3.1.2 两角和与差的正弦
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)
2.能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点)
通过学习本节内容，提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.
两角和与差的正弦公式
1．两角和的正弦公式：
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.
2．两角差的正弦公式：
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.
3．辅助角公式
asin x＋bcos x
＝，
令cos φ＝，sin φ＝，则有asin x＋bcos x＝(cos φsin x＋sin φcos x)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，φ为辅助角．
思考1：如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？
[提示] sin(α＋β)＝cos
＝cos
＝coscos β＋sinsin β
＝sin αcos β＋cos αsin β.
思考2：如何推导两角差的正弦呢？
[提示] 可以由sin(α－β)＝cos
＝cos得到，也可以由sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]得到．
1．思考辨析
(1)sin 150°＝sin 120°＋sin 30°.( )
(2)sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝.( )
(3)α，β∈R时，sin(α－β)＝sin αcos β＋cos αsin β.( )
(4)sin 54° cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( )
[解析] (1)公式错误．
(2)原式＝sin(60°＋30°)＝sin 90°＝1.
(3)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
(4)原式＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°
＝sin(54°－24°)＝sin 30°.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．sin －cos ＝________.
－ [原式＝2
＝2
＝2sin
＝－2sin
＝－.]
3.等于________．
[原式＝
＝＝sin 30°＝.]
两角和与差的正弦公式的简单应用
【例1】 求下列各式的值：
(1)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°；
(2).
思路点拨：(1)从角和“形”入手，转化成两角和(差)的正弦求值．
(2)注意角的差异与变换：55°＝(60°－5°)，85°＝90°－5°.
[解] (1)原式＝sin 163°sin(90°＋133°)＋sin(90°＋163°)·sin(180°＋133°)
＝sin 163°cos 133°－cos 163°sin 133°
＝sin(163°－133°)＝sin 30°＝.
(2)原式＝
＝＝＝1.
1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径
(1)化为特殊角的三角函数值；
(2)化为正负相消的项，消去求值；
(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．
2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．
提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．
1．求下列各式的值：
(1)sin 165°；(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．
[解] (1)sin 165°＝sin(180°－15°)＝sin 15°
＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝.
(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.
(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0.
给值求值
【例2】 已知0＜β＜，＜α＜，cos＝，sin＝，求cos(α＋β)的值．
思路点拨：注意－＝＋(α＋β)，可通过求出＋β和－α的正、余弦值来求cos(α＋β)．
[解] 由0＜β＜，＜α＜π得
－＜－α＜0，π＜π＋β＜π.
∴cos＝－，sin＝－，
cos(α＋β)＝sin＝sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝－.
解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来.
?1?当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
?2?当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
?3?角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.
2．已知α，β是锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求sin β的值．
[解] ∵α是锐角，且sin α＝，
∴cos α＝＝＝.
又∵cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，
∴sin(α＋β)＝＝.
∴sin β＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
形如asin x＋bcos x的函数的化简及应用
[探究问题]
1．把sin x＋cos x化成Asin(ωx＋φ)的形式.
提示：sin x＋cos x＝cossin x＋sincos x＝sin.
2.sin x＋cos x如何化成Asin(ωx＋φ)的形式？
提示：sin x＋cos x＝2
＝2sin.
【例3】 已知函数f(x)＝2sin－2cos x，x∈，求函数f(x)的值域．
思路点拨：先将函数f(x)化简为f(x)＝asin x＋bcos x的形式，然后化为f(x)＝sin(x＋φ)的形式解决．
[解] f(x)＝2sin－2cos x
＝sin x－cos x＝2sin，
∵≤x≤π，∴≤x－≤.
∴≤sin≤1.∴函数f(x)的值域为[1,2]．
1．(变结论)本题条件不变，将函数f(x)用余弦函数表示．
[解] f(x)＝sin x－cos x＝2
＝2
＝－2
＝－2cos.
2．(变结论)本例条件不变，求函数f(x)的单调区间．
[解] f(x)＝2sin，
由2kπ－≤x－≤2kπ＋，得2kπ－≤x≤2kπ＋
，与≤x≤π取交集得≤x≤，
∴函数f(x)的单调递增区间为；
由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋，与≤x≤π取交集得≤x≤π，
∴函数f(x)的单调递减区间为.
一般地，对于asin α＋bcos α形式的代数式，可以提取，化为Asin?ωx＋φ?的形式，公式asin α＋bcos α＝sin?α＋φ??或asin α＋bcos α＝称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值.
提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.
教师独具
1．本节课的重点是两角和与差的正弦公式，难点是公式的灵活应用．
2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：
sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.
3．运用两角和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，运用恰当的公式快速求解．
1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A. B．－ C. D．－
A [原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°
＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.]
2．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin＝________.
－ [∵cos α＝－，α是第三象限角，
∴sin α＝－，
∴sin＝sin αcos＋cos αsin
＝－×＋×＝－.]
3．若α是锐角，且满足sin＝，则sin α的值为________．
[∵α是锐角，∴0＜α＜，
∴－＜α－＜，又sin＝，
∴cos＝.
∴sin α＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×
＝.]
4．若函数f(x)＝sin＋cos.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的值域．
[解] f(x)＝sin＋cos＝sin 2xcos＋cos 2xsin＋cos 2xcos －sin 2xsin
＝sin 2x＋cos 2x＋cos 2x－sin 2x
＝cos 2x.
(1)T＝＝π.
(2)∵cos 2x∈[－1,1]，
∴f(x)∈[－1,1]．
课件42张PPT。第3章 三角恒等变换3.1 两角和与差的三角函数
3.1.2 两角和与差的正弦234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十五) 两角和与差的正弦
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．sin 255°＝( )
A. B．－
C. D．－
B [sin 255°＝－sin 75°＝－sin(45°＋30°)＝－.]
2．sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°＝( )
A. B．－
C. D．－
D [原式＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－.]
3．若锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是( )
A. B.
C. D.
C [∵α，β∈，cos α＝，cos(α＋β)＝，
∴sin α＝，
∴0＜α＋β＜π，∴sin(α＋β)＝.
∴sin β＝sin
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.]
4．在△ABC中，2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．不确定
B [在△ABC中，C＝π－(A＋B)，
∴2cos Bsin A＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B.
∴－sin Acos B＋cos Asin B＝0.
即sin(B－A)＝0.∴A＝B.]
5.＝( )
A．－1 B．1
C．－ D.
A [
＝
＝＝＝－1.]
二、填空题
6．要使sin α－cos α＝有意义，则实数m的取值范围是________．
[∵sin α－cos α＝2sin，
∴2sin＝，
∴sin＝，
∴≤1，解得－1≤m≤.]
7．当－≤x≤时，函数f(x)＝sin x＋cos x的最大值为________，最小值为________．
2 －1 [f(x)＝sin x＋cos x＝2sin x＋cos x
＝2
＝2sin.
∵－≤x≤，∴－≤x＋≤π，
∴－≤sin≤1，
即－1≤f(x)≤2.]
8．已知关于x的方程sin x＋cos x＋k＝0在x∈[0，π]上有解，则实数k的取值范围为________．
[－，1] [∵sin x＋cos x＋k＝0，
∴sin x＋cos x＝－k，
即sin＝－k.
又∵0≤x≤π，
∴≤x＋≤π，
∴－1≤sin≤.
∴－1≤－k≤，即－≤k≤1.]
三、解答题
9．已知cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且＜β＜α＜π，求sin 2α.
[解] ∵＜β＜π，
∴－π＜－β＜－.
∵＜α＜π，
∴－＜α－β＜.
又∵β＜α，∴0＜α－β＜，
则sin＝.
∵sin(α＋β)＝－，π＜α＋β＜π，
∴cos(α＋β)＝－.
∴sin 2α＝sin
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×＝－.
10．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x＜.
(1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式；
(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值．
[解] (1)f(x)＝(1＋tan x)cos x
＝cos x＋··cos x
＝cos x＋sin x
＝2
＝2
＝2sin.
(2)∵0≤x＜，∴≤x＋＜，
由x＋≤，得x≤.
∴f(x)在上是单调增函数，
在上是单调减函数．
∴当x＝时，f(x)有最大值为2.
[等级过关练]
1.cos－sin＝( )
A．0 B．－ C. D．2
C [原式＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝.]
2．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为( )
A. B．1 C. D．2
B [∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)
＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ
＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x，
∴f(x)的最大值为1.]
3．已知cos＋sin α＝，则sin的值是________．
－ [∵cos α·＋sin α·＋sin α＝，
∴sin α＋cos α＝，
∴＝，
∴sin＝，∴sin＝sin
＝－sin＝－.]
4．sin 50°(1＋tan 10°)＝________.
1 [原式＝sin 50°
＝sin 50°·
＝2sin 50°·＝
＝
＝＝＝1.]
5．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.
求：(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
[解] (1)因为α，β∈，所以α－β∈，
又sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<.
所以sin α＝＝，
cos(α－β)＝＝，
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)
＝×－×＝.
(2)cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈，所以β＝.
