(共42张PPT)
第3章 三角恒等变换
3.3 几个三角恒等式
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谢谢水赏课时分层作业(二十八) 几个三角恒等式
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[合格基础练]
一、选择题
1．下列关系式中正确的是( )
A．sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ
B．cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ
C．sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ
D．sin xsin y＝[cos(x－y)－cos(x＋y)]
D [A中sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ，
B中cos 3θ－cos 5θ＝2sin 4θsin θ，
C中sin 3θ－sin 5θ＝－2cos 4θsin θ.]
2．若A＋B＝120°，则sin A＋sin B的最大值是( )
A．1 B. C. D.
C [sin A＋sin B＝2sincos
＝cos≤，∴最大值为.]
3．函数y＝sin＋sin的最大值是( )
A. B．1 C. D.
B [y＝2sin xcos＝sin x≤1，∴最大值为1.]
4.＝( )
A. B．－ C. D．－
D [原式＝＝－
＝－＝－.]
5．若α是第三象限角且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－，则tan＝( )
A．－5 B．5 C．－ D.
A [易知sin α＝－，α为第三象限角，
∴cos α＝－.
∴tan ＝＝
＝＝＝－5.]
二、填空题
6．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝________.
[cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos 2α＋cos 2β)
＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β.
∴cos2α－sin2β＝.]
7．若cos2α－cos2β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.
－m [sin(α＋β)sin(α－β)＝－(cos 2α－cos 2β)＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－m.]
8．函数y＝sincos x的最小值是________．
－ [y＝sincos x＝sin2x－＋sin－
＝＝sin－，
当sin＝－1时，y取得最小值为－.]
三、解答题
9．化简：(－π<α<0)．
[解] 原式＝
＝
＝
＝.
因为－π<α<0，所以－<<0，
所以sin <0，
所以原式＝＝cos α.
10．求函数f(x)＝sin x的最小正周期与最值．
[解] f(x)＝sin x
＝sin x·2cossin
＝－sin xcos
＝－
＝－sin＋.
∴最小正周期为T＝＝π.
∵sin∈[－1,1]，
∴f(x)max＝，f(x)min＝－.
[等级过关练]
1．sin220°＋cos280°＋sin 20°cos 80°的值是( )
A. B. C. D．1
A [原式＝＋＋(sin 100°－sin 60°)＝1－(cos 40°＋cos 20°)＋cos 10°－＝1－cos 30°cos 10°＋cos 10°－＝.]
2．直角三角形中两锐角为A和B，则sin Asin B的最大值为( )
A. B.
C. D.
C [∵A＋B＝，sin Asin B＝[cos(A－B)－cos (A＋B)]＝cos(A－B)，
又－＜A－B＜，
∴0＜cos(A－B)≤1，
∴sin Asin B有最大值.]
3．若cos α＝－，α是第三象限角，则＝________.
－ [∵α是第三象限角，
∴为第二、四象限角，∴tan＜0，
∴tan＝－
＝－
＝－3，
∴原式＝＝－.]
4．已知sin α＝，cos α＝，则tan 等于________．
－2 [因为sin α＝>0，cos α＝>0，
所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一、三象限．所以tan >0，故tan ＝＝＝－2.]
5．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
[解] 在直角三角形OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α.
在直角三角形OAD中，＝tan 60°＝.
∴OA＝DA＝sin α，
∴AB＝OB－OA＝cos α－sin α.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AB·BC＝sin α
＝sin αcos α－sin2α
＝sin 2α－(1－cos 2α)
＝sin 2α＋cos 2α－
＝－
＝sin－.
∵0<α<，∴＜2α＋＜，
∴当2α＋＝，即α＝时，S取最大值.
∴当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
13.3 几个三角恒等式
学 习 目 标 核 心 素 养(教师独具)
1.能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能代换公式．(重点)2.能利用所学公式进行三角恒等变换．(重点、难点) 通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
一、降幂公式
sin2α＝，
cos2α＝，
tan2α＝.
思考：如何用cos α表示sin2，cos2？
[提示] sin2＝；cos2＝.
二、积化和差与和差化积公式
1．思考辨析
(1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin Acos B．( )
(2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin Acos B．( )
(3)cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2 α－cos2 β.( )
[解析] (1)正确．
(2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝－2sin Asin B.
(3)cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos 2α＋cos 2β)．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．若cos α＝－，且π＜α＜，则cos ＝________.
－ [∵π＜α＜，∴＜＜，
∴cos＝－＝－.]
3．若tan ＝3，则cos α＝________.
－ [∵tan2＝＝9，∴cos α＝－.]
4．若tan α＝1，则tan ＝________.
－1± [tan α＝，∴tan2 ＋2tan －1＝0，解得tan ＝－1±.]
应用和差化积或积化和差求值
【例1】 求sin220°＋cos250°＋sin 20°·cos 50° 的值．
思路点拨：先降幂，再和差化积，或积化和差求解．
[解] 原式＝＋＋(sin 70°－sin 30°)
＝1＋(cos 100°－cos 40°)＋sin 70°－
＝＋(－2sin 70°sin 30°)＋sin 70°
＝－sin 70°＋sin 70°
＝.
套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.
1．已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin(α＋β)的值．
[解] ∵cos α－cos β＝，
∴－2sinsin＝.①
又∵sin α－sin β＝－，
∴2cossin＝－.②
∵sin≠0，∴由①②，得－tan＝－，
即tan＝.
∴sin(α＋β)＝＝＝＝.
万能代换公式的应用
【例2】 设tan ＝t，求证：＝(t＋1)．
思路点拨：利用万能代换公式，分别用t表示sin θ，cos θ，代入待证等式的左端即可证明．
[证明] 由sin θ＝及cos θ＝，得1＋sin θ＝＝，
1＋sin θ＋cos θ＝＝，
故＝(t＋1)．
在万能代换公式中不论α的哪种三角函数 包括sin α与cos α 都可以表示成的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.
2．已知cos θ＝－，且180°＜θ＜270°，求tan.
[解] ∵180°＜θ＜270°，∴90°＜＜135°，∴tan＜0.
由cos θ＝，得＝－，
解得tan2＝4.
又tan＜0，∴tan＝－2.
f(x)＝asin2ωx＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx的性质
[探究问题]
1．要研究上述f(x)的性质必须把f(x)化成什么形式？
提示：把f(x)化成Asin(ωx＋φ)＋B的形式．
2．在上述转化过程中，要用到哪些公式？
提示：降幂公式：sin2α＝，cos2α＝.
辅助角公式：asin α＋bcos α＝sin(α＋θ)，其中tan θ＝.
【例3】 求函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sin xcos x，x∈的最小值，并求其单调减区间．
思路点拨：→→→
[解] f(x)＝5·＋·－2sin 2x＝3＋2cos 2x－2sin 2x
＝3＋4
＝3＋4
＝3＋4sin＝3－4sin，
∵≤x≤，∴≤2x－≤.
∴sin∈.
∴当2x－＝，即x＝时，
f(x)取最小值为3－2.
∵y＝sin在上单调递增，
∴f(x)在上单调递减．
1．(变结论)本例中，试求函数f(x)的对称轴方程．
[解] f(x)＝3－4sin，
令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.
所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
2．(变条件)本例中，函数解析式变为f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)，求f(x)的单调递减区间．
[解] ∵f(x)＝sin 2＋1－cos 2
＝2＋1
＝2sin＋1，
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
1．研究函数性质的一般步骤：
(1)对函数式化简；
(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质．
2．对三角函数式化简的常用方法：
(1)降幂化倍角；
(2)升幂角减半；
(3)利用f(x)＝asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，化为“一个角”的函数．
教师独具
1．本节课的重点是半角公式，难点是半角公式的应用．
2．要掌握三角恒等变换的三个应用
(1)求值问题；
(2)化简问题；
(3)三角恒等式的证明．
3．对半角公式的四点认识
(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．
(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，便可求出sin ，cos ，tan .
(3)由于tan＝及tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题．所以求解关于tan 的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．
(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin2＝，cos2＝求解．
1．已知tan α＝－，则sin 2α＝( )
A. B．－ C. D．－
D [sin 2α＝＝
＝＝－.]
2．sin 37.5°cos 7.5°＝________.
[原式＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
＝(sin 45°＋sin 30°)＝×＝.]
3．化简：＝________.
tan 20° [原式＝＝
＝tan 20°.]
4．已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＋3，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在上的最小值与最大值．
[解] (1)f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＋3
＝cos 2x＋sin 2x＋4＝2sin＋4.
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)∵0＜x≤，∴＜2x＋≤，
当x＝时，2x＋＝，函数f(x)取得最小值为5.
当x＝时，2x＋＝，函数f(x)取得最大值为6.
5
