1.3.2 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦、余弦函数的图象
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.了解正弦函数、余弦函数的图象．
2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．(重点)
3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质．(重点、难点)
通过学习本节内容培养学生的直观想象数学核心素养.
正弦曲线、余弦曲线
(1)正弦曲线、余弦曲线
正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫正弦曲线和余弦曲线(如图)．
(2)“五点法”画图
画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
(3)正弦、余弦曲线的联系
依据诱导公式cos x＝sin，要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可．
思考：作正、余弦函数的图象时，函数自变量能用角度 制吗？
[提示] 作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．
1．思考辨析
(1)正弦曲线的图象向左右无限延展．( )
(2)y＝sin x与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同．( )
(3)函数y＝cos x的图象与y轴只有一个交点．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是________．
[答案] 0，，，，π
3．不等式cos x＜0，x∈[0,2π]的解集为________．
[答案]
利用“五点法”作简图
【例1】 用“五点法”作出下列函数的图象．
(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]；
(3)y＝－1－cos x，x∈[0,2π]．
思路点拨：先分别取出相应函数在[0,2π]上的五个关键点，再描点连线．
[解] (1)列表如下：
x
0
π
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
sin x－1
－1
0
－1
－2
－1
描点连线，如图①所示．
①
(2)列表如下：
x
0
π
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
2＋cos x
3
2
1
2
3
描点连线，如图②所示．
②
(3)列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
－1－cos x
－2
－1
0
－1
－2
描点作图，如图③所示：
③
用五点法画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤如下
(1)列表：
x
0
π
2π
sin x(或cos x)
y
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，，(π，y)，，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连结起来，不要用线段进行连结．
提醒：对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
1．用“五点法”作出函数y＝3＋2cos x在一个周期内的图象．
[解] 按五个关键点列表；描点并将它们用光滑的曲线连结起来．
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
3＋2cos x
5
3
1
3
5
利用正、余弦曲线解三角不等式
【例2】 利用正弦曲线，求满足＜sin x≤的x的集合．
思路点拨：作出正弦函数y＝sin x在一个周期内的图象，然后借助图象求解．
[解] 首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示，
作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和；作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.观察图象可知，在[0,2π]上，当＜x≤，或≤x＜时，不等式＜sin x≤成立，
所以＜sin x≤的解集为.
利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤：
?1?画出正弦函数y＝sin x或余弦函数y＝cos x在[0，2π]上的图象；
?2?写出适合不等式的在区间[0，2π]上的解集；
?3?把此解集推广到整个定义域上去.
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝.
[解] (1)要使y＝有意义，则必须满足2sin x＋1≥0，即sin x≥－.
结合正弦曲线或三角函数线，
如图所示，知函数y＝的定义域为
.
(2)要使函数有意义，必须满足sin x－cos x≥0.
在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的图象，知所求定义域为
正、余弦函数图象的应用
[探究问题]
1．你能借助图象的变换作出y＝|sin x|的图象吗？试画出其图象．
提示：先画出y＝sin x的图象，然后将其x轴下方的对称到x轴的上方(x轴上方的保持不变)即可得到y＝|sin x|的图象，如图．
2．方程|sin x|＝a，a∈R在[0,2π]上有几解？
提示：当a＜0时，方程|sin x|＝a无解；
当a＝0时，方程|sin x|＝a有三解；
当0＜a＜1时，方程|sin x|＝a有四解；
当a＝1时，方程|sin x|＝a有两解；
当a＞1时，方程|sin x|＝a无解．
【例3】 在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．
思路点拨：―→―→
―→
[解] 建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象．
描出点，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连结得到y＝lg x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．
利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数?或两函数图象的交点个数?求参数的范围问题.
3．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
[解] f(x)＝的图象如图所示，故由图象知1＜k＜3.
教师独具
1．本节课的重点是“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象，难点是图象的应用．
2．本节课要重点掌握正、余弦函数图象的三个问题
(1)正、余弦函数图象的画法．
(2)利用正、余弦函数的图象解不等式．
(3)正、余弦曲线与其他曲线的交点问题．
3．本节课要牢记正、余弦函数图象中五点的确定
y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与x轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中，y＝sin x，x∈[0,2π]与x轴有三个交点：(0,0)，(π，0)，(2π，0)，图象上有一个最高点，一个最低点；y＝cos x，x∈[0,2π]与x轴有两个交点：，，图象上有两个最高点：(0,1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)．
1．用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是________(填序号)．
①(π，－1)；②(0,2)；③；④(π，4)；⑤.
①⑤ [由五点作图法知五个关键点分别为(0,2)，，(π，4)，，(2π，2)，故①⑤不是关键点．]
2．函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象关于________对称．
x轴 [在同一坐标系中画出函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象(略)，可知它们关于x轴对称．]
3．sin x＞0，x∈[0,2π]的解集是________．
(0，π) [如图所示是y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，
由图可知满足sin x＞0，x∈[0,2π]的解集是(0，π)．]
4．用“五点法”作出y＝(0≤x≤2π)的简图．
[解] y＝＝|cos x|(x∈[0,2π])．
列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
|cos x|
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
描点作图，如图．
课件45张PPT。第1章 三角函数1.3 三角函数的图象和性质
1.3.2 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦、余弦函数的图象点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 正弦、余弦的图象与性质
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)
2．掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)
3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易错点)
通过学习本节内容提升学生的直观想象、数学运算核心素养.
正弦函数、余弦函数的图象与性质
函数
正弦函数y＝sin x，x∈R
余弦函数y＝cos x，x∈R
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
最值
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，取得最大值1；
当x＝2kπ－(k∈Z)时，取得最小值－1
当x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，取得最小值－1
周期性
周期函数，T＝2π
周期函数，T＝2π
奇偶性
奇函数，图象关于原点对称
偶函数，图象关于y轴对称
单调性
在(k∈Z)上是增函数；
在2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)上是减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；
在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上是减函数
对称性
关于x＝kπ＋(k∈Z)成轴对称，关于(kπ，0)(k∈Z)成中心对称
关于x＝kπ(k∈Z)成轴对称，关于kπ＋，0(k∈Z)成中心对称
1．思考辨析
(1)y＝sin是奇函数．( )
(2)函数y＝3sin 2x是周期为π的奇函数．( )
(3)y＝sin x在上单调递减．( )
(4)y＝cos x的值域为(－1,1)．( )
[解析] (1)×.∵y＝sin＝cos x，∴是偶函数．
(2)√.T＝＝π.f(－x)＝3sin(－2x)＝－3sin 2x，故为奇函数．
(3)×.y＝sin x在上单调递增．
(4)×.y＝cos x的值域为[－1,1]．
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．函数y＝sin x＋1的值域是________．
[由sin x∈[－1,1]，得sin x∈，
所以sin x＋1∈.]
3．函数y＝sin(2x＋π)的对称中心是________．
，k∈Z [y＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，
由2x＝kπ得x＝(k∈Z)，
∴y＝sin(2x＋π)的对称中心为，k∈Z.]
求三角函数的单调区间
【例1】 求下列函数的单调递增区间．
(1)y＝2cos；
(2)y＝logsin.
思路点拨：(1)先利用诱导公式将x的系数化为正数，再确定所求的单调区间后利用整体代换的方法求解．
(2)先由sin>0，得到相应x的取值范围，然后借助于复合函数的单调性分析．
[解] (1)因为y＝2cos＝2cos，
由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以y＝2cos的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由sin>0得2kπ要求原函数的单调递增区间，只需求函数y＝sin的单调递减区间，
令＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，②
由①②可知＋2kπ≤x<π＋2kπ(k∈Z)，
所以原函数的单调递增区间为(k∈Z)．
求函数y＝Asin?ωx＋φ??A>0，ω≠0?的单调区间的一般步骤：
?1?当ω>0时，把“ωx＋φ”看成一个整体，由≤2kπ＋解出x的范围，即为函数递增区间；由＋解出x的范围，即为函数递减区间.
?2?当ω<0时，可先用诱导公式转化为y＝－sin?－ωx－φ?，则y＝sin?－ωx－φ?的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.
余弦函数y＝Acos?ωx＋φ??A>0，ω≠0?的单调性讨论同上.
提醒：要注意k∈Z这一条件不能省略.
1.求函数y＝2sin，x∈[－π，0]的单调减区间．
[解] 当2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋时，函数单调递减，
解得：kπ＋≤x≤kπ＋.
∵x∈[－π，0]，
∴取k＝－1，此时－π＋≤x≤－π＋，
即－≤x≤－.
故函数y＝2sin，x∈[－π，0]的单调减区间为.
比较三角函数值的大小
【例2】 用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 194°与cos 160°；
(2)cos ，sin ，－cos ；
(3)sin与sin.
思路点拨：先把异名函数同名化，再把不同单调区间内的角化为同一单调区间内，最后借助单调性比较大小．
[解] (1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 160°＝cos(90°＋70°)＝－sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°，函数y＝sin x在区间(0°，90°)内是增函数，
∴sin 14°－sin 70°，
∴sin 194°>cos 160°.
(2)sin ＝cos，－cos ＝cos，
∵0<π－<－<<π，
函数y＝cos x在(0，π)上是减函数，
∴cos>cos>cos ，
即－cos >sin >cos .
(3)cos ＝cos＝sin .
∵0<<<，函数y＝sin x在内是增函数，
∴sin ∴cos 而0函数y＝sin x在(0,1)内是增函数，
∴sin比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较.注意，有些时候，可以先用式子的符号进行分类比较大小.
2．比较下列各组数值的大小：
(1)sin 2与cos 1；(2)sin与sin.
[解] (1)因为cos 1＝sin，
sin 2＝sin(π－2)，
又0<－1<π－2<且y＝sin x在上是递增的，
从而sin即cos 1(2)∵sin
＝sin＝sin，
sin＝sin＝sin ，
∵y＝sin x在上是增函数，
∴sin与三角函数有关的值域问题
[探究问题]
1．如何求函数y＝sin x，x∈上的值域？
提示：借助函数y＝sin x在上的单调性求解．
因为x∈时，y＝sin x是单调递增函数，
所以sin≤sin x≤sin，即－≤sin x≤，
∴其值域为.
2．如何求形如y＝asin x＋b(a，b≠0)的值域？
提示：令t＝sin x，则t∈[－1,1]，从而转化为y＝at＋b，t∈[－1,1]型的值域问题．
3．如何求形如y＝asin2x＋bsin x＋c的值域？
提示：令sin x＝t，t∈[－1,1]，从而y＝at2＋bt＋c，t∈[－1,1]，即转化为给定区间的二次函数值域问题．
【例3】 (1)求函数y＝2sin的最大值和最小值；
(2)求函数y＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈的值域．
思路点拨：(1)由x的范围?2x＋的范围?借助单调性求y＝2sin的最值；
(2)由x的范围?sin x的范围?函数的值域．
[解] (1)∵－≤x≤，
∴0≤2x＋≤，
∴0≤sin≤1，
∴当sin＝1时，取得最大值2；
当sin＝0时，取得最小值0.
(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3
＝2sin2x＋2sin x＋1
＝22＋.
∵x∈，∴≤sin x≤1.
当sin x＝1时，取得最大值5；
当sin x＝时，取得最小值.
∴函数y＝－2cos2x＋2sin x＋3的值域为.
1．(变条件)将本例(1)中“－≤x≤”改为“－≤x≤”，求y＝2sin的最值．
[解] ∵－≤x≤，
∴－≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴当sin＝1时，最大值为2，
当sin＝－时，取最小值－.
2．(变条件)本例(2)中“y＝－2cos2x＋2sin x＋3改为y＝－2cos2x＋2cos x＋3”，其它条件不变，求值域．
[解] y＝－22＋，
∵x∈，
∴－≤cos x≤.
当cos x＝时，取得最大值.
当cos x＝－时，取得最小值－.
1．求形如y＝Asin x＋B或y＝Acos x＋B型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．
2．求解形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．
教师独具
1．本节课的重点是正弦函数和余弦函数的性质，难点是正、余弦函数的最值问题的求解．
2．理解正、余弦函数的性质，要重点关注以下三点
(1)正弦函数(余弦函数)不是定义域上的单调函数．另外，说“正弦函数(余弦函数)在第一象限内是增(减)函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．
(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．
(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.
3．要重点掌握函数性质的应用
(1)求正、余弦函数的周期．
(2)判断正、余弦函数的奇偶性．
(3)求正、余弦函数的单调区间．
(4)求正、余弦函数的值域．
4．本节课的易错点有以下两处
(1)求形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，如果ω<0，应先利用诱导公式将其转化为正值．
(2)求形如函数y＝Asin2x＋Bsin x＋C的值域时，易忽视正弦函数y＝sin x的有界性．
1．函数y＝sin 2x的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶 D．既奇又偶
A [∵sin(－2x)＝－sin 2x，
∴函数y＝sin 2x为奇函数．]
2．函数y＝sin的单调递增区间是________．
(k∈Z) [令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)得kπ－≤x≤＋kπ(k∈Z)．]
3．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为______．
cos 150°＜cos 760°＜sin 470° [cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，
cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°.]
4．求函数y＝sin的单调区间．
[解] y＝sin＝－sin.
因为2x－是关于x的增函数，所以只需要考虑y＝－sin关于2x－的单调性即可．
当2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)时，y＝sin2x－为增函数，y＝sin为减函数，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
即函数y＝sin的单调减区间为
(k∈Z)；
同理，令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
求得函数y＝sin的单调增区间为
(k∈Z)．
课件51张PPT。第1章 三角函数1.3 三角函数的图象和性质
1.3.2 三角函数的图象与性质
第2课时 正弦、余弦的图象与性质点击右图进入…Thank you for watching !第3课时 正切函数的图象与性质
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质．(重点)
2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．(难点、易错点)
通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养.
正切函数的图象与性质
解析式
y＝tan x
图象
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间(k∈Z)上都是增函数
对称性
无对称轴，对称中心为(k∈Z)
思考：正切函数在定义域内是单调函数吗？
[提示] 不是．
1．思考辨析
(1)正切函数在定义域上是单调递增函数．( )
(2)正切函数的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z.( )
(3)正切函数的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.( )
[解析] (1)×.正切函数在，k∈Z上是单调递增函数．
(2)×.正切函数不是轴对称图形．
(3)×.正切函数的对称中心为，k∈Z.
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________.
[由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，即x≠＋kπ(k∈Z)．故定义域为，
且f＝tan＝.]
3．函数y＝－tan x的单调递减区间是________．
(k∈Z) [因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反，所以y＝－tan x的单调递减区间为(k∈Z)．]
正切函数的定义域
【例1】 求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝.
思路点拨：(1)分母不为0，且tan有意义；
(2)被开方数非负，且tan x有意义．
[解] (1)若使得y＝有意义，
则
∴
∴函数y＝的定义域为
.
(2)由题意得tan x－3≥0，
∴tan x≥，
∴kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)，
∴y＝的定义域为
.
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解.
1．求函数y＝的定义域．
[解] 要使函数y＝有意义，
则有
∴
∴
∴函数y＝的定义域为
.
正切函数的单调性及应用
【例2】 (1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)．
①tan ________tan ；
②tan ________tan.
(2)求函数y＝tan的单调区间及最小正周期．
思路点拨：(1)把各角化归到同一单调区间内再利用函数的单调性进行比较．
(2)先利用诱导公式将x的系数化为正数，再把x－看作一个整体，利用y＝tan x的单调区间求解．利用T＝求周期．
①＜ ②＜ [(1)①tan ＝tan＝tan ，
∵0＜<＜，且y＝tan x在上是增函数，
∴tan ②tan ＝tan＝tan ，tan＝tan ，
∵0＜<＜，且y＝tan x在上是增函数，
∴tan (2)[解] y＝tan
＝－tan，
由kπ－<x－得2kπ－所以函数y＝tan的单调减区间是，k∈Z，无增区间．
最小正周期T＝＝2π.
1．求y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋求得x的范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内．
2．运用正切函数单调性比较大小时，先把各角转化到同一个单调区间内，再运用单调性比较大小．
2．(1)求函数y＝3tan的单调区间；
(2)比较tan 与tan的大小．
[解] (1)y＝3tan＝－3tan，令－＋kπ<2x－<＋kπ，则－＋(2)因为tan ＝－tan，
tan＝－tan，
又0＜＜＜，
y＝tan x在内单调递增，
所以tan＞tan，
所以－tan＜－tan，
即tan ＜tan.
正切函数的图象及应用
[探究问题]
1．如何由y＝tan x的图象画出y＝|tan x|的图象．
提示：只需保持y＝tan x的图象在x轴上方的不动，x轴下方的关于x轴对称便可得出y＝|tan x|的图象．
2．如何由y＝tan x的图象画出y＝tan|x|的图象．
提示：把y＝tan x(x≥0)的图象关于y轴对称便可得出y＝tan|x|的图象．
【例3】 根据函数y＝|tan x|的图象，判断其单调区间、奇偶性、周期性．
思路点拨：→→
[解] 由y＝|tan x|得，
y＝
其图象如图．
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z)，周期为π.
将本例中的函数y＝|tan x|改为y＝tan |x|，解答同样的问题．
[解] 由y＝tan |x|得
y＝
根据y＝tan x的图象，作出y＝tan |x|的图象如图：
由图象可知，函数y＝tan |x|是偶函数，单调增区间为，(k＝0,1,2，…)；
单调减区间为，(k＝0，－1，－2，…)，不具有周期性．
作由正切函数复合而成的简单函数图象可用两种方法：
?1?直接描点法，要注意定义域；
?2?图象变换法，即以y＝tan x的图象为基础，采用反转对称平移等变换，作出函数的图象.
教师独具
1．本节课的重点是正切函数的定义域、单调性以及奇偶性和周期性，难点是正切函数单调性的应用．
2．本节课要学会“三点两线法”画正切函数的图象
类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”作出，这里的三个点分别为(kπ，0)，，，其中k∈Z.两线为直线x＝kπ＋(k∈Z)，直线x＝kπ－(k∈Z)．
3．要掌握与正切函数性质有关的三个问题
(1)与正切函数有关的定义域、值域问题．
(2)正切函数的单调性及应用．
(3)与正切函数有关的奇偶性、周期性问题．
4．本节课的易错点有两处
(1)易忽视正切函数y＝tan x的定义域为
.
(2)易忽视正切曲线只有对称中心而没有对称轴.
1．函数y＝4tan的最小正周期为( )
A. B．π C. D．2π
D [T＝＝2π.]
2．函数y＝tan的定义域是________．
[解x－≠kπ＋(k∈Z)得
x≠kπ＋π(k∈Z)．]
3．函数y＝tan x在上的值域为________．
[－1，] [∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤.]
4．求函数y＝tan 2x的定义域、值域和最小正周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．
[解] 定义域为；
值域为(－∞，＋∞)；最小正周期为；
对应图象如图所示：
课件45张PPT。第1章 三角函数1.3 三角函数的图象和性质
1.3.2 三角函数的图象与性质
第3课时 正切函数的图象与性质点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十) 正切函数的图象与性质
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A．y＝tan x为增函数
B．y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为
C．在x∈[－π，π]上y＝tan x是奇函数
D．在上y＝tan x的最大值是1，最小值为－1
D [函数y＝tan x在定义域内不具有单调性，故A错误；函数y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，故B错误；当x＝－，时，y＝tan x无意义，故C错误；由正切函数的图象可知D正确．]
2．函数f(x)＝的定义域为( )
A. B.
C. D.
C [函数有意义，则
∴x≠且x≠＋，∴x≠，k∈Z.]
3．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)，说法错误的是( )
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．f(x)的图象关于对称
C．f(x)的图象关于(π－φ，0)对称
D．f(x)是以π为最小正周期的周期函数
A [A若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tan x，此时，f(x)为奇函数，所以A错；观察正切函数y＝tan x的图象，可知y＝tan x关于(k∈Z)对称，令x＋φ＝得x＝－φ，分别令k＝1,2知B、C正确，D显然正确．]
4．函数y＝3tan的最小正周期是，则ω＝( )
A．4 B．2 C．－2 D．2或－2
D [由＝，可知ω＝±2.]
5．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则ω的取值范围是( )
A．(－1,0) B．[－1,0)
C．(0,1) D．(0,1]
B [∵y＝tan ωx在内是减函数，
∴T＝≥π，∴0＜|ω|≤1.
∵y＝tan x在内为增函数，
∴ω<0，∴－1≤ω<0.]
二、填空题
6．比较大小：tan ________tan .
＜ [tan ＝tan＝tan .
∵y＝tan x在上是增函数且0＜＜＜，
∴tan ＜tan ，即tan ＜tan .]
7．函数y＝6tan的对称中心为________．
(k∈Z) [y＝6tan
＝－6tan，
由6x－＝，k∈Z得x＝＋，k∈Z，
故对称中心为，k∈Z.]
8．若tan x>tan 且x在第三象限，则x的取值范围是________．
(k∈Z) [tan x>tan ＝tan ，又x为第三象限角，∴2kπ＋三、解答题
9．已知f(x)＝tan.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|<的φ值．
[解] (1)法一：∵y＝tan x的周期是π，
∴y＝tan的周期是.
法二：由诱导公式知：tan
＝tan＝tan，
即f＝f(x)．
∴f(x)的最小正周期是.
(2)∵f(x＋φ)＝tan是奇函数，
∴图象关于原点中心对称，
∴＋2φ＝(k∈Z)，
∴φ＝－(k∈Z)．
令<(k∈Z)，
解得－∴k＝－1,0,1或2.
从而得φ＝－，－，或.
10．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
[解] (1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，即＝.
因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，
即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，所以φ＝，
故f(x)＝tan.
(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，
得－＋kπ<2x即－＋所以函数的单调增区间为，k∈Z，无单调减区间．
(3)由(1)知，f(x)＝tan.
由－1≤tan≤，
得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，
即－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为x≤x≤＋，k∈Z.
[等级过关练]
1．已知函数y＝，则下列说法中：①周期是π且有一条对称轴x＝0；②周期是2π且有一条对称轴x＝0；③周期是2π且有一条对称轴x＝π；④非周期函数但有无数条对称轴．
上述结论正确的是( )
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
B [如图是函数的图象，由图象可知函数周期为2π，对称轴为x＝kπ(k∈Z)．
]
2．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是( )
D [当＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；
当x＝π时，y＝0；当π＜x＜π时，tan x＞sin x，
y＝2sin x＜0.故选D.]
3．不等式tan x≥1的解集是________．
(k∈Z) [由正切函数图象(图略)可知，kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)．]
4．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tan ωx(ω为常数且ω>0)相交的两相邻交点间的距离为________．
[∵ω>0，∴函数y＝tan ωx的周期为.
且在每一个独立的区间内都是单调函数，
∴两交点间的距离为.]
5．已知x∈，求函数y＝＋2tan x＋1的最值及相应的x的值．
[解] y＝＋2tan x＋1＝＋2tan x＋1
＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1.
∵x∈，∴tan x∈[－，1]．
当tan x＝－1，即x＝－时，y取得最小值1；
当tan x＝1，即x＝时，y取得最大值5.
课时分层作业(八) 正弦、余弦函数的图象
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．函数y＝cos x·|tan x|的大致图象是( )
C [y＝cos x·|tan x|＝]
2．若cos x＝1－2m，且x∈R，则m的取值范围是( )
A．[0,1] B．(0,1]
C. D．[－1,0]
A [∵cos x∈[－1,1]，∴－1≤1－2m≤1，
解得0≤m≤1.]
3．关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin|x|与y＝sin x的图象关于y轴对称；
②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；
③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的序号是( )
A．①③ B．②④
C．②③ D．①④
B [对②，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos|x|＝cos x，故其图象相同；对④，y＝cos(－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称，由作图可知①③均不正确．]
4．方程x2－cos x＝0的实数解的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C [作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知原方程有两个实数解．]
5．下列函数中：①y＝sin x－1；②y＝|sin x|；③y＝－cos x；④y＝；⑤y＝.与函数y＝sin x形状完全相同的有( )
A．②④ B．①③
C．①④ D．②③
B [y＝sin x－1是将y＝sin x向下平移1个单位，没改变形状；y＝－cos x＝sin，故y＝－cos x是将y＝sin x向右平移个单位，没有改变形状，与y＝sin x形状相同，∴①③完全相同，而②y＝|sin x|，④y＝＝|cos x|和⑤y＝＝|sin x|与y＝sin x的形状不相同．]
二、填空题
6．函数y＝的定义域是________．
{x|2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z} [由题意可得，
即∴0＜sin x≤1，
由正弦函数图象可得{x|2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z}．]
7．函数y＝sin x的图象与函数y＝cos x的图象在[0,2π]内的交点坐标为________．
和 [在同一坐标系内画出两函数的图象(图略)，
易知，交点坐标为和.]
8．设0≤x≤2π，且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范围为________．
[由|cos x－sin x|＝sin x－cos x得
sin x－cos x≥0，即sin x≥cos x.
又x∈[0,2π]，结合图象可知，≤x≤，
所以x∈.]
三、解答题
9．利用图象变换作出函数y＝sin|x|，x∈[－2π，2π]的简图．
[解] ∵y＝sin|x|＝为偶函数，∴首先用五点法作出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象；再将x∈[0,2π]的图象关于y轴对称．如图所示．
10．作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
①sin x＞0；②sin x＜0；
(2)直线y＝与y＝－sin x，x∈[－π，π]的图象有几个交点？
[解] 利用“五点法”作图，如图．
(1)根据图象可知在x轴上方的部分－sin x＞0，在x轴下方的部分－sin x＜0，所以当x∈(－π，0)时，sin x＜0；
当x∈(0，π)时，sin x＞0.
(2)画出直线y＝，知有两个交点．
[等级过关练]
1．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C [如图，函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－有两个交点．
]
2．已知y＝cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积是( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
B [由题意画出图形(图略)，由于余弦函数图象关于点和点成中心对称，可得y＝cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝1围成的封闭图形的面积为2π×1＝2π.]
3．在[0,2π]内，不等式sin x<－的解集是________．
[画出y＝sin x，x∈[0,2π]的草图如下．
因为sin ＝，所以sin＝－，sin＝－.即在[0,2π]内，满足sin x＝－的x＝或.可知不等式sin x<－的解集是.]
4．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞的解集是________．
{x} [在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝的图象，如图所示．
当f(x)＞时，函数f(x)的图象位于函数y＝的图象上方，此时有－＜x＜0或＋2kπ＜x＜＋2kπ(k∈N)．]
5．已知函数y＝sin x＋|sin x|.
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
[解] (1)y＝sin x＋|sin x|
＝
图象如图所示：
(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.
课时分层作业(九) 正弦、余弦的图象与性质
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是( )
A. B．(－π，0]
C. D．(－π，π)
B [y＝cos x在[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，所以a∈(－π，0]．]
2．函数f(x)＝7sin的奇偶性为( )
A．偶函数 B．奇函数
C．非奇非偶 D．既奇又偶
A [f(x)＝7sin＝7sin
＝－7cos x，∴f(x)是偶函数．]
3．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ＝( )
A．2kπ＋(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
D [由题意，当x＝时，
f(x)＝sin＝±1，
故＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)．]
4．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
D [∵y＝sin＝－cos x，∴T＝2π，即A正确．y＝cos x在上是减函数，则y＝－cos x在上是增函数，即B正确．由图象知y＝－cos x的图象关于x＝0对称，即C正确．y＝－cos x为偶函数，即D不正确．]
5．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝( )
A. B.
C. D.
C [因为当0≤ωx≤时，函数f(x)是增函数，
当≤ωx≤π时，函数f(x)为减函数，
即当0≤x≤时，函数f(x)为增函数，
当≤x≤时，函数f(x)为减函数，
所以＝，所以ω＝.]
二、填空题
6．函数y＝2cos x－1的最大值是________，最小值是________．
1 －3 [∵cos x∈[－1,1]，∴y＝2cos x－1∈[－3,1]．
∴最大值为1，最小值为－3.]
7．y＝的定义域为________，单调递增区间为________．
[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z ，k∈Z [∵sin x≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.
∵当x∈[0，π]时，y＝在上单调递增，
∴其递增区间为，k∈Z.]
8．函数值sin ，sin ，sin 从大到小的顺序为________(用“>”连结)．
sin >sin >sin [∵<<<<π，
又函数y＝sin x在上单调递减，
∴sin >sin >sin .]
三、解答题
9．设函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．
[解] (1)最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，
∴当t＝，即x＝时，
ymin＝×＝－1，
∴当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝.
10．求下列函数的最值：
(1)y＝；
(2)y＝3－4cos，x∈.
[解] (1)y＝＝3－.
∴当sin x＝1时，ymax＝3－＝；
当sin x＝－1时，ymin＝3－7＝－4.
(2)∵x∈，
∴2x＋∈，从而－≤cos≤1.
∴当cos＝1，
即2x＋＝0，
即x＝－时，ymin＝3－4＝－1；
当cos＝－，即2x＋＝，即x＝时，ymax＝3－4×＝5.
[等级过关练]
1．若f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在区间上的最大值是，则ω＝( )
A. B. C. D.
A [由题意知0≤x≤时，0≤ωx≤＜，f(x)取最大值2sin＝，sin＝，＝，ω＝.]
2．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
A. B. C. D.
C [∵f(x)为偶函数，∴＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．
又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝.]
3．函数y＝2sin(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为________．
(k∈Z) [周期T＝π，∴＝π，
∴ω＝2，
∴y＝2sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z.]
4．若x∈，则函数f(x)＝2cos2x＋sin x－1的值域是________．
[f(x)＝－2sin2x＋sin x＋1
＝－22＋，因为x∈，
所以sin x∈，当sin x＝时，f(x)有最大值1；当sin x＝时，f(x)有最小值.]
5．已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间上是增函数，求ω的取值范围．
[解] 由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋≤x≤＋，
∴f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
根据题意，
得?，从而有解得0＜ω≤.
故ω的取值范围是.
