求值问题
已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos β的值．
思路点拨：由tan α求sin α，由cos(α＋β)求sin(α＋β)，再利用cos β＝cos[(α＋β)－α]展开求解．
[解] 因为α，β均为锐角，
所以0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－，
所以＜α＋β＜π，
且sin(α＋β)＝.因为tan α＝4，
所以sin α＝，cos α＝.
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝.
三角函数求值主要有三种类型，即
?1?“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.
?2?“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角，要注意角的范围.
?3?“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.
1．已知sinsin＝，α∈，求的值．
[解] ∵sinsin＝，
∴sincos＝，
sin＝，即cos 2α＝.
又α∈，2α∈(π，2π)，
∴sin 2α＝－
＝－＝－.
∴＝
＝＝－.
化简与证明
求证：＝.
思路点拨：先对原式进行等价变形，同时注意应用“二倍角”的正弦、余弦、正切公式．
[证明] 证明原不等式成立，即证明
1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)成立．
∵tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)
＝(2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ)
＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)
＝2sin 2θcos 2θ＋2sin22θ
＝sin 4θ＋1－cos 4θ.
∴＝.
三角函数式的化简与证明要遵循“三看”原则
?1?一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式.
?2?二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”.
?3?三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.
2．化简：.
[解] 原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝2.
三角恒等变换的综合应用
设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
思路点拨：分别表示两向量的模，利用相等求解x的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一个角的一种函数求解．
[解] (1)由|a|2＝(sin x)2＋sin2 x＝4sin2x，
|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈，从而sin x＝，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin xcos x＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
当x＝∈时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
1．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
2．把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．
3．已知函数f(x)＝cos2－sincos－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin 2α的值．
[解] (1)f(x)＝cos2－sincos－＝(1＋cos x)－sin x－＝cos.
所以f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知f(α)＝cos＝，
所以cos＝.
所以sin 2α＝－cos
＝－cos
＝1－2cos2＝1－＝.
转化与化归思想在三角变换中的应用
【例4】 已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
思路点拨：先求tan(2α－β)的值，再结合2α－β的范围求2α－β的值．
[解] ∵tan α＝＞0，
∴α∈，2α∈(0，π)，
∴tan 2α＝＝＝＞0，
∴2α∈，
又∵tan β＝－＜0，β∈(0，π)，
∴β∈，
∴tan(2α－β)＝
＝＝1，
又∵2α∈，β∈，
∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－π.
在三角函数的化简、求值中，常常对条件和结论进行合理的变换，通过转化沟通已知与未知的关系，角的转化、函数名称的转化、常数代换、幂的升降变换、结构变化等技巧在解题中经常用到，应熟练掌握.
4．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值．
[解] ∵＜α＜，0＜β＜，
∴－＜－α＜0，＜＋β＜π，
∴sin＝－
＝－＝－，cos
＝－＝－，
∴sin(α＋β)＝－cos
＝－cos
＝－cos＋βcos－α＋sin＋β·sin－α
＝－＝.
课件29张PPT。第3章 三角恒等变换章末复习课点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(三) 三角恒等变换
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知sin＝，则cos＝( )
A. B. C. D.
D [cos＝cos2－x＝1－2sin2＝1－＝.]
2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为( )
A．－ B．－ C. D.
A [因为α为锐角，且cos α＝，
所以sin α＝＝.
因为β为第三象限角，且sin β＝－，
所以cos β＝－＝－，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.]
3．已知tan α＝，tan(α－β)＝－，那么tan(β－2α)的值为( )
A．－ B．－ C．－ D.
B [tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)]＝－
＝－＝－.]
4．已知2sin α＝1＋cos α，则tan ＝( )
A. B.或不存在
C．2 D．2或不存在
B [由2sin α＝1＋cos α，
即4sin cos ＝2cos2，
当cos ＝0时，则tan 不存在；
当cos ≠0时，则tan ＝.]
5．已知0＜α＜＜β＜π，又sin α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β等于( )
A．0 B．0或
C. D．0或－
C [因为0＜α＜＜β＜π，sin α＝，
cos(α＋β)＝－，
所以cos α＝，sin(α＋β)＝或－.
所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝或0.
因为＜β＜π，所以sin β＝.]
6．已知sin 2α＝，则cos2＝( )
A. B. C. D.
A [cos2＝＝(1－sin 2α)＝.]
7．已知cos θ＝－(－180°＜θ＜－90°)，则cos＝( )
A．－ B. C．－ D.
B [因为－180°＜θ＜－90°，
所以－90°＜＜－45°.又cos θ＝－，
所以cos ＝＝＝.]
8．已知A，B均为钝角，sin A＝，sin B＝，则A＋B的值为( )
A. B. C. D.
A [因为＜A＜π，＜B＜π，
所以cos A＝－，cos B＝－.
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝－×－×＝.
又因为π＜A＋B＜2π，所以A＋B＝.]
9．若＝，则tan＝( )
A．－2 B．2 C．－ D.
C [因为＝，
所以＝，
所以tan α＝－3.
所以tan
＝＝＝－.]
10．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝( )
A. B. C. D.
D [因为θ∈，
所以2θ∈，
所以cos 2θ≤0，
所以cos 2θ＝－
＝－＝－.
又cos 2θ＝1－2sin2θ，
所以sin2θ＝＝＝，
所以sin θ＝.]
11．已知tan x＝2，则tan等于( )
A. B．－ C. D．－
C [tan
＝tan＝
＝＝－
＝－＝＝.]
12．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为( )
A. B.
C.和 D.和
A [由已知可得(3sin A＋4cos B)2＋(3cos A＋4sin B)2＝62＋12，即9＋16＋24sin(A＋B)＝37.
所以sin(A＋B)＝.所以在△ABC中sin C＝.
所以C＝或C＝.
又1－3cos A＝4sin B＞0，
所以cos A＜.
又＜，
所以A＞，所以C＜，
所以C＝不符合题意，
所以C＝.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．化简：·＝________.
tan 2α [原式＝·＝tan 2α.]
14．tan 19°＋tan 41°＋tan 19°tan 41°的值为________．
[tan 19°＋tan 41°＝tan 60°(1－tan 19°tan 41°)
＝－tan 19°tan 41°，∴原式＝－tan 19°tan 41°＋tan 19°tan 41°＝.]
15．为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象向________平移________个单位．
右 [y＝sin 3x＋cos 3x＝cos
＝cos 3
故将y＝cos 3x的图象向右平移个单位得到y＝sin 3x＋cos 3x的图象．]
16．已知函数f(x)＝sin＋sin＋cos x＋a在区间上的最大值为2，则常数a的值为________．
0 [f(x)＝2sin xcos ＋cos x＋a＝sin x＋cos x＋a＝2sin＋a，又－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，∴a＋2＝2，则a＝0.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知sin α＝cos 2α，α∈，求sin 2α.
[解] ∵sin α＝1－2sin2α，即2sin2α＋sin α－1＝0，
∴sin α＝－1或sin α＝.
又∵α∈，∴sin α＝，α＝.
∴cos α＝.∴sin 2α＝2××＝.
18．(本小题满分12分)求－sin 10°－tan 5°的值．
[解] 原式＝－2sin 10°·
＝－2sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝＝.
19．(本小题满分12分)已知向量m＝，n＝(sin α，1)，m与n为共线向量，且α∈[－π，0]．
(1)求sin α＋cos α的值；
(2)求的值．
[解] (1)因为m与n为共线向量，
所以·1－(－1)·sin α＝0，
所以sin α＋cos α＝.
(2)因为1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝，
所以sin 2α＝－，所以(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝－2×＝.
又因为α∈[－π，0]，sin α·cos α<0，
所以α∈，所以sin α－cos α<0，
所以sin α－cos α＝－.
所以＝.
20．(本小题满分12分)已知cos＝－，sin＝且α∈，β∈.
求：(1)cos ；(2)tan(α＋β)．
[解] (1)∵＜α＜π，0＜β＜，
∴＜α－＜π，－＜－β＜，
∴sin＝＝，
cos＝＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×
＝－.
(2)又α＋β∈，∴∈，
且cos＜0，故tan＜0，∴tan＝－.
∴tan(α＋β)＝＝.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.
(1)若0＜α＜，且sin α＝，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
[解] f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
(1)∵0＜α＜，sin α＝，∴α＝.
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
22．(本小题满分12分)如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0.
(1)将十字形的面积表示成θ的函数；
(2)求十字形的最大面积．
[解] (1)设S为十字形面积，
则S＝2xy－x2＝2sin θcos θ－cos2θ.
(2)S＝2sin θcos θ－cos2θ＝sin 2θ－cos 2θ－
＝×－
＝sin(2θ－φ)－(设φ为锐角且tan φ＝)
当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝时，S最大．
即当θ＝＋时，十字形取得最大面积－.
