1.1.2 弧度制
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.了解弧度制.
2.会进行弧度与角度的互化．(重点、难点)
3.掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点)
通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养.
一、弧度制的概念
1．角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
2．弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．
思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
[提示] “1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
二、角度制与弧度制的换算
1．角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝rad≈0.017 45 rad
1 rad＝度≈57.30°
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
角度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
弧度
0
角度
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
π
2π
3.任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
思考2：角度制与弧度制之间如何进行换算？
[提示] 利用1°＝弧度和1弧度＝°进行弧度与角度的换算．
三、扇形的弧长公式及面积公式
1．弧度制下的弧长公式：
如图，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝，弧长l＝|α|r.特别地，当r＝1时，弧长l＝|α|.
2．扇形面积公式：
在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝·πr2＝lr.
1．思考辨析
(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．( )
(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．( )
(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．将下列弧度与角度互换
(1)－＝________；
(2)2＝________；
(3)72°＝________；
(4)－300°＝________.
(1)－40° (2)° (3) rad (4)－ rad
[(1)－ rad＝－×180°＝－40°.
(2)2 rad＝2×°＝°.
(3)72°＝72× rad＝ rad.
(4)－300°＝－300× rad＝－ rad.]
3．半径为1，圆心角为的扇形的弧长为________，面积为________．
[∵α＝，r＝1，∴弧长l＝α·r＝，
面积＝lr＝××1＝.]
角度制与弧度制的互化
【例1】 把下列弧度化成角度或角度化成弧度：
(1)－450°；(2)；(3)－；(4)112°30′.
思路点拨：利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化．
[解] (1)－450°＝－450× rad＝－ rad；
(2) rad＝×°＝18°；
(3)－ rad＝－×°＝－240°；
(4)112°30′＝112.5°＝112.5× rad＝ rad.
角度制与弧度制换算的要点：
提醒：度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度．
1．将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
[解] (1)20°＝ rad＝ rad.
(2)－15°＝－ rad＝－ rad.
(3) rad＝×180°＝105°.
(4)－ rad＝－×180°＝－396°.
用弧度制表示角的集合
【例2】 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．
思路点拨：先写出边界角的集合，再借助图形写出区域角的集合．
[解] 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，
(1).
(2).
(3).
表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2kπ?k∈Z?”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k·360°?k∈Z?”中，α必须是用角度制表示的角.
提醒：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错.
2．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
① ②
[解] (1)如题图①，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，
所以阴影部分内的角的集合为
.
(2)如题图②，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z)．
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，
则M1＝，M2＝.
所以阴影部分内的角的集合为
M1∪M2＝.
扇形的弧长及面积问题
[探究问题]
1．公式l＝|α|r中，“α”可以为角度制角吗？
提示：公式l＝|α|r中，“α”必须为弧度制角．
2．在扇形的弧长l，半径r，圆心角α，面积S中，已知其中几个量可求其余量？举例说明．
提示：已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r，可利用l＝|α|r，求l，进而求S＝lr；又如已知S，α，可利用S＝|α|r2，求r，进而求l＝|α|r.
【例3】 一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？
思路点拨：→
→→
[解] 设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，
依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝.
由l＝20－2r>0及r>0得0∴S扇形＝αr2＝··r2＝(10－r)r
＝－(r－5)2＋25(0∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.
此时l＝10，α＝2，
故当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，
扇形面积最大．
1．(变条件)本例条件变为“扇形圆心角是72°，半径等于20 cm”，求扇形的面积．
[解] 设扇形弧长为l，因为72°＝72×＝(rad)，
所以l＝αr＝×20＝8π(cm)，
所以S＝lr＝×8π×20＝80π(cm2)．
2．(变结论)本例变为“扇形周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．”请解答．
[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，
依题意有
①代入②得r2－5r＋4＝0，
解得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8(cm)，
此时，θ＝8 rad>2π rad(舍去)．
当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝ rad.
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.
提醒：?1?在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.
?2?看清角的度量制，选用相应的公式.
?3?扇形的周长等于弧长加两个半径长.
教师独具
1．本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解．
2．本节要牢记弧度制与角度制的转化公式
(1)π＝180°；(2)1°＝ rad (3)1 rad＝°.
3．本节课要重点掌握以下规律方法
(1)弧度制的概念辨析；
(2)角度与弧度的换算；
(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用．
4．本节课的易错点
表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用．
1．将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)：
(1)＝________；(2)－＝________；
(3)920°＝________；(4)－72°＝________.
(1)24° (2)－216° (3)π rad
(4)－ rad [(1) rad＝×180°＝24°.
(2)－ rad＝－×180°＝－216°.
(3)920°＝920× rad＝π rad.
(4)－72°＝－72× rad＝－ rad.]
2．若扇形的周长为4 cm，面积为1 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．
2 [设扇形所在圆的半径为r cm，扇形弧长为l cm.
由题意得
解得
所以α＝＝2.
因此扇形的圆心角的弧度数是2.]
3．用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为______．
[若角α的终边落在x轴的上方，则2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z.]
4．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角．
[解] (1)∵180°＝π rad，
∴α1＝－570°＝－570×＝－
＝－2×2π＋，
α2＝750°＝750×＝＝2×2π＋.
∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限．
(2)β1＝＝×°＝108°，
设θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，
则由－720°≤θ＜0°，
即－720°≤108°＋k·360°＜0°，
得k＝－2，或k＝－1.
故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.
β2＝－＝－60°，
设γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)，
则由－720°≤－60°＋k·360°＜0°，得k＝－1，或k＝0.
故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°.
课件48张PPT。第1章 三角函数1.1 任意角、弧度
1.1.2 弧度制234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二) 弧度制
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列命题中说法错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
D [A、B、C正确，D错误，角的大小与圆的半径无关．]
2．下列转化结果不正确的是( )
A．22°30′化成弧度是
B．－π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π
D.化成度是15°
C [22°30′＝22.5°＝×＝，A正确．－π＝－π×°＝－600°，B正确．－150°＝－150×＝－π≠－π，C错误.＝×°＝15°，D正确．]
3．下列表示中不正确的是( )
A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在y轴上的角的集合是
C．终边在坐标轴上的角的集合是
D．终边在直线y＝x上的角的集合是
D [D错误，终边在直线y＝x上的角的集合是.]
4．圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A．120° B.
C. D．2
C [设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，弧长等于R的圆心角的弧度数为α＝＝.]
5．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝，则劣弧的长为( )
A. B．π
C. D.
A [如图，连结AO，OB.
因为∠ACB＝，所以∠AOB＝，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧的长为·r＝.
]
二、填空题
6．如图所示，图中公路弯道处的弧长l＝________m(精确到1 m)．
47 [根据弧长公式，l＝αr＝×45≈47(m)．]
7．已知角α的终边与的终边相同，在[0,2π)内终边与角角的终边相同的角为________．
，π，π [由题意得α＝2kπ＋(k∈Z)，
故＝＋(k∈Z)，
又∵0≤<2π，所以当k＝0,1,2时，
有＝，π，π满足题意．]
8．如图，已知圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是________．
[∵40°＝40×＝，30°＝30×＝，
∴S＝r2·＋r2·＝.]
三、解答题
9．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．
(1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k(k∈Z)．
[解] (1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋＝－10π＋，是第一象限角．
(2)－60°＋360°·k＝－×60＋2π·k＝－＋2kπ(k∈Z)，是第四象限角．
10．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
[解] (1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故满足条件的角的集合为
.
(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为.
(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为.
(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为.
[等级过关练]
1．－75°的弧度数是( )
A．－ B．－
C．－ D．－
B [－75°＝－75×＝－.]
2．已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是( )
A. B.
C. D．π
C [8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是×4＝.]
3．若角α的终边与的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.
－π，－π，，π [与α终边相同的角的集合为.∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2kπ＋＜4π，
化简得：－＜k＜，∵k∈Z，∴k＝－2，－1,0,1，
∴α＝－π，－π，，π.]
4．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________.
[－4，－π]∪[0，π] [如图所示，
∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．]
5．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)弧AB的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
[解] (1)因为120°＝π＝π，
所以l＝α·r＝π×6＝4π，
所以弧AB的长为4π.
(2)因为S扇形AOB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，
于是有S△OAB＝AB·OD＝×2×6cos 30°×3＝9.
所以弓形的面积为S扇形AOB－S△OAB＝12π－9.
