向量的线性运算
如图所示，在△ABC中，点M为AB的中点，且＝，与相交于点E，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示.
思路点拨：先由C，E，M三点共线?＝μ＋(1－μ)，由B，E，N三点共线?＝λ＋(1－λ)，再由，不共线求λ，μ的值．
[解] ∵＝＝b，＝＝a，由N，E，B三点共线知存在实数λ满足＝λ＋(1－λ)＝λb＋(1－λ)a.
由C，E，M三点共线知存在实数μ满足＝μ＋(1－μ)＝a＋(1－μ)b.
∴解得∴＝a＋b.
向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.
1．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．
[解] 设＝a，＝b，则＝(a＋b)，
＝－＝nb－ma，
＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b.
由P，G，Q共线得，存在实数λ使得＝λ，
即nb－ma＝λa＋λb，
则消去λ，得＋＝3.
向量的数量积运算
设向量＝a，＝b，且||＝||＝4，∠AOB＝60°.
(1)求|a＋b|，|a－b|；
(2)求a＋b与a的夹角θ1，a－b与a的夹角θ2.
思路点拨：利用|a±b|＝求解；利用cos θ＝求夹角．
[解] (1)∵|a＋b|2＝(a＋b)(a＋b)＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝16＋2×4×4cos 60°＋16＝48，
∴|a＋b|＝4，
∴|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝16，∴|a－b|＝4.
(2)∵(a＋b)·a＝|a|2＋a·b＝16＋4×4cos 60°＝24，
∴cos θ1＝＝＝.
∵θ∈[0°，180°]，∴θ1＝30°.
∵(a－b)·a＝|a|2－a·b＝16－4×4cos 60°＝8，
∴cos θ2＝＝＝.
∵θ2∈[0°，180°]，∴θ2＝60°.
1．数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义．
2．可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行计算．
2．已知c＝ma＋nb，c＝(－2，2)，a⊥c，b与c的夹角为，b·c＝－4，|a|＝2，求实数m，n的值及a与b的夹角．
[解] ∵c＝(－2，2)，∴|c|＝4，
又a⊥c，∴a·c＝0.
∵b·c＝|b||c|cos ＝|b|×4×＝－4，
∴|b|＝2.又c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋n·b·c，
∴16＝－4n，∴n＝－4.
又a·c＝ma2＋na·b，
∴0＝8m－4a·b.①
又b·c＝ma·b＋n·b2，
∴ma·b＝12.②
由①②得m＝±，∴a·b＝±2，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝±，∵θ∈[0，π]
∴θ＝或.
向量的应用
如图，在等腰直角△ABC中，角C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
思路点拨：欲证AD⊥CE，即证·＝0.由于已有·＝0，故考虑选此两向量为基底，从而应用此已知条件．另外，如果进一步考虑到此组基底是垂直关系，还可以建立直角坐标系．
[解] 法一：记＝a，＝b，
则＝b－a，且a·b＝0，|a|＝|b|.
因为＝－＝b－a，
＝－＝(b－a)＋a＝b＋a，
所以·＝·＝b2－a2＝0.可得AD⊥CE.
法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AC＝BC＝2，
则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，
因为D是CB的中点，则D(0,1)．
所以＝(－2,1)，＝(－2,2)．
又＝＋＝＋＝(2,0)＋(－2,2)＝，所以·＝(－2,1)·＝(－2)×＋＝0，因此AD⊥CE.
把几何图形放到适当的坐标系中， 就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.
3.如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂线方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：
(1)|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况．
(2)当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围．
(3)当|F1|＝2|F2|时，求角θ的值．
[解] (1)由力的平衡原理知，G＋F1＋F2＝0，作向量＝F1，＝F2，＝－G，则＋＝，∴四边形OACB为平行四边形，如图．
由已知∠AOC＝θ，∠BOC＝，
∴||＝，||＝||＝||tan θ，
即|F1|＝，|F2|＝|G|tan θ，θ∈.
由此可知，当θ从0°逐渐增大趋向于时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
(2)当|F1|≤2|G|时，有≤2|G|，
∴cos θ≥，又θ∈.∴θ∈.
(3)当|F1|＝2|F2|时，＝2|G|tan θ，∴＝，∴sin θ＝.
∴θ＝.
数形结合思想
【例4】 已知向量＝(2,0)，＝(2,2)，＝(cos α，sin α)，则与夹角的范围是________．
思路点拨：结合的坐标给出点A的轨迹，并由直线与圆的知识求与夹角的范围．
[建立如图所示的直角坐标系．
∵＝(2,2)，＝(2,0)，＝(cos α，sin α)，
∴点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，为半径的圆．
过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连结CM，CN，如图所示，则向量与的夹角范围是∠MOB≤〈，〉≤∠NOB.
∵||＝2，∴||＝||＝||，
知∠COM＝∠CON＝，但∠COB＝.
∴∠MOB＝，∠NOB＝，故≤〈，〉≤.]
平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想.引入向量的坐标表示，使向量运算代数化，将“数”和“形”紧密地结合起来.运用数形结合思想可解决共线、平行、垂直、夹角、距离、面积等问题.
4．已知船在静水中的速度大小为5 m/s，且船在静水中的速度大小大于水流速度大小，河宽为20 m，船垂直到达对岸用的时间为5 s，则水流速度大小为________m/s.
3 [设船在静水中的速度为v1，水流速度为v2，船的实际速度为v3，建立如图所示的平面直角坐标系．|v1|＝5 m/s，|v3|＝＝4 m/s，则v3＝(0,4)，v1＝(－3,4)，
v2＝v3－v1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)．
∴|v2|＝3 m/s，
即水流的速度大小为3 m/s.]
课件30张PPT。第2章 平面向量章末复习课点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(二) 平面向量
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于( )
A. B. C. D.
A [因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋＝＋＝.]
2．下列命题中，正确命题的个数是( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是.
A．3 B．2 C．1 D．0
D [根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是或－，故④也是错误的．]
3．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝( )
A.(e1＋e2) B.(e1－e2)
C.(2e2－e1) D.(e2－e1)
A [因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)．]
4．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6 C．6 D．12
D [2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.]
5．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．b－a
C．a＋b D．－a－b
B [＝＋＝＋(－)＝b－a.]
6．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(5,6) D．(2,0)
A [b＝(3,2)－2(1,2)＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．]
7．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝( )
A．2 B.
C. D.
D [设||＝x，
则||＝x，
·＝(＋)·＝·
＝||·||cos∠ADB＝x·1·＝.]
8．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平行分线
C [因为a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，
所以a＋b＝(0,1＋x2)．
因为a＋b的横坐标为0，纵坐标为1＋x2＞0，
所以a＋b平行于y轴．]
9 .已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则( )
A.＝2 B.＝
C.＝3 D．2＝
B [因为D为BC的中点，所以＋＝2.
所以2＋2＝0，所以＝－，所以＝.]
10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A. B.
C. D.
D [设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x,2＋y)，a＋b＝(3，－1)，
由已知可得
解得即c＝.]
11．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为( )
A．6 N B．2 N C．2 N D．2N
D [由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2＝|－F1－F2|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1|·|F2|·cos 60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，所以|F3|＝2 N．]
12．已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是( )
A．(－9,1) B．(9，－1)
C．(9,1) D．(－9，－1)
C [设点C的坐标是(x，y)，
因为A，B，C三点共线，
所以∥.
因为＝－(1，－3)＝，
＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，
所以7(y＋3)－(x－1)＝0，
整理得x－2y＝7，
经检验可知点(9,1)符合要求．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，若c＝λa＋μb，则λ，μ的值分别是________．
，－ [∵c＝λa＋μb，
∴(－1,2)＝(λ，λ)＋(μ，－μ)，
∴∴]
14．已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.
2 [∵a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，
∴a·b＝0，即－2×3＋3m＝0，解得m＝2.]
15．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.
2 [法一：·＝·(－)＝2－2＝22－×22＝2.
法二：以A为原点建立平面直角坐标系如图所示．则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，E(1,2)．
∴＝(1,2)，＝(－2,2)．
从而·＝(1,2)·(－2,2)＝1×(－2)＋2×2＝2.]
16．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．
8 [∵a∥b，∴2×(－2)－(－1)x＝0，解得x＝4，
∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．
∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，
即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4，
∴＝(y－x，x－y)＝(－8,8)，
∴||＝8.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，
(1)如图①，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示，.
(2)如图②，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示.
[解] (1)＝＋＝＋＝－＝－a＋b.
＝＋＝－＝a－b.
(2)＝－＝b－a.
∵O是BD的中点，G是DO的中点，
∴＝＝(b－a)，
∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
18．(本小题满分12分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
[解] (1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.
整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
∴a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2.
19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
[解] (1)由题设，知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.
(2)由题设，知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.
20．(本小题满分12分)设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
[解] 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
得＜0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0.
整理得：2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＜0.(*)
∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°.
∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1
∴(*)式化简得：2t2＋15t＋7＜0.
解得：－7＜t＜－.
当向量2te1＋7e2与e1＋te2夹角为180°时，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)．
对比系数得，∴
∴所求实数t的取值范围是
∪.
21．(本小题满分12分)在△ABC中，已知A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，AD⊥BC于点D.
(1)求点D的坐标；
(2)求证：AD2＝BD·DC.
[解] (1)设D点坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y－4)，＝(5,5)，
＝(x＋1，y＋2)．
因为AD⊥BC，所以·＝0，
即5(x－2)＋5(y－4)＝0.
所以x＋y＝6.①
又因为B，D，C三点共线，
所以∥，
所以5(x＋1)－5(y＋2)＝0，
所以x－y＝1.②
联立①②，解得所以点D的坐标为.
(2)证明：因为＝，
＝，＝，
所以||2＝＋＝，
||＝＝，
||＝＝，
从而||·||＝×＝.
故||2＝||·||，
即AD2＝BD·DC.
22．(本小题满分12分)已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，·＝5，2＝10.
(1)求D点坐标；
(2)若D点在第二象限，用，表示；
(3)若＝(m
2)，3＋与垂直，求的坐标．
[解] (1)设D(x，y)，＝(1,2)，＝(x＋1，y)．
由题得
即
∴或
∴D点坐标为(－2,3)或(2,1)．
(2)∵D点在第二象限，
∴由(1)知D(－2,3)．
∴＝(－1,3)．
∵＝(－2,1)，
设＝m＋n，则(－2,1)＝m(1,2)＋n(－1,3)，
∴∴
∴＝－＋.
(3)∵3＋＝3(1,2)＋(－2,1)＝(1,7)，＝(m,2)，(3＋)·＝0，
∴m＋14＝0，∴m＝－14.
∴＝(－14,2)．
