利用正、余弦定理解三角形
【例1】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
[解] (1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0
(2)由S＝，得absin C＝，故有
sin Bsin C＝sin 2B＝sin Bcos B，
因为sin B≠0，所以sin C＝cos B，
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
解三角形的一般方法
?1?已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.
?2?已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角.
?3?已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况.
?4?已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.
1．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
[解] (1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sin cos.
因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.
由(1)知A＋C＝120°，所以30°＜C＜90°，故＜a＜2，从而＜S△ABC＜.
因此，△ABC面积的取值范围是.
判断三角形的形状
【例2】 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
思路探究：利用正弦定理将已知条件中边的关系，转化为角的关系求角或利用余弦定理，由三边之间的关系确定三角形的形状．
[解] 法一：(正弦定理边化角)由正弦定理，
得2sin B＝sin A＋sin C.
∵B＝60°，∴A＋C＝120°.
∴2sin 60°＝sin(120°－C)＋sin C.
展开整理得sin C＋cos C＝1.
∴sin(C＋30°)＝1.
∵0°∴C＋30°＝90°.
∴C＝60°，则A＝60°.
∴△ABC为等边三角形．
法二：(余弦定理法)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
∵B＝60°，b＝，
∴2＝a2＋c2－2accos 60°，
化简得(a－c)2＝0.
∴a＝c.
又B＝60°，
∴a＝b＝c.
∴△ABC为等边三角形．
根据已知条件?通常是含有三角形的边和角的等式或不等式?判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系.判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三角形和不等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解.
2．在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状．
[解] 由已知＝＝＝，
得＝.
可有以下两种解法．
法一：(利用正弦定理，将边化角)
由正弦定理得＝，∴＝，
即sin Ccos C＝sin Bcos B，
即sin 2C＝sin 2B.
∵B，C均为△ABC的内角，
∴2C＝2B或2C＋2B＝180°.
即B＝C或B＋C＝90°.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
法二：(利用余弦定理，将角化边)
∵＝，
∴由余弦定理得＝，
即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)．
∴a2c2－c4＝a2b2－b4，
即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0.
∴a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0，
即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0.
∴b2＝c2或a2－b2－c2＝0，
即b＝c或a2＝b2＋c2.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
正、余弦定理的实际应用
【例3】 如图所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8 km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB＝5 km.
(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；
(2)求景点C与景点D之间的距离．(结果精确到0.1 km)
(参考数据：≈1.73，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)
思路探究：(1)以BD为边的三角形为△ABD和△BCD，在△ABD中，一角和另外两边易得，所以可在△ABD中利用余弦定理求解DB.
(2)以CD为边的两个三角形中的其他边不易全部求得，而角的关系易得，考虑应用正弦定理求解．
[解] (1)设BD＝x km，则在△ABD中，由余弦定理得52＝82＋x2－2×8xcos 30°，即x2－8x＋39＝0，解得x＝4±3.因为4＋3>8，应舍去，所以x＝4－3≈3.9，即这条公路的长约为3.9 km.
(2)在△ABD中，由正弦定理得＝，所以sin∠ABD＝sin∠CBD＝·sin∠ADB＝＝0.8，所以cos∠CBD＝0.6.在△CBD中，sin∠DCB＝sin(∠CBD＋∠BDC)＝sin(∠CBD＋75°)＝0.8×0.26＋0.6×0.97＝0.79，由正弦定理得CD＝sin∠DBC×≈3.9.故景点C与景点D之间的距离约为3.9 km.
正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中?目的是发现已知量与未知量之间的关系?，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求.
3．如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01 km)．
[解] (1)由题意得PA－PB＝1.5×8＝12(km)，
PC－PB＝1.5×20＝30(km)．
∴PB＝x－12，PC＝18＋x.
在△PAB中，AB＝20 km，
cos∠PAB＝＝＝.
同理cos∠PAC＝.
∵cos∠PAB＝cos∠PAC，
∴＝，解得x＝.
(2)作PD⊥a于D，在Rt△PDA中，PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x·＝≈17.71(km)．
所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71 km.
与三角形有关的综合问题
[探究问题]
1．如图所示，向量与的夹角是∠B吗？在△ABC中，两向量·的数量积与余弦定理有怎样的联系？
[提示] 向量与的夹角是∠B的补角，大小为180°－∠B，
由于·＝||·||cos A＝bccos A.
所以·＝bccos A＝(b2＋c2－a2)，有时直接利用此结论解决与向量数量积有关的解三角形问题．
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？
[提示] 用余弦定理可以根据角的余弦值的符号直接判断是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要结合已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，避免讨论．
【例4】 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
思路探究：(1)由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a，c的方程组即可求解．
(2)由(1)结合正弦定理分别求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解．
[解] (1)由·＝2得cacos B＝2.
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.
解得或
因为a＞c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，
sin B＝＝＝，
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.
因为a＝b＞c，所以C为锐角，
因此cos C＝＝＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C
＝×＋×＝.
1．(变条件，变结论)将本例中的条件“a>c，·＝2，cos B＝，b＝3”变为“已知S△ABC＝30且cos A＝”求·的值．
[解] 在△ABC中，cos A＝，
∴A为锐角且sin A＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝bc·＝30.
∴bc＝156.
∴·＝||·||cos A
＝bccos A＝156×＝144.
2．(变条件，变结论)在“母题探究1”中再加上条件“c－b＝1”能否求a的值？
[解] 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b－c)2＋2bc(1－cos A)＝1＋2×156×＝25，∴a＝＝5.
正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.
?1?解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.
?2?解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解.
课件45张PPT。第一章 解三角形章末复习课利用正、余弦定理解三角形判断三角形的形状正、余弦定理的实际应用与三角形有关的综合问题Thank you for watching !章末综合测评(一) 解三角形
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，a＝k，b＝k(k>0)，A＝45°，则满足条件的三角形有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
A [由正弦定理得＝，
所以sin B＝＝>1，即sin B>1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．]
2．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )
A．90° B．120°
C．135° D．150°
B [设最小边为5，则三角形的三边分别为5,7,8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝，∴θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.]
3．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝( )
A.或 B.
C. D.
C [由＝，得sin C＝.
∵BC＝3，AB＝，∴A>C，
则C为锐角，故C＝.]
4．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos B＝( )
A．± B.
C．－ D.
A [因为＝，所以＝，
解得sin B＝.
因为b>a，所以B>A，故B有两解，所以cos B＝±.]
5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( )
A．6∶5∶4 B．7∶5∶3
C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
B [∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，
∴＝＝.
令＝＝＝k(k>0)，
则解得
∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3.]
6．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于( )
A. B．1＋
C. D．2
B [∵S△ABC＝acsin B，∴ac＝6.
又∵b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos 30°＝4b2－12－6，
∴b2＝4＋2，∴b＝1＋.]
7．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，0)
C. D.
D [由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk，(m>0)，
∵即
∴k>.]
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
B [由已知可得＝－，
即cos A＝，b＝ccos A.
法一：由余弦定理得cos A＝，则b＝c·，
所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形．
法二：由正弦定理，得sin B＝sin Ccos A.
在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)，
从而有sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A，
即sin Acos C＝0.在△ABC中，sin A≠0，
所以cos C＝0.由此得C＝，故△ABC为直角三角形．]
9．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为( )
A．2 B．8
C. D.
C [∵＝＝＝2R＝8，
∴sin C＝，∴S△ABC＝absin C＝＝＝.]
10．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为( )
A. B.
C. D.
B [∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2，∵sin α＝，∴α＝120°.
由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，故a＝5，故三边长为3,5,7，S△ABC＝×3×5×sin 120°＝.]
11．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为( )
A.小时 B．1小时
C.小时 D．2小时
B [在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，＝1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时．]
12．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为( )
A. B.
C. D.
D [设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝a.
在△ABD中，由余弦定理，得
cos A＝＝＝.
又∵A为△ABC的内角，∴sin A＝.
在△ABC中，由正弦定理得，＝.
∴sin C＝·sin A＝·＝.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知△ABC为钝角三角形，且C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为________．
a2＋b2∴cos C<0，∴a2＋b2－c2<0，故a2＋b214．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.
[由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.
又因为b＋c＝2a，
所以a＝b，c＝b，
所以cos C＝＝＝－.因为C∈(0，π)，所以C＝.]
15．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于________，AC的取值范围为________．
2 (，) [设A＝θ?B＝2θ.
由正弦定理得＝，
∴＝1?＝2.
由锐角△ABC得0°<2θ<90°?0°<θ<45°.
又0°<180°－3θ<90°?30°<θ<60°，
故30°<θ<45°?∴AC＝2cos θ∈(，)．]
16．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝6cos C，则＋＝________.
4 [∵＋＝6cos C，
∴＝6·，
∴2a2＋2b2－2c2＝c2，
∴＋＝＋＝＝＝＝＝＝＝4.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
[解] (1)由正弦定理得，sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A.
故sin B＝sin A，所以＝.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，
得cos B＝.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.
可得cos2B＝，又cos B>0，
故cos B＝，所以B＝45°.
18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
[解] (1)∵cos B＝>0，且0∴sin B＝＝.
由正弦定理得＝，
sin A＝＝＝.
(2)∵S△ABC＝acsin B＝4，
∴×2×c×＝4，∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝.
19．(本小题满分12分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
(1)求角A的值；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值．
[解] (1)∵cos A＝2cos2－1，
∴2cos2＝cos A＋1.
又2cos2＋cos A＝0，∴2cos A＋1＝0，
∴cos A＝－，∴A＝120°.
(2)由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A，
又a＝2，b＝2，cos A＝－，
∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×，
化简，得c2＋2c－8＝0，
解得c＝2或c＝－4(舍去)．
20．(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时C、D间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?
[解] 如图所示，
设∠ACD＝α，∠CDB＝β.
在△CBD中，由余弦定理得
cos β＝
＝＝－，
∴sin β＝.
而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝×＋×＝.
在△ACD中，＝，
∴AD＝＝15(千米)．
所以这人还要再走15千米可到达城A.
21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2C＋2cos C＋2＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若b＝a，△ABC的面积为sin Asin B，求sin A及c的值．
[解] (1)∵cos 2C＋2cos C＋2＝0，
∴2cos2C＋2cos C＋1＝0，
即(cos C＋1)2＝0，
∴cos C＝－.
又C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝3a2＋2a2＝5a2，
∴c＝a，即sin C＝sin A，
∴sin A＝sin C＝.
∵S△ABC＝absin C，且S△ABC＝sin Asin B，
∴absin C＝sin Asin B，
∴sin C＝，由正弦定理得
2sin C＝，解得c＝1.
22．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin A＋cos A＝2.
(1)求角A的大小；
(2)现给出三个条件：①a＝2；②B＝；③c＝b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积．(写出一种方案即可)
[解] (1)依题意得2sin＝2，
即sin＝1，
∵0∴A＝.
(2)参考方案：选择①②.
由正弦定理＝，得b＝＝2.
∵A＋B＋C＝π，
∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
∴S△ABC＝absin C＝×2×2×＝＋1.
