1.2.2 同角三角函数关系
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝.(重点)
2.能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点)
通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
同角三角函数的基本关系
1．平方关系：sin2α＋cos2_α＝1.
2．商数关系：tan α＝.
思考：sin2α＋cos2β＝1恒成立吗？
[提示] 不一定．
1．思考辨析
(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．( )
(2)对任意角α，＝tan 都成立．( )
(3)若sin α＝，则cos α＝.( )
[解析] (1)√.符合同角三角函数的关系．
(2)×.等式＝tan 的条件是
即α≠π＋2kπ，k∈Z.
(3)×.因为α的范围不明确，故cos α＝±＝±.
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．已知α是第二象限角，且cos α＝－，则tan α＝________.
－2 [∵α是第二象限角，∴sin α＞0.
又sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝－2.]
3．已知tan α＝2，则＝________.
－ [由tan α＝2知cos α≠0，
所以＝＝－.]
利用同角基本关系式求值
【例1】 (1)已知sin α＝－，求cos α，tan α的值；
(2)已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos2α的值．
思路点拨：(1)
(2)先由已知条件求出tan α，再将式子化成关于tan α的形式，代入求解，也可直接代入，利用平方关系化简．
[解] (1)因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．
由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－2＝.
如果α是第三象限角，那么cos α＜0.
于是cos α＝－＝－，
从而tan α＝＝×＝.
如果α是第四象限角，那么cos α＝，tan α＝－.
(2)法一：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.
所以2sin αcos α－cos2α＝＝＝＝－1.
法二：由sin α＋2cos α＝0得2cos α＝－sin α，
所以2sin αcos α－cos2α＝－sin2α－cos2α＝－(sin2α＋cos2α)＝－1.
1．求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．
1．已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值．
[解] 法一：∵tan α＝－2<0，
∴α为第二或第四象限角，且sin α＝－2cos α，①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②消去sin α，得(－2cos α)2＋cos2α＝1，即cos2α＝；
当α为第二象限角时，cos α＝－，代入①得sin α＝；
当α为第四象限角时，cos α＝，代入①得sin α＝－.
法二：∵tan α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角．
由tan α＝，
两边分别平方，得tan2α＝，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴tan2α＋1＝＋1＝＝，
即cos2α＝.
当α为第二象限角时，cos α<0，
∴cos α＝－＝－＝－，
∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×＝.
当α为第四象限角时，cos α>0，
∴cos α＝＝＝，
∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×＝－.
三角函数式的化简、求值
【例2】 (1)化简：；
(2)若角α是第二象限角，化简：tan α.
思路点拨：(1)―→
(2)―→
[解] (1)原式＝
＝＝＝1.
(2)原式＝tan α＝tan α＝×，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝×＝×＝－1.
化简三角函数式的常用方法：
?1?切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.
?2?对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
?3?对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.
提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.
2．化简：(1)；
(2).
[解] (1)原式＝＝＝
＝＝1.
(2)原式＝＝＝cos θ.
三角函数式的证明
【例3】 求证：＝.
思路点拨：从左边利用“1＝sin2x＋cos2x”及平方差公式推右边便可．
[解] ∵(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x，
∴左边＝
＝
＝＝右边．
在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切?如：已知tan α，求关于sin α，cos α的齐次式的问题?；“1”的代换?1＝sin2α＋cos2α?；多项式运算技巧的运用?如因式分解、通分、整体代换等?；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用.
3．证明下列三角恒等式：
(1)＝；
(2)＝.
[证明] (1)左边＝＝＝＝.
右边＝＋＝＋＝.
∴左边＝右边，等式恒成立．
(2)左边＝
＝＝
＝＝
＝
＝
＝＝右边．
所以原等式成立．
“sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系
[探究问题]
1．已知sin α±cos α的值，能求sin αcos α的值吗？反之呢？
提示：设sin α±cos α＝m，则(sin α±cos α)2＝m2，
即1±2sin αcos α＝m2，所以sin αcos α＝±.
反之也可以，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，开方便可．
2．已知sin α＋cos α的值，如何求sin α－cos α或cos α－sin α的值？
提示：设sin α＋cos α＝t，则1＋2sin αcos α＝t2，
从而2sin αcos α＝t2－1，
∴1－2sin αcos α＝2－t2，
从而(sin α－cos α)2＝2－t2，
对上式开方便可得出“sin α－cos α”或“cos α－sin α”的值．
已知sin α＋cos α＝，且0＜α＜π.
求：(1)sin αcos α的值；
(2)求sin α－cos α的值．
思路点拨：
[解] (1)∵sin α＋cos α＝，
∴(sin α＋cos α)2＝，
∴1＋2sin αcos α＝，
即sin αcos α＝－.
(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α
＝1＋＝.
又∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0，
∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，
∴sin α－cos α＝.
(变条件)若本例中变为“已知cos αsin α＝”，那么cos α－sin α的值为多少？
[解] 因为cos αsin α＝，
所以cos α－sin α＝±
＝±＝±.
1．已知sin θ±cos θ求sin θcos θ，只需平方便可．
2．已知sin θcos θ求sin θ±cos θ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sin θ±cos θ的正负．
教师独具
1．本节课的重点是利用同角三角函数基本关系式求值以及sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用．难点是三角函数式的化简与证明．
2．要掌握sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的转换
(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；
(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；
(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.
3．要掌握同角三角函数基本关系式的三个应用
(1)利用同角三角函数的基本关系求值；
(2)sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用．
(3)三角函数式的化简与证明的方法．
4．本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求sin α、cos α的值时，易忽视对角α所处象限的讨论，造成sin α、cos α漏解或多解的错误．
1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A. B．－ C. D．－
B [sin α＝－，且α为第四象限角，
故cos α＝，
∴tan α＝－.]
2．已知tan α＝，则cos α－sin α等于________．
[由tan α＝，
得解得
∴cos α－sin α＝.]
3．若＝2，则tan α＝________.
1 [∵＝2，
∴＝2，
∴tan α＋1＝4tan α－2，
即3tan α＝3，∴tan α＝1.]
4．求证：＝.
[证明] ∵右边＝
＝
＝
＝
＝
＝左边，∴原等式成立．
课件50张PPT。第1章 三角函数1.2 任意角的三角函数
1.2.2 同角三角函数关系2345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(四) 同角三角函数关系
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若sin θ＝－，tan θ＜0，则cos θ＝( )
A. B. C．－ D.或－
B [∵sin θ＝－＜0，tan θ＜0.
∴θ为第四象限角，
∴cos θ＝＝.]
2．(1＋tan2α)·cos2α＝( )
A．1 B．1＋sin2α
C．cos2α＋sin2α D．1＋cos2α
A [原式＝·cos2α
＝cos2α＋sin2α＝1.]
3．已知sin α＝，则sin4α－cos4α＝( )
A. B．－ C. D．－
D [∵sin α＝，
∴sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)
＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1
＝2×2－1
＝－.]
4．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝( )
A．－ B．－ C．－ D．－
C [∵tan α＝＝－，∴cos α＝－2sin α.
又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1，
又α为第二象限角，∴cos α＜0，
∴cos α＝－.]
5．已知＝5，则sin2α－sin αcos α＝( )
A. B．－ C. D．－
A [由题意知cos α≠0，则由＝5，得＝5，即tan α＝2.所以sin2α－sin αcos α＝＝＝.]
二、填空题
6．化简：＝________.
1 [原式＝＝＝＝1.]
7．若sin α＋cos α＝，则tan α＋的值为________．
2 [tan α＋＝＋＝.
又sin α＋cos α＝，
∴sin αcos α＝，
∴tan α＋＝2.]
8．已知0<α<π，sin αcos α＝－，则sin α－cos α的值等于________．
[∵sin αcos α<0,0<α<π，
∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，
∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
∴sin α－cos α＝.]
三、解答题
9．已知＝，α∈.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
[解] (1)由＝，
得3tan2α－2tan α－1＝0，
即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，
解得tan α＝－或tan α＝1.
因为α∈，所以tan α<0，
所以tan α＝－.
(2)由(1)，得tan α＝－，所以＝＝＝.
10．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
[证明] 因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，
所以＋1＝2，所以＝，
所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1.
[等级过关练]
1．若角α的终边在直线x＋y＝0上，则＋＝( )
A．－ B．0 C. D.
B [∵＋＝＋.
又角α的终边落在x＋y＝0上，故角α的终边在第二、四象限．
当α在第二象限时，
原式＝＋＝0，
当α在第四象限时，原式＝＋＝0.]
2．已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两根，则实数a的值为________．
A. B. C．－ D．－
C [由Δ≥0知，a≤.
又
由①式两边平方得：sin αcos α＝－，
所以＝－，所以a＝－.]
3．在△ABC中，sin A＝，则角A＝________.
[由题意知cos A>0，即A为锐角．
将sin A＝两边平方得2sin2A＝3cos A.
∴2cos2A＋3cos A－2＝0，
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)，A＝.]
4．化简：cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α＝________.
1 [cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α＝cos2α(cos2α＋sin2α)＋sin2α＝cos2α＋sin2α＝1.]
5．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：
(1)m的值；
(2)＋的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
[解] (1)由根与系数的关系可知，
sin θ＋cos θ＝，①
sin θ·cos θ＝m.②
将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝，
所以sin θ·cos θ＝，代入②得m＝.
(2)＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝.
(3)因为已求得m＝，所以原方程化为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝.
所以或
又因为θ∈(0，π)，所以θ＝或.
