1.2.3 三角函数的诱导公式
第1课时 三角函数的诱导公式(一～四)
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一～四．(难点)
2.掌握诱导公式一～四，会运用诱导公式化简、求值与证明．(重点)
通过学习本节内容提升学生的数学运算核心素养.
一、诱导公式(一)
终边相同的角的诱导公式(公式一)：
sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z)；
cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z)；
tan(α＋2kπ)＝tan_α(k∈Z)．
思考1：终边相同角的三角函数值之间有什么关系？
[提示] 相等．
二、诱导公式(二)
终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二)：
sin(－α)＝－sin_α；
cos(－α)＝cos_α；
tan(－α)＝－tan_α.
思考2：角－α的终边与单位圆的交点与角α的终边与单位圆的交点有何关系？
[提示] 关于x轴对称．
三、诱导公式(三)
终边关于y轴对称的角的诱导公式(公式三)：
sin(π－α)＝sin_α；
cos(π－α)＝－cos_α；
tan(π－α)＝－tan_α.
四、诱导公式(四)
终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)：
sin(π＋α)＝－sin_α；
cos(π＋α)＝－cos_α；
tan(π＋α)＝tan_α.
1．(1)sin ＝________；(2)cos＝________；
(3)tan＝________.
(1) (2) (3)1 [(1)sin＝sin
＝sin＝.
(2)cos＝cos＝cos＝.
(3)tan＝tan＝tan＝1.]
2．(1)sin＝________；(2)cos 330°＝________；
(3)tan 690°＝________.
(1)－ (2) (3)－ [(1)sin＝－sin＝－.
(2)cos 330°＝cos(360°－30°)＝cos(－30°)＝cos 30°＝.
(3)tan 690°＝tan[2×360°＋(－30°)]
＝tan(－30°)
＝－tan 30°
＝－.]
3．(1)sin＝________；(2)cosπ＝________；
(3)tan 1 560°＝________.
(1) (2)－ (3)－ [(1)sin＝sin＝sin＝.
(2)cos＝cos＝－cos＝－.
(3)tan 1560°＝tan(4×360°＋120°)＝tan 120°＝tan(180°－60°)
＝－tan 60°＝－.]
4．(1)sin 225°＝________；(2)cos＝________；
(3)tan ＝________.
(1)－ (2)－ (3) [(1)sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－.
(2)cos＝cos＝－cos＝－.
(3)tan＝tan
＝tan＝tan＝.]
给角求值
【例1】 求下列各三角函数式的值：
(1)sin(－660°)；(2)cos ；(3)2cos 660°＋sin 630°；
(4)tan ·sin.
思路点拨：利用诱导公式先把任意角的三角函数化为锐角三角函数，再求值．
[解] (1)因为－660°＝－2×360°＋60°，
所以sin(－660°)＝sin 60°＝.
(2)因为＝6π＋，所以cos ＝cos ＝－.
(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)
＝2cos 60°－sin 90°＝2×－1＝0.
(4)tan ·sin
＝tan·sin
＝tan ·sin ＝×＝.
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：
1．求下列各三角函数式的值：
(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．
[解] (1)sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)
＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)
＝－sin 60°＝－.
(2)cos＝cos＝cos
＝－cos＝－.
(3)tan(－945°)＝－tan 945°
＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°
＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
化简求值
【例2】 化简：(1)；
(2).
思路点拨：利用诱导公式一，二，三，四将函数值化为角α的三角函数值或锐角的三角函数值，再约分化简．
[解] (1)＝＝＝＝1.
(2)原式＝
＝＝＝－1.
三角函数式的化简方法：
?1?利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
?2?常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.
?3?注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝
2.(k∈Z)．
[解] 当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝
＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝
＝－1.综上，原式＝－1.
给值求值问题
[探究问题]
1．“α－15°”与“165°＋α”间存在怎样的关系？你能用“α－15°”表示“165°＋α”吗？
提示：由165°＋α－(α－15°)＝180°可知165°＋α＝180°＋(α－15°)．
2．若tan(α－15°)＝－1，则tan(165°＋α)等于多少？
提示：由探究1可知tan(165°＋α)＝tan[180°＋(α－15°)]＝tan(α－15°)＝－1.
【例3】 求值．
(1)已知sin＝－，求sin的值；
(2)已知cos＝，求cos的值．
思路点拨：(1)－＝2π；
(2)－＝π.
[解] (1)∵－＝2π，
∴sin＝sin
＝sin＝－.
(2)∵－＝π，
∴cos＝cos
＝－cos＝－.
1．(变条件)本例(1)条件变为“已知sin＝”，求sin的值．
[解] ∵－＝6π，
∴sin＝sin
＝sin＝.
2．(变结论)本例(2)已知条件不变，求cos的值．
[解] ∵－＝－π，
∴cos＝cos
＝cos
＝－cos＝－.
对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.
教师独具
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π之间的角求值
公式二
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为0～之间的角求值
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则角θ的终边落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三角限 D．第四象限
B [由sin(θ＋π)＝－sin θ<0?sin θ>0，cos(θ－π)＝－cos θ>0?cos θ<0，由可知θ是第二象限角．]
2．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( )
A．－2－ B．－2＋
C．2－ D．2＋
[答案] D
3．代数式sin 120°cos 210°的值为________．
－ [由诱导公式可得，sin 120°cos 210°＝sin 60°×(－cos 30°)＝－×＝－.]
4．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，求cos(α－2π)的值．
[解] ∵sin(π＋α)＝，
∴sin α＝－，
又α是第四象限角，
∴cos α＝＝＝，
∴cos(α－2π)＝cos α＝.
课件47张PPT。第1章 三角函数1.2 任意角的三角函数
1.2.3 三角函数的诱导公式
第1课时 三角函数的诱导公式(一～四)点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 三角函数的诱导公式(五～六)
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.能借助单位圆中的三角函数定义推导诱导公式五、六．(难点)
2.掌握六组诱导公式，能灵活运用诱导公式解决三角函数式的求值、化简、证明等问题．(重点)
通过学习本节内容提升学生的数学运算核心素养.
一、诱导公式五
终边关于直线y＝x对称的角的诱导公式(公式五)：
sin＝cos_α；
cos＝sin_α.
思考1：角与角的三角函数值有什么关系？
[提示] sin ＝cos ＝，cos ＝sin ＝.
思考2：角α的终边与角－α的终边有怎样的对称关系？
[提示] 关于直线y＝x对称．
二、诱导公式六
＋α型诱导公式(公式六)：
sin＝cos_α；
cos＝－sin_α.
1．思考辨析
(1)诱导公式中角α是任意角．( )
(2)sin(90°＋α)＝－cos α.( )
(3)cos＝－sin α.( )
[解析] (1)×.如tan(π＋α)＝tan α中，α＝不成立．
(2)×.sin(90°＋α)＝cos α.
(3)√.cos＝cos＝cos＝－sin α.
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．(1)若sin α＝，则cos＝________；
(2)若cos α＝，则sin＝________.
(1) (2) [(1)cos＝sin α＝.
(2)sin＝cos α＝.]
给值求值
【例1】 (1)已知sin＝，则cos的值是________．
(2)已知sin＝，则cos的值是______．
(3)已知sin(π＋A)＝－，则cos的值是______．
思路点拨：从已知角和待求角间的关系入手，活用诱导公式求值．
(1) (2)－ (3)－ [(1)∵＋＝，
∴＋α＝－，
∴cos＝cos
＝sin＝.
(2)∵sin＝，∴sin＝－.
又∵＋＝，
∴cos＝cos＝sin＝－.
(3)sin(π＋A)＝－sin A＝－，
cos＝cos
＝－cos＝－sin A＝－.]
1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．
2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α，＋α；＋α，－α；＋α，－α等．常见的互补关系有＋θ，－θ；＋θ，－θ等．
1．已知cos＝，求sin的值．
[解] ∵α＋＝＋，
∴sin＝sin
＝cos
＝.
利用诱导公式化简求值
【例2】 已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限的角，且cos＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
思路点拨：利用诱导公式直接化简得(1)，(3)；结合同角三角函数关系求(2)．
[解] (1)f(α)＝＝－cos α.
(2)∵cos＝－sin α，
∴sin α＝－，
又α是第三象限的角，
∴cos α＝－＝－，
∴f(α)＝.
(3)f＝－cos
＝－cos
＝－cos＝－cos ＝－.
用诱导公式化简求值的方法：
?1?对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.
?2?对于kπ±α和这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名.即“奇变偶不变，符号看象限”.
2．已知cos＝，求＋的值．
[解] 原式＝＋＝－sin α－sin α
＝－2sin α.
又cos＝，
所以－sin α＝.
所以原式＝－2sin α＝.
诱导公式在三角形中的应用
【例3】 在△ABC中，sin＝sin，试判断△ABC的形状．
思路点拨：
―→
[解] ∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
又∵sin＝sin，
∴sin＝sin，
∴sin＝sin，
∴cos C＝cos B.
又B，C为△ABC的内角，∴C＝B，
∴△ABC为等腰三角形．
1．涉及三角形中的化简求值或证明问题，常以“A＋B＋C＝π”为切入点，充分结合三角函数的诱导公式求解．
2．sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C＝tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos；cos＝sin.
3．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值．
[解] (1)f(α)＝＝cos α.
(2)因为f(A)＝cos A＝，
又A为△ABC的内角，
所以由平方关系，得sin A＝＝，
所以tan A＝＝，
所以tan A－sin A＝－＝.
教师独具
1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题．
2．要掌握诱导公式的三个应用
(1)利用诱导公式解决化简求值问题．
(2)利用诱导公式解决条件求值问题．
(3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题．
3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧
＋α＝－?＋＝，＋α＝－?＋＝，＋α－＝等.
1．若cos 40°＝a，则sin 50°＝( )
A．－a B．a C. D．－
B [∵sin 50°＝cos 40°，∴sin 50°＝a.]
2．若cos(π＋α)＝，则sin＝________.
－ [∵cos(π＋α)＝－cos α＝，
∴cos α＝－，
∴sin＝cos α＝－.]
3．已知sin α＝，则cos＝________.
[cos＝sin α＝.]
4．若sin α＝，求＋的值．
[解] ＋
＝＋
＝＋
＝＋＝.
∵sin α＝，
∴＝10.
即原式＝10.
课件38张PPT。第1章 三角函数1.2 任意角的三角函数
1.2.3 三角函数的诱导公式
第2课时 三角函数的诱导公式(五～六)点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五) 三角函数的诱导公式(一～四)
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．sin 600°＋tan 240°的值是( )
A．－ B. C. D.
D [sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋180°＋60°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝－＋＝.]
2．已知α为第二象限角，且sin α＝，则tan(π＋α)＝( )
A．－ B. C．－ D.
A [因为α为第二象限角，所以cos α＝－＝－，所以tan(π＋α)＝tan α＝＝－.]
3．已知α∈，tan(π－α)＝－，则sin α＝( )
A. B. C. D.
D [由于tan(π－α)＝－tan α＝－，则tan α＝，
解方程组
得sin α＝±，又α∈，所以sin α＞0，
所以sin α＝.]
4．已知sin＝，则sin＝( )
A. B．－ C. D．－
C [sin＝sin
＝sin＝.]
5．tan 300°＋sin 450°＝( )
A．－1－ B．1－ C．－1＋ D．1＋
B [tan 300°＋sin 450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)
＝tan(－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋sin 90°＝1－.]
二、填空题
6.＝________.
sin 2－cos 2 [
＝＝|sin 2－cos 2|，
又∵<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0，
∴原式＝sin 2－cos 2.]
7．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2 009)＝5，则f(2 010)等于________．
－5 [∵f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)＝－asin α－bcos β＝5，
∴asin α＋bcos β＝－5.
∴f(2 010)＝asin α＋bcos β＝－5.]
8．若cos 100°＝k，则tan 80°的值为________．
－ [cos 80°＝－cos 100°＝－k，且k＜0.于是sin 80°＝＝，从而tan 80°＝－.]
三、解答题
9．若cos(α－π)＝－，
求的值．
[解] 原式＝
＝＝
＝－tan α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝，
sin α＝＝，
∴tan α＝＝，∴原式＝－.
当α为第四象限角时，cos α＝，
sin α＝－＝－，
∴tan α＝＝－，∴原式＝.
综上，原式＝±.
10．已知＝3＋2，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
[解] 由＝3＋2，
得(4＋2)tan θ＝2＋2，
所以tan θ＝＝，
故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·
＝(cos2θ＋sin θcos θ＋2sin2θ)·
＝1＋tan θ＋2tan2θ＝1＋＋2×2＝2＋.
[等级过关练]
1．已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sin αcos α的值为( )
A. B．－ C. D．－
C [∵sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，即
sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3，
∴sin αcos α＝＝＝.]
2．已知f(x)＝则f＋f的值为( )
A．－2 B．2 C．－3 D．3
A [因为f＝sin＝sin
＝sin ＝；
f＝f－1＝f－2＝sin－2
＝－－2＝－.
所以f＋f＝－2.]
3．化简：sin(－α)cos(π＋α)tan(2π＋α)＝________.
sin2α [原式＝(－sin α)·(－cos α)·tan α
＝sin2α.]
4．已知α∈(0，π)，若cos(－α)－sin(－α)＝－，则tan α＝________.
－ [cos(－α)－sin(－α)＝cos α＋sin α＝－，①
∴(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－<0，
又∵sin α>0，∴cos α<0，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
∴sin α－cos α＝，②
由①②得sin α＝，cos α＝－，
∴tan α＝－.]
5．已知tan α，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，且3π＜α＜，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值．
[解] 因为tan α，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，
所以tan α·＝×(3k2－13)＝1，可得k2＝.
因为3π＜α＜，所以tan α＞0，
sin α＜0，cos α＜0，
又tan α＋＝－＝k，
所以k＞0，故k＝，
所以tan α＋＝＋＝＝，
所以sin αcos α＝，
所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α
＝1＋2×
＝.
因为cos α＋sin α＜0，
所以cos α＋sin α＝－，
所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)
＝cos α＋sin α＝－.
课时分层作业(六) 三角函数的诱导公式(五～六)
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．如果cos α＝，且α是第四象限角，那么cosα＋＝( )
A. B．－
C. D．－
C [由已知得，sin α＝－＝－，
所以cos＝－sin α＝－＝.]
2．已知角α的终边经过点P0(－3，－4)，则cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
B [易知|OP0|＝5，所以sin α＝＝－，
所以cos＝sin α＝－.]
3．已知cos(75°＋α)＝且－180°<α<－90°，则cos(15°－α)＝( )
A. B．－
C. D．－
D [因为cos(75°＋α)＝且－180°<α<－90°，
所以sin(75°＋α)＝－，
故cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝－.]
4．若已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A. B.
C．－ D．－
B [sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)
＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°
＝＝.]
5．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是( )
A．1 B.
C. D.
A [∵(A＋45°)＋(45°－A)＝90°，∴sin(45°－A)
＝cos(45°＋A)，
∴sin2(A－45°)＝sin2(45°－A)＝cos2(45°＋A)，
∴sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)＝1.]
二、填空题
6．若cos＋sin(π＋θ)＝－m，则cos＋2sin(6π－θ)的值是________．
－ [由已知条件知(－sin θ)＋(－sin θ)＝－m，
∴sin θ＝，
cos＋2sin(6π－θ)＝(－sin θ)＋2·(－sin θ)＝－3sin θ＝－.]
7．已知tan θ＝2，则＝________.
－2 [＝
＝＝＝＝－2.]
8．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cos A＝－cos(π－B)，则C＝________.
[由已知cos A＝3sin A，∴tan A＝，
又∵A∈(0，π)∴A＝.
又cos A＝－·(－cos B)＝cos B，由cos A＝知cos B＝，∴B＝，
∴C＝π－(A＋B)＝.]
三、解答题
9．已知sin(5π－θ)＋sin＝，求sin4－θ＋cos4的值．
[解] ∵sin(5π－θ)＋sin
＝sin(π－θ)＋sin＝sin θ＋cos θ＝，
∴sin θcos θ＝[(sin θ＋cos θ)2－1]
＝＝，
∴sin4＋cos4
＝cos4θ＋sin4θ
＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－2×2＝.
10．已知cos＝2sin，
求的值．
[解] ∵cos＝2sin，
∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2，
∴
＝
＝＝
＝＝
＝＝＝－.
[等级过关练]
1．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos 30°)＝( )
A. B. C. D.
B [f(cos 30°)＝f(sin 60°)＝3－cos 120°＝3＋cos 60°＝或f(cos 30°)＝f(sin 120°)＝3－cos 240°＝3－cos 120°＝.]
2．已知cos＝－，α是第二象限角，则sinα－＝( )
A．－ B. C．－ D.
C [∵cos＝－sin α＝－，∴sin α＝.
又α是第二象限角，∴cos α＝－，
∴sin＝sin＝sin
＝cos α＝－.]
3．已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin 3，－2cos 3)，则角α的弧度数为________．
3－ [∵3∈，
∴sin 3>0，cos 3<0.即α的终边在第一象限．
∴cos α＝cos＝cos.
又∵3－∈，∴α＝3－.]
4．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使得等式sin(3π－α)＝－cos与cos(－α)＝－sin同时成立．
[解] 存在．所需成立的两个等式可化为sin α＝sin β，cos α＝cos β，
两式两边分别平方相加得：
sin2α＋3cos2α＝2，
得2cos2α＝1，所以cos2α＝.
又因为α∈，所以α＝或－.
当α＝时，由cos α＝cos β，得cos β＝，
又β∈(0，π)，所以β＝；
当α＝－时，由sin α＝sin β，得sin β＝－，
而β∈(0，π)，所以无解．
综上得存在α＝，β＝使两等式同时成立.
