2.1 向量的概念及表示
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．(重点)
2．理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点)
3．理解向量的几何表示．(重点)
通过学习本节内容提升学生的数学抽象和直观想象核心素养.
一、向量的定义及表示
定义
既有大小又有方向的量称为向量
表示
方法
(1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为；
(2)字母表示：用小写字母a，b，c表示
模
向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作||
思考1：在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？
[提示] 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．
思考2：两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？
[提示] 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．
二、向量的有关概念及其表示
名称
定义
表示方法
零向量
长度为0的向量
记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
平行向量(或共线向量)
方向相同或相反的非零向量
a与b平行(或共线)，记作a∥b
相等向量
长度相等且方向相同的向量
a与b相等，记作a＝b
相反向量
长度相等且方向相反的向量
a的相反向量记作－a
思考3：已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？它们共线吗？
[提示] 因为向量和向量方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．
思考4：向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？
[提示] 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．
1．思考辨析
(1)有向线段就是向量．( )
(2)两个向量的模能比较大小．( )
(3)有向线段可以用来表示向量．( )
(4)若a＝b，b＝c，则a＝c.( )
(5)若a∥b，则a与b的方向一定相同或相反．( )
(6)若非零向量∥，那么AB∥CD.( )
(7)单位向量的模都相等．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)× (7)√
2．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有______(填序号)．
①⑥⑦⑧ [一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．]
向量的概念
【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)任何两个单位向量都是平行向量；
(2)零向量是没有方向的；
(3)在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则向量与是平行向量；
(4)对于向量a、b、c，若a∥b，且b∥c，则a∥c；
(5)若非零向量与是平行向量，则直线AB与直线CD平行；
(6)非零向量与是模相等的平行向量．
思路点拨：解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假．
[解] (1)错误．因为两个单位向量只是模都等于1个单位，方向不一定相同或相反；
(2)错误．任何向量都有方向，零向量的方向是任意的；
(3)正确．由三角形中位线性质知，DE∥BC，向量与方向相反，是平行向量；
(4)错误．b为零向量时，有a∥b且b∥c，但a与c的方向可以任意变化，它们不一定是平行向量；
(5)错误．A、B、C、D四点也可能在同一条直线上；
(6)正确．非零向量与的模相等，方向相反，二者是平行向量．
1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．
2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量．
3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．
提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．
1．判断下列命题是否正确，并说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；
[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.
(4)不正确．依据规定：0与任一向量平行．
向量的表示
【例2】 一辆汽车从A点出发，向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D.
(1)作出向量，，；
(2)求||.
思路点拨：解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解．
[解] (1)如图：
(2) 由题意，易知与方向相反，故与共线，即AB∥CD.
又∵||＝||，∴在四边形ABCD中，AB綊CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴||＝||＝200(千米)．
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方向或长度?模?，选择合适的比例关系作出向量.
2．(1)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且||＝，画出所有的向量.
(2)已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．
①作出向量，，，；
②问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
[解] (1)画出所有的向量，如图所示．
(2)①由题意，作出向量，，，，如图所示，
②依题意知，三角形ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km.又因为∠ACD＝45°，CD＝1 000，所以△ACD为等腰直角三角形，即AD＝1 000 km，∠CAD＝45°.
所以D地在A地的东南方向，距A地1 000 km.
共线向量
[探究问题]
1．两向量平行，则两向量所在的直线平行吗？
提示：不一定平行．
2．若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？
提示：向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)．
3．向量平行具备传递性吗？举例说明．
提示：向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a，c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c?a∥c.
【例3】 如图，四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与平行且长度为2的向量个数有______个．
思路点拨：结合向量相等、平行的条件求解．
8 [如图所示，
满足与平行且长度为2的向量有，，，，，，，共8个．]
1．(变条件)本例中，与向量同向且长度为2的向量有多少个？
[解] 与向量同向且长度为2的向量占与向量平行且长度为2的向量中的一半，共4个．
2．(变条件)本例中，如图，与向量相等的向量有多少个？
[解] 题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量方向相同的向量与其相等，共有8个．
1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
教师独具
1．本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用．
2．要重点掌握向量的三个问题
(1)向量有关概念的辨析．
(2)向量的表示．
(3)相等向量与共线向量的应用．
3．本节课要注意两个区别
(1)向量与数量
①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向．
②数量可以比较大小，向量不能比较大小．
(2)向量与有向线段
①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．
②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．
1．下列说法不正确的是( )
A．零向量的长度为零
B．零向量与任一向量都是共线向量
C．零向量没有方向
D．零向量的方向是任意的
C [零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向，C错．]
2．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，则||＝1，||＝2，则||＝________.
[因为||2＝||2＋||2＝5，所以||＝.]
3．如图所示，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.在以A，B，C，D，E，F，O为起点或终点的向量中：
(1)模与a的模相等的向量有________个．
(2)长度与a的长度相等，方向相反的向量有________．
(3)与a共线的向量有________．
(4)请一一列出与a，b，c相等的向量________．
(1)23 (2)，，， (3)，，，，，，，， (4)与a相等的有，，；与b相等的有，，；与c相等的有，， [(1)满足条件的向量有23个．
(2)长度与a的长度相等，方向相反的向量有，，，.
(3)与a共线的向量有，，，，，，，，.
(4)与a相等的有，，；与b相等的有，，；与c相等的有，，.]
4．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°；
(2)，使||＝4，点B在点A正东；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
[解] (1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
课件44张PPT。第2章 平面向量2.1 向量的概念及表示2345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十四) 向量的概念及表示
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列各量中是向量的是( )
A．密度 B．电流 C．浮力 D．面积
C [只有浮力既有大小又有方向．]
2．若向量a与向量b不相等，则下列关于a与b的说法一定正确的是( )
A．不共线 B．长度不相等
C．不都是单位向量 D．不都是零向量．
D [若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向或长度至少有一个不同，所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也可能都是单位向量，故A，B，C都错误，但a与b一定不都是零向量．]
3．若＝且||＝||，则四边形ABCD的形状为( )
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．平行四边形
B [由＝知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形，又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．]
4．下列命题中，正确的是( )
A．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
B．a，b是两个单位向量，则a与b相等
C．两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同
D．共线的单位向量必是相等向量
A [若a与b中有一个是零向量，则a与b共线．]
5．给出以下条件，不能使a与b共线的是( )
A．a＝b
B．|a|＝|b|
C．a与b的方向相反
D．|a|＝0或|b|＝0
B [根据相等向量一定是共线向量知A成立；
|a|＝|b|但方向可以任意，∴B不成立；
a与b反向必平行或重合，∴C成立；
由|a|＝0或|b|＝0，得a＝0或b＝0.根据0与任何向量共线，∴D成立．]
二、填空题
6．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
0 [∵与不共线，且m∥，m∥，
∴m＝0.]
7．如图所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________．
，，，，， [满足条件的向量有以下几类：
模长为2的向量有：，，，；
模长为3的向量有：，.]
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的中点，则在以A，B，C，D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量为________．
， [∵AB∥EF，CD∥EF，
∴与方向相反的向量为，.]
三、解答题
9．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的方位．
[解] (1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝，
∴AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，∴＝，则B地相对于A地的方位是“北偏东60°跑A地6千米”．
10．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．
(1)写出与相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)向量与是否相等？
[解] (1)与相等的向量有：，，.
(2)与共线的向量有：，，，，，，，，.
(3)向量与不相等，因为与的方向相反，所以它们不相等．
[等级过关练]
1．下列说法正确的是( )
A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行
B．终点相同的两个向量不共线
C．若|a|＞|b|，则a＞b
D．单位向量的长度为1
D [A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．]
2．把平面内所有长度不小于1且不大于2的向量的起点平移到同一点O，则这些向量的终点所构成的图形的面积为( )
A．4π B．3π C．2π D．π
B [图形是半径为1和2的同心圆对应的圆环，故S圆环＝π(22－12)＝3π.]
3．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________ .
2 [结合菱形的性质可知||＝×2＝2.]
4．如图所示，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为________．
[如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.
所以∠ACD＝∠BCD＝∠AED，
所以||＝||.
因为AE∥BC，所以△ADE∽△BDC，
所以＝＝，
故||＝.]
5．如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝且＝，求证：＝.
[证明] 因为＝，
所以||＝||且AB∥DC.
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以||＝||且DA∥CB，
又因为与的方向相同，
所以＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，
所以＝.
因为||＝||，||＝||，
所以||＝||.
又与的方向相同，
所以＝.
