3.1.3 两角和与差的正切
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
两角和与差的正切公式
T(α－β)：tan(α－β)＝.
T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
思考：公式Tα±β有何结构特征和符号规律？
[提示] (1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
(2)符号规律：分子同，分母反．
1．tan 15°＝________；tan 75°＝________.
2－ 2＋ [tan 15°＝tan(45°－30°)＝
＝＝＝2－.
tan 75°＝
＝＝2＋.]
2．设α，β为锐角，且tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的根，则tan(α＋β)＝________.
1 [tan α＋tan β＝，tan α·tan β＝.
tan(α＋β)＝＝1.]
3.＝________.
[原式＝＝tan(45°－15°)
＝tan 30°＝.]
条件求值问题
【例1】 已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan.
思路点拨：2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，tan可以用tan 2α表示出来．
[解] tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝
＝－，
tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]
＝＝＝，
tan＝＝
＝.
求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来运算的繁杂.
1．已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan.
[解] tan＝tan
＝＝＝.
给值求角
【例2】 已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，求α＋β.
思路点拨：利用根与系数的关系求tan α＋tan β及tan αtan β的值，进而求出tan(α＋β)的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值．
[解] 因为tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－3＜0，tan αtan β＝4＞0，
所以tan α＜0，tan β＜0.又因为α，β∈，
所以α，β∈，所以－π＜α＋β＜0.
又因为tan(α＋β)＝＝＝，
所以α＋β＝－.
1．给值求角的一般步骤：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角的范围；
(3)根据角的范围写出所求的角．
2．选取函数时，应遵照以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
2．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________.
－ [由于tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝
＝＝，所以α∈，
又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝1，
而β∈，所以2α－β∈(－π，0)，
故2α－β＝－.]
T(α±β)公式的变形及应用
[探究问题]
1．你能结合T(α±β)的公式完成下列空格吗？
(1)T(α＋β)的变形：
tan α＋tan β＝_________________________________.
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝________.
tan αtan β＝____________________________________.
(2)T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝__________________________________.
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________.
tan αtan β＝____________________________________.
提示：(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)
tan αtan β＝1－
(2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)
tan αtan β＝－1
2．结合T(α±β)公式想一想下列式子如何化简？
(1)＝________；(2)＝________.
提示：(1)＝＝tan
(2)＝＝tan
【例3】 已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
思路点拨：充分结合T(α±β)的公式及变形求解．
[解] ∵tan A＋ tan B＝tan Atan B－1，
∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，
∴＝－，
∴tan(A＋B)＝－.
又∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝，
∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，
tan C＝，
∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝，
∴B＝，∴A＝，
∴△ABC为等腰三角形．
1．公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．
2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．
3．(1)化简：tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°；
(2)若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，求α＋β的值．
[解] (1)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝.
(2)∵(1＋tan α)(1＋tan β)
＝1＋(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，
∴tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)，
∴tan(α＋β)＝＝.
又∵α，β均为锐角，
∴0°<α＋β<180°，∴α＋β＝60°.
教师独具
1．本节课的重点是两角和与差的正切公式，难点是公式的灵活运用．
2．要掌握两角和与差的正切公式的三个应用
(1)解决给角求值问题．
(2)解决给值(式)求角问题．
(3)解决条件求值问题．
3．本节课的易错点是，解决给值(式)求角问题时，易忽视角的范围而造成解题错误．
1.＝( )
A．tan 57° B．－tan 57°
C．1 D．－1
C [原式＝tan(51°－6°)＝tan 45°＝1.]
2．若tan α＝，tan(α－β)＝－1，则tan β＝________.
[tan β＝tan[α－(α－β)]
＝＝＝.]
3．不查表求值：tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°＝________.
1 [tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°＝tan(15°＋30°)(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝tan 45°(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1－tan 15°tan 30°＋tan 15°tan 30°＝1.]
4．已知A，B，C为锐角三角形ABC的内角．求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
[证明] ∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B＝π－C.
∴tan(A＋B)＝
＝－tan C.
∴tan A＋tan B＝－tan C＋tan Atan Btan C.
即tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
课件40张PPT。第3章 三角恒等变换3.1 两角和与差的三角函数
3.1.3 两角和与差的正切点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十六) 两角和与差的正切
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若0＜α＜，0＜β＜，且tan α＝2，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )
A．1 B．－1 C. D．－
B [∵tan α＝2，tan β＝3，∴tan(α＋β)＝＝＝－1.]
2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β＝( )
A．2 B. C．1 D.
D [tan(α＋β)＝＝＝4，
∴1－tan αtan β＝，tan αtan β＝.]
3．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝( )
A. B. C. D.
A [∵B∈，sin B＝，∴cos B＝.
∴tan B＝.
∴tan(A＋B)＝＝＝1.
又A，B∈，∴A＋B∈(0，π)．∴A＋B＝.]
4．已知tan α，tan β是方程x2＋6x＋7＝0的两个实根，则tan(α－β)＝( )
A. B. C．－ D．±
D [由已知tan α＝－3＋，tan β＝－3－或tan α＝－3－，tan β＝－3＋，
∴tan(α－β)＝＝±.]
5．若tan＝2，则＝( )
A. B. C. D．1
C [由tan＝＝2，得tan α＝，
∴＝＝＝.]
二、填空题
6.＝________.
[原式＝＝
＝tan(55°－25°)＝tan 30°＝.]
7．在△ABC中，若0钝角 [易知tan B>0，tan C>0，B，C为锐角．
<1，∴cos Bcos C>sin Bsin C.
∴cos Bcos C－sin Bsin C>0，∴cos(B＋C)>0，即cos A＜0，故A为钝角．]
8．已知sin α＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan β的值为________．
7 [∵sin α＝，α是第二象限角，
∴cos α＝－，∴tan α＝－.
∴tan β＝
＝＝＝7.]
三、解答题
9．求下列各式的值：
(1)tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°；
(2)tan 70°－tan 10°－tan 70°tan 10°.
[解] (1)因为tan(17°＋28°)＝，
所以tan 17°＋tan 28°＝tan 45°(1－tan 17°tan 28°)
＝1－tan 17°tan 28°，
所以tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1.
(2)因为tan 60°＝tan(70°－10°)
＝，
所以tan 70°－tan 10°＝＋tan 10°tan 70°，
所以tan 70°－tan 10°－tan 10°tan 70°＝.
10．若△ABC的三内角满足：2B＝A＋C，且A＜B＜C，tan Atan C＝2＋，求角A，B，C的大小．
[解] 由题意知：
解之得：B＝60°且A＋C＝120°，
∴tan(A＋C)＝tan 120°＝－＝，
又∵tan Atan C＝2＋，
∴tan A＋tan C＝tan(A＋C)·(1－tan Atan C)
＝tan 120°(1－2－)
＝－(－1－)＝3＋.
∴tan A，tan C可作为一元二次方程
x2－(3＋)x＋(2＋)＝0的两根，
又∵0＜A＜B＜C＜π，
∴tan A＝1，tan C＝2＋.
即A＝45°，C＝75°.
所以A，B，C的大小分别为45°，60°，75°.
[等级过关练]
1．设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan等于( )
A．－ B. C．－3 D．3
B [a·b＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2.
tan＝＝.]
2．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan Atan C，则角B＝( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
C [因为A＋B＋C＝180°，
所以tan(A＋C)＝－tan B，
又tan A＋tan B＋tan C＝3，
所以tan A＋tan C＝3－tan B，
又tan2B＝tan Atan C，
所以由tan(A＋C)＝得－tan B＝，
所以－tan B(1－tan2B)＝3－tan B，
所以tan3B＝3，所以tan B＝.
又0°3．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)
钝角 [由已知得
∴tan(A＋B)＝＝＝，
在△ABC中，tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－<0，
∴C是钝角，∴△ABC是钝角三角形．]
4．已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________.
1 [∵tan β＝，
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
∴tan(α＋β)＝＝1.]
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．
[解] 由已知得cos α＝，cos β＝，又α，β是锐角，
则sin α＝＝，
sin β＝＝.
所以tan α＝＝7，tan β＝＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝
＝－1，
又α，β是锐角，则0＜α＋2β＜，
所以α＋2β＝.
