1.3 三角函数的图象和性质
1.3.1 三角函数的周期性
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.理解周期函数的定义．(难点)
2.知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．(重点)
3.会求函数y＝sin(ωx＋φ)和y＝cos(ωx＋φ)的周期．(重点)
通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
一、周期函数的定义
1．周期函数的定义：
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
2．最小正周期：
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．正弦函数、余弦函数的周期：
正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.
思考1：单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．
[提示] 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sin x．故正弦函数、余弦函数也具有周期性．
思考2：所有的周期函数都有最小正周期吗？
[提示] 并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．
二、正、余弦函数的周期
函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期：
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝.
思考3：6π是函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？
[提示] 是．
1．思考辨析
(1)周期函数都一定有最小正周期．( )
(2)周期函数的周期只有唯一一个．( )
(3)周期函数的周期可以有无数多个．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．函数y＝sin的周期是________．
2 [T＝＝2.]
3．函数f(x)＝－2cos(4x＋30°)的周期是________．
[T＝＝.]
求三角函数的周期
【例1】 求下列函数的最小正周期．
(1)f(x)＝2sin；
(2)f(x)＝2cos；
(3)y＝|sin x|；
(4)f(x)＝－2cos(a≠0)．
思路点拨：利用周期函数的定义或直接利用周期公式求解．
[解] (1)T＝＝6π，∴最小正周期为6π.
(2)T＝＝π，∴最小正周期为.
(3)由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π.
验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|，
∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的最小正周期是π.
(4)T＝＝，∴最小正周期为.
利用公式求y＝Asin?ωx＋φ?或y＝Acos?ωx＋φ?的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为
已知f(x)＝cos的最小正周期为，则ω＝______.
±10 [由题意可知＝，ω＝±10.]
周期性的应用
[探究问题]
1．若函数f(x)满足f(x＋a)＝(f(x)≠0，a＞0)，则f(x)是否是周期函数？若是，求其最小正周期．
提示：∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝f(x)，
∴T＝2a，即f(x)是周期函数，且最小正周期为2a.
2．若f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
提示：∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)
＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴f(x)的周期为2a.
【例2】 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值．
思路点拨：
[解] ∵f(x)的最小正周期是π，
∴f＝f＝f.
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin＝，
∴f＝.
1．(变条件)将本例中的条件“偶函数”改为“奇函数”，其余不变，求f的值．
[解] ∵f(x)的最小正周期为π，
∴f＝f＝f，
∵f(x)是R上的奇函数，∴f＝－f＝－sin ＝－，∴f＝－.
2．(变结论)本例条件不变，求f的值．
[解] ∵f(x)的最小正周期为π，
∴f＝f＝f，
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin ＝.
∴f＝.
函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解.
教师独具
1．本节课重点是理解三角函数的周期性，难点是求正弦函数、余弦函数的周期．
本节课重点掌握求三角函数周期的方法
2．(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.
(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解.
1．函数y＝3sin的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
C [T＝＝π.]
2．若函数y＝cos(ω＞0)的最小正周期是π，则ω＝________.
2 [T＝＝π，ω＝±2.∵ω＞0，∴ω＝2.]
3．若f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(4)＝________.
2 [f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2.]
4．若f(x)是以为周期的奇函数，且f＝1，求f的值．
[解] ∵f(x)是以为周期的奇函数，
∴f＝－f
＝－f＝－f
＝f＝f＝－f，
又∵f＝1，
∴f＝－f＝－1.
课件34张PPT。第1章 三角函数1.3 三角函数的图象和性质
1.3.1 三角函数的周期性23456789101112131415161718192021222324252627282930313233点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(七) 三角函数的周期性
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos(－4x)．
D [A，T＝＝4π；B，T＝＝π；
C，T＝＝8π；
D，T＝＝.]
2．下列是定义在R上的四个函数的图象的一部分，其中不是周期函数的是( )
D [根据周期函数图象特征可知A、B、C都是周期函数；D不是周期函数．]
3．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝( )
A．1 B．－1 C．3 D．－3
B [∵f(x＋5)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，
∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，
∴f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
∴f(3)－f(4)＝－2＋1＝－1.]
4．函数y＝sin的周期不大于4，则正整数k的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
C [由T＝得T＝＝.
∵T≤4，∴≤4，∴k≥π，
∴正整数k的最小值为4.]
5．设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈时，f(x)＝sin x；当x∈时，f(x)＝cos x，则f＝( )
A．－ B. C. D．－
A [∵T＝π，x∈时，f(x)＝cos x，
∴f＝f＝f＝cos
＝cos＝－cos ＝－.]
二、填空题
6．对于任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的一个周期为________．
2(答案不唯一) [由周期函数的定义知f(x)的一个周期为2.]
7．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．
6 [T＝，又T∈(1,3)，∴1<<3，又ω∈N*，则ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为6.]
8．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2 020)＝________.
2 [∵f(x＋3)＝，
∴f(x＋6)＝＝f(x)，∴f(x)的周期T＝6，
∴f(2 020)＝f(336×6＋4)＝f(4)．
又f(4)＝f(1＋3)＝＝2，
∴f(2 020)＝2.]
三、解答题
9．已知函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数．
(1)求f(4)的值；
(2)若－2≤x≤－1时，f(x)＝sin＋1，求2≤x≤3时，f(x)的解析式．
[解] (1)∵函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0.
(2)设2≤x≤3，则－2≤－4＋x≤－1，
∴f(－4＋x)＝sin＋1＝sinx＋1，
∴f(x)＝f(－4＋x)＝sinx＋1.
10．若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
[解] (1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.
(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动．
(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm.
[等级过关练]
1．已知函数f(x)＝sin ，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝( )
A．1 B．－1 C. D．－
C [f(x)的周期T＝＝6，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝sin ＋sin ＋sin π＋sin ＋sin ＋sin 2π＝0.
原式＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(1)＋f(2)＝.]
2．设函数f(x)＝3sin，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f＝，则sin α的值为( )
A. B.或－
C. D.或－
D [∵f(x)的最小正周期为，ω>0，∴ω＝＝4.
∴f(x)＝3sin.
由f＝3sin＝3cos α＝，
∴cos α＝.
∴sin α＝±＝±.]
3．函数y＝2cos(ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________.
－ [由周期公式可知4π＝?|ω|＝，由ω＜0，可知ω＝－.]
4．欲使函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值 ，则ω的最小值为________．
[函数y＝Asin ωx的最小正周期为，因为在每一个周期内， 函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y＝Asin ωx在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则y在区间[0,1]内至少含49个周期，即解得ω≥，所以ω的最小值为.]
5．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．
[解] (1)证明：∵f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝－
＝－＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．
(2)∵4是f(x)的一个周期，
∴f(5)＝f(1)＝－5，
∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)
＝－＝－＝.
