1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点)
2.会判断给定角的三角函数值的符号．(重点)
3.会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．(难点)
通过学习本节内容提升学生的数学运算和数学抽象核心素养.
一、任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)，那么
名称
定义
定义域
正弦
sin α＝
R
余弦
cos α＝
R
正切
tan α＝
sin α，cos α，tan α分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．
思考1：对于确定的角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
[提示] 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
思考2：若P为角α与单位圆的交点，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
[提示] sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
二、三角函数在各象的限符号
三、三角函数线
1．有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段．
2．三角函数线
1．思考辨析
(1)α一定时，单位圆的正弦线一定．( )
(2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．( )
(3)α与α＋π有相同的正切线．( )
[解析] 结合三角函数线可知(1)(3)正确，(2)错误．
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．若角α的终边经过点P，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________.
－ －1 [由题意可知
|OP|＝＝1，
∴sin α＝＝－；cos α＝＝；
tan α＝＝－1.]
3．(1)若α在第三象限，则sin αcos α________0；(填“＞”“＜”)
(2)cos 3tan 4________0.(填“>”“<”)
(1)＞ (2)＜ [(1)∵α在第三象限，
∴sin α＜0，cos α＜0，∴sin αcos α＞0.
(2)∵<3<π，π<4<，
∴3是第二象限角，4是第三象限角．
∴cos 3<0，tan 4>0.∴cos 3tan 4<0.]
三角函数的定义及应用
【例1】 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin α，cos α，tan α的值．
思路点拨：以α的终边分别在第二、四象限为依据，分别取特殊点求sin α，cos α，tan α的值．
[解] 当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1，2)，则r＝＝，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，tan α＝＝－2.
当α的终边在第四象限时，
在α终边上取一点P′(1，－2)，
则r＝＝，
所以sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－2.
1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．
2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
1．已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
[解] 由题意知r＝|OP|＝，由三角函数定义得cos θ＝＝.
又∵cos θ＝x，∴＝x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
此时sin θ＝＝，
tan θ＝＝3.
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.
三角函数值的符号
【例2】 (1)若α是第四象限角，则点P(cos α，tan α)在第________象限．
(2)判断下列各式的符号：
①sin 183°；②tan ；③cos 5.
思路点拨：先确定各角所在的象限，再判定各三角函数值的符号．
(1)四 [∵α是第四象限角，
∴cos α>0，tan α<0，
∴点P(cos α，tan α)在第四象限．]
(2)[解] ①∵180°<183°<270°，
∴sin 183°<0；
②∵<<2π，
∴tan <0；
③∵<5<2π，
∴cos 5>0.
对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.
2．确定下列式子的符号：
(1)tan 108°·cos 305°；(2)；
(3)tan 120°·sin 269°.
[解] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0.
∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0.
从而tan 108°·cos 305°＜0.
(2)∵是第二象限角，是第四象限角，是第二象限角，
∴cos ＜0，tan＜0，sin ＞0.
从而＞0.
(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0，
∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0.
从而tan 120°sin 269°＞0.
应用三角函数线解三角不等式
[探究问题]
1．在单位圆中，满足sin α＝的正弦线有几条？试在图中明确．
提示：两条，如图所示，MP1与NP2都等于.
2．满足sin α≥的角的范围是多少？试在上述单位圆中给予明确．
提示：如图中阴影部分所示，所求角α的取值范围为α≤α≤2kπ＋，k∈Z.
【例3】 求函数f(x)＝＋ln的定义域．
思路点拨：借助单位圆解不等式组便可．
[解] 由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
1．利用三角函数线解三角不等式的方法
(1)正弦、余弦型不等式的解法．
对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连结原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．
(2)正切型不等式的解法．
对于tan x≥c，取点(1，c)连结该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．
2．利用三角函数线求函数的定义域
解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想．
3．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sin α≥；(2)cos α≤－.
[解] (1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连结OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为.
(2)作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为.
教师独具
1．本节课的重点是三角函数的定义、三角函数值的符号以及三角函数线的画法、利用三角函数线解决问题，难点是三角函数的定义及应用，对三角函数线概念的理解．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)三角函数的定义及应用；
(2)三角函数值符号的判断；
(3)三角函数线的画法及应用．
3．本节课的易错点(1)已知α的终边所在的直线求α的三角函数值时，易忽视对α所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误．(2)画三角函数线的位置以及表示方法.
1．若sin α＜0，tan α＞0，则α终边所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [由sin α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y轴的负半轴上．
由tan α＞0可知α的终边落在第一、三象限内．
故同时满足sin α＜0，tan α＞0的角α为第三象限角．]
2．角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，则b的值为________．
3 [由三角函数的定义可知＝－，
∴解得b＝3.]
3．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是________．
sin α＋cos α>1 [作出α的正弦线和余弦线(图略)，由三
角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.]
4．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
[解] ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝＝＝5|t|，
当t＞0时，r＝5t，sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，tan α＝＝＝－.
当t＜0时，r＝－5t，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－.
综上可知，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－；
或sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
课件46张PPT。第1章 三角函数1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数R R 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三) 任意角的三角函数
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [由P(tan α，cos α)在第三象限可知tan α<0，cos α<0.
由tan α<0得，角α的终边在第二或第四象限，
由cos α<0得，角α的终边在第二或第三象限或x轴的负半轴．
故角α的终边在第二象限．]
2．若角α的终边落在y＝－x上，则tan α值为( )
A．－1 B．1
C．－1或1 D．不能确定
A [设P(a，－a)是角α上任意一点，
若a>0，P点在第四象限，tan α＝＝－1，
若a<0，P点在第二象限，tan α＝＝－1.]
3．下面选项中错误的是( )
A.与的正弦线相等
B.与的正切线相等
C.与的余弦线相等
D．－与的各三角函数线相同
C [在单位圆中画出相应角的正弦线、正切线、余弦线(图略)可知，C错误．]
4．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C＜0，则△ABC的形状是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
A [∵A，B，C是△ABC的内角，∴sin A＞0.
∵sin A·cos B·tan C＜0，∴cos B·tan C＜0，
∴cos B和tan C中必有一个小于0，
即B，C中必有一个钝角，
故△ABC是钝角三角形．]
5．若α为第二象限角，则－＝( )
A．0 B．－2
C．－2或2 D．2
D [由已知sin α>0，cos α<0，
∴－＝－＝1＋1＝2.]
二、填空题
6．已知角α为第二象限角，则化简的结果为________．
sin α－cos α [因为角α为第二象限角，故sin α>0，cos α<0，因此＝|sin α－cos α|＝sin α－cos α.]
7．sin ，cos ，tan 按从小到大的顺序排列是________．
cos cos <0，tan >0，
sin >0.
∵|MP|<|AT|，
∴sin 故cos 8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α＞0，cos α≤0，则a的取值范围是________．
(－2,3] [因为cos α≤0，sin α＞0，所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上．
因为α的终边过点(3a－9，a＋2)，
所以所以－2＜a≤3.]
三、解答题
9．判断下列各式的符号：
(1)sin 340°cos 265°；
(2)(θ为第二象限角)．
[解] (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin 340°＜0，cos 265°＜0，
∴sin 340°cos 265°＞0.
(2)∵θ为第二象限角，
∴0＜sin θ＜1＜，－＜－1＜cos θ＜0，
∴sin(cos θ)＜0，cos(sin θ)＞0，∴＜0.
10．已知＝－，且lg cos α有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
[解] (1)由＝－可知sin α＜0，
∴α是第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角．
由lg cos α有意义可知cos α＞0，
∴α是第一或第四象限角或终边在x轴的非负半轴上的角．
综上可知角α是第四象限的角．
(2)∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m＜0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝＝－.
[等级过关练]
1．已知角α的终边在直线y＝kx上(k≠0)，若sin α＝，cos α<0，则k的值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．－2
D [∵sin α＝>0，cos α<0，
∴α为第二象限角．
在直线y＝kx(x<0)上任取一点P(－1，－k)，
则r＝OP＝，
由sin α＝得＝，∴k＝－2.]
2．若α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是( )
A．sin B．cos
C．tan D．cos 2α
C [由α为第四象限角，得2kπ＋＜α＜2kπ＋2π(k∈Z)，故kπ＋＜＜kπ＋π(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，∈，
此时，是第二象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，∈，此时，是第四象限角．
故无论终边落在第二还是第四象限，tan ＜0恒成立．
又4kπ＋3π＜2α＜4kπ＋4π(k∈Z)．
故cos 2α有可能为正也有可能为负．]
3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.
－ [因为点A纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以点A横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.]
4．若0<α<2π，且sin α<，cos α>.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．
∪ [利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内，所以α的取值范围是∪.]
5．已知直线y＝x与圆x2＋y2＝1交于A，B两点， 点A在x轴的上方，O是坐标原点．
(1)求以射线OA为终边的角α的正弦值和余弦值；
(2)求以射线OB为终边的角β的正切值．
[解] (1)由
得或
∵点A在x轴上方，
∴点A，B的坐标分别为，.
∴sin α＝，cos α＝.
(2)由(1)得tan β＝＝1.
