1.3.4 三角函数的应用
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题．(重点)
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(难点)
通过学习本节内容提升学生的直观想象和数学建模核心素养.
三角函数模型的应用
(1)三角函数模型的应用
①根据实际问题的图象求出函数解析式．
②将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
③利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型．
(2)解答三角函数应用题的一般步骤
思考：在函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中，A，b与函数的最值有何关系？
提示：A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下：
(1)ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b；
(2)A＝，b＝.
1．思考辨析
(1)函数y＝sin x在内是增函数．( )
(2)函数y＝3sin x－1的最大值为3.( )
(3)直线x＝π是函数y＝sin x的一条对称轴．( )
(4)函数y＝sin [π(x－1)]的周期为2.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．求下列函数的周期：
(1)y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；
(2)y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；
(3)y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；
[答案] (1) (2) (3)
3．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．
80 [∵T＝＝，∴f＝＝80.]
三角函数在物理学中的应用
【例1】 已知电流I＝Asin(ωt＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜在一个周期内的图象如图．
(1)根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
思路点拨：可先由图象确定电流I的解析式，再由函数的性质确定ω的值．
[解] (1)由图知，A＝300.
＝－＝，
∴T＝，∴ω＝＝150π.
I＝300sin(150πt＋φ)．
由为第一个关键点，
∴150π·＋φ＝0，∴φ＝，
∴所求解析式为I＝300sin，t∈[0，＋∞)．
(2)由题意T≤，即≤，
∴ω≥300π≈942.5，
∴所求ω的最小正整数值是943.
1．三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题，解决这类问题必须要清楚振幅、频率、周期、初相、相位的实际意义和表示方法．
2．将图形语言转化成符号语言，根据图形信息利用待定系数法，求函数模型y＝Asin(ωx＋φ)中的未知参数后，再由解析式及性质解决具体问题．
1．已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
[解] 列表如下，
t
－
2t＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
三角函数在实际生活中的应用
【例2】 如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
思路点拨：→→
→
[解] (1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知，可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝.所以y＝40.5－40cost(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cost0，得cost0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝8或4.所以t＝8分钟时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
三角函数在实际生活中的应用问题一般分两种类型
?1?已知函数模型，利用题目中提供的数据和有关性质解决问题，其关键是求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决.
?2?把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.
2．已知某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高度h＝40·sin＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70 m以上的时间将持续________分钟．
4 [依题意，即40sin＋50≥70，
即cost≤－，从而在一个周期内持续的时间为≤t≤，4≤t≤8，即持续时间为4分钟．]
三角函数的数据拟合问题
[探究问题]
1．在利用已收集到的数据解决实际问题时，我们首先要对数据如何处理？
提示：先画样本数据散点图，通过分析其变化趋势确定合适的函数模型．
2．当散点图具有什么特征时，可以用正(余)弦函数模型来解决实际问题．
提示：当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正(余)弦函数模型来解决实际问题．
【例3】 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.5
1.0
(1)试在图中描出所给点；
(2)观察图，从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
思路点拨：―→―→
[解] (1)描出所给点如图所示：
(2)由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．
令A＞0，ω＞0，|φ|＜π.
由图知，A＝0.4，b＝1，T＝12，
所以ω＝＝.
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin＋1，得φ＝0.
故所求拟合模型的解析式为
y＝0.4sint＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝0.4sint＋1≥0.8，
则sint≥－，
则－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，
即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24.
再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．
用三角函数解决实际问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图起了关键的作用.解决这类题目的步骤如下：
?1?搜集实际问题的数据，作出“散点图”；
?2?观察散点图，用三角函数模型拟合散点图，得到函数模型；
?3?通过图象或解析式研究函数的性质；
?4?用得到的性质解决提出的实际问题.
3．某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：
t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y＝Asin ωt＋b的图象．
(1)试根据以上数据，求出y＝Asin ωt＋b的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略进出港所用的时间)
[解] (1)由拟合曲线可知，函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，
∴函数的最小正周期为12 h，因此，＝12，ω＝.
又∵当t＝0时，y＝10；
当t＝3时，取最大值13.
∴b＝10，A＝13－10＝3.
∴所求函数表达式为y＝3sin t＋10.
(2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故船舶在航行时水深y应大于等于7＋4.5＝11.5(m)．
由拟合曲线可知，一天24 h，水深y变化两个周期．
令y＝3sin t＋10≥11.5,
可得sin t≥.
∴2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，
∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)．
取k＝0，则1≤t≤5；
取k＝1，则13≤t≤17；
取k＝2时，则25≤t≤29(不合题意)．
从而可知，该船在1点到5点或者13点到17点两个时间段可安全进港；船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点进港，而下午的17点前离港，在港内停留的时间最长为16小时．
教师独具
1．本节课的重点是三角函数在实际问题中的应用，难点是三角函数在实际问题中的应用以及建立三角函数模型解决实际问题．
2．本节课要牢记解三角函数应用问题的基本步骤
(1)审清题意
读懂题目中的“文字”、“图象”、“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题．
(2)建立函数模型
整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型．
(3)解答函数模型
利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果．
(4)得出结论
将所得结果翻译成实际问题的答案．
3．本节课要重点掌握三角函数模型的三类简单应用
(1)三角函数在物理中的应用．
(2)三角函数在实际问题中的应用．
(3)建立三角函数模型解决实际问题.
1．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动往返一次需要的时间是( )
A．0.2 s B．0.4 s C．0.8 s D．1.2 s
C [由图象知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s往返一次．]
2．某地一天内的温度变化曲线满足y＝3sin(0.2x＋25)＋15，则在一天内，该地的最大温差是________．
6 [因为函数y＝3sin(0.2x＋25)＋15的振幅为A＝3，可以判断该地的最大温差是2A＝6.]
3．电流I随时间t变化的关系式是I＝Asin ωt，t∈[0，＋∞)，若ω＝10π rad/s，A＝5，则电流I变化的周期是________，当t＝ s时，电流I＝________.
[由已知得I＝5sin 10πt，∴T＝＝.
当t＝ s时，I＝5sin 10π·＝5sin ＝.]
4．一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin.
(1)画出它的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
[解] (1)周期T＝＝1(s)．
列表：
t
0
1
2πt＋
π
2π
6sin
3
6
0
－6
0
3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.
③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)．
课件52张PPT。第1章 三角函数1.3 三角函数的图象和性质
1.3.4 三角函数的应用点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十三) 三角函数的应用
(建议用时：40分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为( )
A. s B. s C. s D. s
B [最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期T＝ s＝ s．]
2．如图所示，为一质点作简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该简谐运动的振动周期为0.7 s
B．该简谐运动的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
B [由图象知，振幅为5 cm，＝(0.7－0.3)s＝0.4 s，故T＝0.8 s，故A错误；该质点在0.1 s和0.5 s离开平衡位置最远，而不能说振动速度最大，故C错误；该质点在0.3 s和0.7 s时正好回到平衡位置，而不是加速度为零，故D错误．]
3．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
C [由图象知周期T＝12，最低点的坐标为(9,2)，
代入得×9＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝2kπ(k∈Z)，不妨取φ＝0，
当x＝6＋＝15时，y最大，
列式得＝3sin＋k，
∴＝3sin＋k，
∴k＝5，
∴＝k，ymax＝8.]
二、填空题
4．如图，某地一天从6 h到14 h的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω>0,0≤φ<2π)，则温度变化曲线的函数解析式为________．
y＝10sin＋20 [由图象可知B＝20，A＝＝10，
＝14－6＝8，T＝16＝，解得ω＝.
将(6,10)代入y＝10sin＋20可得
sin＝－1，
由0≤φ<2π可得φ＝，
∴y＝10sin＋20.]
5．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是________．
[0,1]，[7,12] [由题意可知，y＝sin(ωt＋φ)．
又t＝0时，A，
∴φ＝，
又由T＝12可知，ω＝＝，
∴y＝sin.
令2kπ－≤t＋≤2kπ＋，k∈Z,12k－5≤t≤12k＋1，k∈Z，∵0≤t≤12，∴令k＝0,1，得0≤t≤1或7≤t≤12，
故动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递增区间为[0,1]，[7,12]．]
6．一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32 m(即OM的长)，巨轮的半径为30 m，AM＝BP＝2 m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)＝________.
30sin＋32 [本题考查三角函数的实际应用．建立如图所示的直角坐标系，设点B的方程为y＝Asin(ωx＋φ)＋k，由题意知A＝30，k＝32，φ＝－，又因为T＝12＝，所以ω＝，y＝30sin＋32，所以吊舱P距离地面的高度h(t)＝30sin＋32.
]
三、解答题
7．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?
[解] (1)依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin＋12.2.
又因为t＝4时，d＝16，
所以sin＝1，
所以φ＝－，
所以d＝3.8sin＋12.2.
(2)t＝17时，d＝3.8sin＋12.2
＝3.8sin ＋12.2≈15.5(m)．
(3)令3.8sin＋12.2<10.3，
有sin<－，
因此2kπ＋<t－<2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ＋<t<2kπ＋2π，k∈Z，
所以12k＋8令k＝0，得t∈(8,12)；
令k＝1 ，得t∈(20,24)．
故这一天共有8 h水深低于10.3 m.
[等级过关练]
1．下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为________．
h＝－6sin t，t∈[0,24] [根据题图设h＝Asin(ωt＋φ)，则A＝6，T＝12，＝12，∴ω＝，点(6,0)为“五点”
作图法中的第一点，∴×6＋φ＝0，∴φ＝－π，
∴h＝6·sin＝－6sin t，t∈[0,24]．]
2．一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周，它的最低点离地面2 m(如图所示)，则风车翼片的一个端点离地面的距离h(m)与时间t(min)之间(h(0)＝2)的函数关系式为________．
h(t)＝－8cos t＋10 [如图，风车上翼片端点所在位置P可由函数x(t)、y(t)来刻画，而且h(t)＝y(t)＋2.所以，只需要考虑y(t)的解析式．
又设P的初始位置在最低点即y(0)＝0.
在Rt△O1PQ中，cos θ＝，y(t)＝－8cos θ＋8.
而＝，所以θ＝t，y(t)＝－8cos t＋8，h(t)＝－8cos t＋10.]
3．下表是某地某年月平均气温(单位：华氏)．
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
以月份为x轴，x＝月份－1，以平均气温为y轴．
(1)描出散点图；
(2)用正弦曲线去拟合这些数据；
(3)这个函数的周期是多少？
(4)估计这个正弦曲线的振幅A；
(5)下面四个函数模型中，哪一个最适合这些数据？
①＝cos；②＝cos；
③＝cos；④＝sin.
[解] (1)(2)如图所示；
(3)1月份的气温最低，为21.4华氏，7月份气温最高，为73.0华氏，据图知，＝7－1＝6，∴T＝12.
(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，
∴A＝25.8.
(5)∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，代入①，得＝＞1≠cos ，∴①错误；代入②，得＝＜0≠cos ，∴②错误；同理④错误，③正确.
