一、三角函数
1．任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的正弦，记作sin_α，即sin_α＝y；
(2)x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos_α＝x；
(3)叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)．
2．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan α＝.
3．诱导公式
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
4．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
对称性
对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)
对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)，无对称轴
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期性
最小正周期：2π
最小正周期：2π
最小正周期：π
单调性
在(k∈Z)上是单调增函数；在(k∈Z)上是单调减函数
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上是单调增函数；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上是单调减函数
在开区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是单调增函数
最值
在x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
无最值
二、平面向量
1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
向量运算
法则(或几何意义)
坐标运算
向量的线性运算
加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
三角形法则
平行四边形法则
减法
减法法则
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λa＝(λx1，λy1)
向量的数量积运算
a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)规定0·a＝0，数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积
a·b＝x1x2＋y1y2
2.两个定理
(1)平面向量基本定理
①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
②基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
(2)向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
3．向量的平行与垂直
a，b为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b
有唯一实数λ使得b＝λa
x1y2－x2y1＝0
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
4.平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则||＝.
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
则cos θ＝＝.
5．向量的投影
向量a在b方向上的投影为|a|cos θ＝.
6．向量的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a，a·b＝b·a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，a－b－c＝a－(b＋c)，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
(4)重要公式：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.
tan(α＋β)＝.
tan(α－β)＝.
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin_αcos_α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
3．升幂公式
1＋cos 2α＝2cos2α.
1－cos 2α＝2sin2α.
4．降幂公式
cos2x＝，sin2x＝.
5．和差角正切公式变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．
6．辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角，tan φ＝)(或asin x＋bcos x＝cos(x－φ)，tan φ＝)．
1．终边与始边重合的角是零角．(×)
[提示] 终边与始边重合的角是360°的整数倍．
2．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关．(×)
[提示] 与圆的半径长短无关．
3．角α是三角形的内角，则必有sin α＞0，cos α≥0.(×)
[提示] 当α是钝角时cos α＜0.
4．同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．(√)
5．对任意角α，＝tan α都成立．(×)
[提示] 只有cos α≠0时才成立．
6．诱导公式中的角α一定是锐角．(×)
[提示] 只要角α使代数式有意义即可，不一定是锐角．
7．在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．(√)
8．函数y＝sin x的图象向右平移个单位得到函数y＝cos x的图象．(×)
[提示] 应为向左平移个单位．
9．函数y＝cos x的图象关于x轴对称．(×)
[提示] 关于y轴对称，所有对称轴可表示为x＝kπ(k∈Z)．
10．若sin＝sin，则是正弦函数y＝sin x的一个周期．(×)
[提示] 若T是一个函数的周期，对任意的x必有f(x＋T)＝f(x)成立．如sin≠sin，故不是y＝sin x的周期．
11．函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．(×)
[提示] 函数若具备奇偶性首先要满足定义域关于原点对称．
12．正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．(×)
[提示] 正弦函数、余弦函数有单调区间，但在定义域内单调性不一致，不是单调函数．
13．正切函数的定义域和值域都是R.(×)
[提示] 正切函数的值域是R，定义域为{x|x≠＋kπ(k∈Z)}．
14．把函数y＝cos x图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝cos 3x的图象．(×)
[提示] 应得到y＝cosx的图象．
15．函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.(×)
[提示] 最大值应为|A|.
16．向量与向量是相等向量．(×)
[提示] 与大小相等，方向相反，是相反向量．
17．任意两个向量的和仍然是一个向量．(√)
18．两个相等向量之差等于0.(√)
19．实数λ与向量a的积还是向量．(√)
20．若ma＝mb，则a＝b.(×)
[提示] m＝0时，a＝b不成立．
21．任意两个向量都可以作为基底．(×)
[提示] 不共线的两个向量才可以作为基底．
22．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)
23．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2＝x2y1.(√)
24．两个向量的数量积仍然是向量．(×)
[提示] 两个向量的数量积是数．
25．||的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．(√)
26．若△ABC为直角三角形，则有·＝0.(×)
[提示] 只有∠B＝90°时，·＝0成立．
27．对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．(√)
28．存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．(√)
29．tan能用公式tan(α＋β)展开．(×)
[提示] 展开式中有tan，此式无意义．
30．若α是第一象限角，则tan＝.(√)
1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A.－ B.－
C.＋ D.＋
A [法一：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A.
法二：＝－＝－＝－×(＋)＝－，
故选A.]
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
B [a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，
故选B.]
3．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．
[答案] －4
4．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
[解] (1)因为tan α＝，tan α＝，
所以sin α＝cos α.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝，
所以tan 2α＝＝－.
因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝＝－.
5．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
[解] (1)由角α的终边过点P，
得sin α＝－.
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，
得cos α＝－.
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
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(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．角α终边经过点(1，－1)，则cos α＝( )
A．1 B. C．－1 D．－
B [角α终边经过点(1，－1)，所以cos α＝＝.]
2．在梯形ABCD中，AB∥CD，且||＝λ||，设＝a，＝b，则等于( )
A．λa＋b B．a＋λb
C.a＋b D．a＋b
C [＝＋＝b＋＝b＋a.]
3．已知cos＝，且|φ|＜，则tan φ＝( )
A．－ B. C．－ D.
C [由cos＝，得sin φ＝－，又|φ|＜，所以cos φ＝，所以tan φ＝－.]
4．已知sin 2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)＝( )
A．－1 B．－2 C．－ D.
B [由sin 2α＝，且＜2α＜π，可得cos 2α＝－，
所以tan 2α＝－，
所以tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]
＝
＝＝－2.]
5．已知向量a，b满足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为( )
A．(4,0)，(－2,6) B．(－2,6)，(4,0)
C．(2,0)，(－1,3) D．(－1,3)，(2,0)
C [设a＝(xa，ya)，b＝(xb，yb)，则由题意知
解得所以a＝(2,0)，b＝(－1,3)．]
6．函数y＝sin的一个单调递减区间为( )
A. B.
C. D.
A [令＋2kπ＜2x＋＜＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ＜x＜＋kπ(k∈Z)，所以选A.]
7．已知cos＝，－＜α＜0，则sin 2α的值是( )
A. B. C．－ D．－
D [由已知得sin α＝－，又－＜α＜0，故cos α＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.]
8．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )
A. B. C．－ D．－
D [sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)
＝－.]
9．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为( )
A. B. C. D.
C [因为|a＋b|＝1，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以cos θ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.]
10．下列命题中正确的是( )
A．y＝cos x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象
B．y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到y＝cos x的图象
C．当φ＜0时，y＝sin x的图象向左平移|φ|个单位长度可得y＝sin(x＋φ)的图象
D．y＝sin的图象是由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到的
A [A选项，y＝cos x的图象向右平移个单位长度，得到y＝cos＝sin x的图象，故A正确；B选项，y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得y＝sinx－＝－cos x的图象，故B错误；C选项，y＝sin x的图象向左平移|φ|个单位长度，得y＝sin(x＋|φ|)＝sin(x－φ)的图象，故C错误；D选项，y＝sin 2x的图象应向左平移个单位长度，得y＝sin ＝sin2x＋的图象，故D错误．]
11．若四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．直角梯形
C [由＋＝0，即＝，可得四边形ABCD为平行四边形，由(－)·＝0，即·＝0，可得AC⊥BD，所以四边形ABCD为菱形．]
12．已知θ是第三象限角，若sin4θ＋cos4θ＝，那么sin 2θ等于( )
A. B．－ C. D．－
A [因为sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－·sin22θ，
所以1－·sin22θ＝，
所以sin22θ＝.
因为π＋2kπ＜θ＜＋2kπ，k∈Z，
所以2π＋4kπ＜2θ＜3π＋4kπ，k∈Z，
所以sin 2θ＞0，
所以sin 2θ＝.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于________．
－ [据三角函数的定义，可知|OP|＝5，∴sin α＝－，cos α＝，∴2sin α＋cos α＝－＋＝－.]
14．函数f(x)＝sin的单调递减区间是________．
，k∈Z [由＋2kπ＜2x－＜＋2kπ，k∈Z得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.]
15.如图，在△ABC中，E，F分别是边AC，BC的中点，D是EF的中点，设＝a，＝b，则＝________.(用a，b表示)
a－b [＝＝＝(－)＝(－b＋a)．
＝＝a，＝＋
＝a＋(－b＋a)＝a－b.]
16．给出下列4个命题：
①函数y＝tan x的图象关于点，k∈Z对称；
②函数f(x)＝sin|x|是最小正周期为π的周期函数；
③设θ为第二象限的角，则tan＞cos ，且sin＞cos ；
④函数y＝cos2x＋sin x的最小值为－1.
其中正确的命题是________．
①④ [①点(kπ，0)(k∈Z)，(k∈Z)是正切函数的对称中心，∴①对；
②f(x)＝sin|x|不是周期函数，∴②错；
③∈，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z时，sin＜cos.∴③错；
④y＝1－sin2x＋sin x＝－2＋，
∴当sin x＝－1时，ymin＝－1，∴④对．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知tan α＝，
求的值．
[解] 原式＝
＝
＝
＝＝，
又∵tan α＝，∴原式＝＝－3.
18．(本小题满分12分)设e1，e2是正交单位向量，如果＝2e1＋me2，＝ne1－e2，＝5e1－e2，若A，B，C三点在一条直线上，且m＝2n，求m，n的值．
[解] 以O为原点，e1，e2的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy(图略)，
则＝(2，m)，＝(n，－1)，＝(5，－1)，
所以＝(3，－1－m)，＝(5－n,0)，
又因为A，B，C三点在一条直线上，所以∥，
所以3×0－(－1－m)·(5－n)＝0，与m＝2n构成方程组
解得或
19．(本小题满分12分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.
(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
[解] (1)证明：由题意得|a－b|2＝2，
即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.
(2)因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，
所以
由此得，cos α＝cos(π－β)，
由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.
又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，
得sin α＝sin β＝，而α＞β，
所以α＝，β＝.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
[解] (1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)证明：因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，
所以sin≥sin＝－，
所以当x∈时，f(x)≥－.
21．(本小题满分12分)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
[解] (1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，则sin x＝0，
与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cos x≠0.
于是tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)
＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将函数y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间；
(3)当x∈时，求函数y＝fx＋－f的最值．
[解] (1)由题图得T＝π－＝π＝π，
∴T＝2π，∴ω＝＝1.
又f＝0，得Asin＝0，
∴π＋φ＝2kπ，φ＝2kπ－π.
∵0＜φ＜，∴当k＝1时，φ＝.
又由f(0)＝2，得：Asin φ＝2，A＝4，
∴f(x)＝4sin.
(2)将f(x)＝4sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到y＝4sin2x＋，再将图象向右平移个单位得到g(x)＝4sin2x－＋＝4sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得：
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴g(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(3)y＝f－f
＝4sin－×4sin
＝4sin－4sin
＝4－4cos x
＝2sin x＋2cos x－4cos x＝2sin x－2cos x
＝4sin.
∵x∈，x－∈，
∴sin∈，
∴函数的最小值为－4，最大值为2.
