3.4.2 基本不等式的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)
2.会用基本不等式求解实际应用题．(难点)
1.通过基本不等式求最值，提升数学运算素养.
2.借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.
基本不等式与最值
已知a≥0，b≥0，在运用基本不等式时，要注意：
(1)和a＋b一定时，积ab有最大值；
(2)积ab一定时，和a＋b有最小值；
(3)取等号的条件
.
1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4 C. D．5
C [∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝
＝＋≥＋2＝
(当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立．)
故y＝＋的最小值为.]
2．若x>0，则x＋的最小值是________．
2 [x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立．]
3．设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．
100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋y≥2，∴xy≤100.]
利用基本不等式求最值
【例1】 (1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0思路探究：(1)看到求y＝4x－2＋的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
[解] (1)∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵00，
∴y＝×2x(1－2x)≤×2＝×＝.
∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝.
利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性.
1．(1)已知x>0，求函数y＝的最小值；
(2)已知0[解] (1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．
故y＝(x>0)的最小值为9.
(2)法一：∵00.
∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)
≤2＝.
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，函数取得最大值.
法二：∵00.
∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·2＝，
当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，函数取得最大值.
利用基本不等式求条件最值
【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．
[解] ∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋
≥10＋2＝18，
当且仅当
即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.
若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．
[解] ∵x，y∈R＋，
∴＋＝(x＋2y)
＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当＝时取等号，
结合x＋2y＝1，得x＝，y＝，
∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18.
1．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察、学会变形．
2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有f(x)＝ax＋型和f(x)＝ax(b－ax)型．
2．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是( )
A. B. C. D.
A [因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，
所以y＝.
由即解得0＜x＜1.
所以x＋2y＝x＋＝＋≥2＝，
当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．
故x＋2y的最小值为.]
利用基本不等式解决实际问题
【例3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
[解] 设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
法一：由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，得xy≤，
即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，∴0∵00.∴S≤2＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
1．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．
2．对于函数y＝x＋(k>0)，可以证明x∈(0，]及[－，0)上均为减函数，在[，＋∞)及(－∞，－]上都是增函数．求此函数的最值时，若所给的范围含±，可用基本不等式，不包含±就用函数的单调性．
3．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
[解] 设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝.
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋＝560＋48.
当x＋取最小值时，y有最小值．
∵x>0，∴x＋≥2＝30.
当且仅当x＝，即x＝15时，上式等号成立．
∴当x＝15时，y有最小值2 000元．
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．
1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．
2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到，若取不到，必须利用函数的单调性去求函数的最值．
1．判断正误
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．( )
(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.( )
(3)当x>1时，函数f(x)＝x＋≥2，所以函数f(x)的最小值是2.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] (1) √ 由a＋b≥可知正确．
(2)√ 由ab≤2＝4可知正确．
(3)× 不是常数，故错误．
2．若实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为( )
A．1 B．2 C．2 D．4
A [由基本不等式得，ab≤2＝1.]
3．已知0A. B. C. D.
A [∵00，
则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×2＝，
当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．]
4．已知x>0，求f(x)＝的最大值．
[解] f(x)＝＝.
∵x>0，∴x＋≥2＝2，
∴f(x)≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．
∴f(x)的最大值为1.
课件42张PPT。第三章 不等式3.4 基本不等式
3.4.2 基本不等式的应用a＝ba＋bab利用基本不等式求最值利用基本不等式求条件最值利用基本不等式解决实际问题点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十八) 基本不等式的应用
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．2 B．a C. D．3
D [∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.]
2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
C [∵x<0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．]
3．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是( )
A．3 B．－3 C．3－2 D．－1
C [∵x＞0，∴y＝3－≤3－2＝3－2.当且仅当3x＝，且x＞0，即x＝时，等号成立．]
4．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是( )
A．3 B．6 C．9 D．12
C [x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋4
＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9.
当且仅当即时等号成立，故x＋y的最小值为9.]
5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25 C．9 D．36
B [(1＋x)(1＋y)≤2
＝2＝2＝25，
因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，
(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.]
二、填空题
6．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________．
[答案] 1
7．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.
56 [设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.
由题意，得y＝(x＋4)－72
＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)．
当且仅当x＝，即x＝12 dm时等号成立．]
8．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________．
[6，＋∞) [∵a＋b＋3＝ab≤2，
∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解之得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．]
三、解答题
9．当x<时，求函数y＝x＋的最大值．
[解] y＝(2x－3)＋＋
＝－＋，
∵x<时，∴3－2x>0，
∴＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号．于是y≤－4＋＝－，故函数有最大值－.
10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
[解] 设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得
y＝2x－＝118－
＝118－
＝130－
≤130－2＝130－112＝18(千元)，
当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．
所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．
[能力提升练]
1．若－4A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
D [f(x)＝＝，又∵－40.
故f(x)＝－≤－1.
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．]
2．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)
B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2,4)
D．(－4,2)
D [∵x>0，y>0且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋
≥4＋2＝8，当且仅当＝，
即x＝4，y＝2时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，
只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，
即8>m2＋2m，解得－43．若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．
[1＝x＋4y≥2＝4，
∴xy≤，当且仅当x＝4y＝时等号成立．]
4．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
[x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤2＋1.∴(x＋y)2≤1.
∴x＋y≤，当且仅当x＝y＝时等号成立．]
5．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝＋，试求这两个数．
[解] 设＋＝1，a，b∈N*，
∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)
＝1＋9＋＋
≥10＋2
＝10＋2×3＝16，
当且仅当＝，即b＝3a时等号成立．
又＋＝1，∴＋＝1，∴a＝4，b＝12.
这两个数分别是4,12.
