
cos α＝＝，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
综上所述，cos(α－β)＝－或.
2．(变条件)若将本例改为已知sin α＝－，π<α<，cos(α－β)＝，<β<π.求sin β.
[解] ∵sin α＝－，且π<α<，
∴cos α＝－＝－.
又∵<β<π，
∴－π<－β<－，∴0<α－β<π.
又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝＝，
∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin α·sin(α－β)
＝×＋×＝－，
∴sin β＝＝.
1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．
2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．
提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制．
教师独具
1．本节课的重点是两角和与差的余弦公式，难点是公式的推导及应用．
2．要掌握两角和与差的余弦公式的三个应用
(1)解决给角求值问题．
(2)解决给值(式)求值问题．
(3)解决给值求角问题．
3．本节课的易错点是：利用两角和与差的余弦公式解决给值求角问题时，易忽视角的范围而导致解题错误．
1．cos 15°＝( )
A．cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
B．cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
C．cos 45°sin 30°＋sin 45°cos 30°
D．cos 45°sin 30°－sin 45°cos 30°
B [cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°.]
2．cos 105°＋sin 195°＝________.
[cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(105°＋90°)
＝cos 105°＋cos 105°
＝2cos(135°－30°)
＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)
＝2＝.]
3．若sin α＝，α∈，则cos 的值为________．
－ [∵α∈，sin α＝，∴cos α＝－.
∴cos＝coscos α＋sinsin α
＝×＋×
＝－.]
4．化简：.
[解] 原式＝
＝
＝
＝
＝.
课件39张PPT。第3章 三角恒等变换3.1 两角和与差的三角函数
3.1.1 两角和与差的余弦点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十四) 两角和与差的余弦
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．cos(x＋27°)cos(18°－x)－sin(18°－x)sin(x＋27°)等于( )
A．0 B. C. D.
C [原式＝cos(x＋27°＋18°－x)＝cos 45°＝.]
2．若x∈[0，π]，sin sin ＝cos cos ，则x的值是( )
A. B. C. D.
D [∵cos cos －sin sin ＝0，
∴cos＝0，∴cos x＝0.∵x∈[0，π]，∴x＝.]
3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos αcos β的值为( )
A．0 B. C. D.
A [cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，
∴2cos αcos β＝0.
∴cos αcos β＝0.]
4．已知向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则|a－b|＝( )
A. B. C. D．1
D [|a|＝1，|b|＝1，a·b＝cos 75° cos 15°＋sin 75° sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝.
∴|a－b|＝＝＝1.]
5．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝( )
A. B．－ C. D．－
B [由题意，知sin α＋sin β＝－sin γ，①
cos α＋cos β＝－cos γ.②
①2＋②2，得2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－.]
二、填空题
6．已知cos α＝，α∈，则cos＝________.
[因为cos α＝，α∈，
所以sin α＝＝＝，
所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.]
7．在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则△ABC一定为________三角形．
钝角 [由sin Asin B＜cos Acos B得
cos(A＋B)＞0，
∴cos C＜0.
∴C＞90°，∴△ABC为钝角三角形．]
8．已知a＝(cos α，sin β)，b＝(cos β，sin α)，0<β<α<，且a·b＝，则α－β＝________.
[a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝，
又0<β<α<，
所以0<α－β<，故α－β＝.]
三、解答题
9．设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos的值．
[解] ∵α∈，β∈，
∴α－∈，－β∈，
∴sin＝＝＝，
cos＝＝＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
10．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为锐角且α＜β，求α＋β的值．
[解] ∵α＜β，cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝－.
∵α为锐角，cos 2α＝，∴sin 2α＝.
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝×＋×＝－.
∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α＋β＜π.∴α＋β＝.
[等级过关练]
1．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a＝(cos A，sin A)，b＝(cos B，sin B)且a·b＝1，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
B [因为a·b＝cos Acos B＋sin Asin B＝cos(A－B)＝1，且A，B，C是三角形的内角，所以A＝B，即△ABC一定是等腰三角形．]
2．如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点，如果点A的纵坐标为，点B的横坐标为，则cos(α－β)＝( )
A. B．－ C. D．－
C [易知sin α＝，cos β＝，又因为α，β为锐角，∴cos α＝，sin β＝，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.]
3．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos(30°－α)＝________.
[由已知sin α＝，cos α＝，
cos(30°－α)＝cos 30° cos α＋sin 30°sin α＝×＋×＝.]
4．已知sin＝，则cos α＋sin α＝________.
[sin＝cos＝cos
＝coscos α＋sinsin α
＝cos α＋sin α
＝(cos α＋sin α)＝，
∴cos α＋sin α＝.]
5．已知函数f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
[解] (1)∵f(x)＝2cos(ω＞0)的最小正周期T＝10π＝，∴ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2cos，
而α，β∈，f＝－，f＝，
∴2cos＝－，
2cos＝，
即cos＝－，cos β＝，
于是sin α＝，cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.
