等差(比)数列的基本运算
【例1】 等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
[解] (1)设{an}的公比为q，
由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，
则b3＝8，b5＝32.
设{bn}的公差为d，则有
解得
所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
所以数列{bn}的前n项和
Sn＝＝6n2－22n.
在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d?或q?，Sn，其中a1和d?或q?为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d?q?，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差?比?数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.
1．已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.
(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；
(2)若S5>a1a9，求a1的取值范围．
[解] (1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a＝1×(a1＋2)，
即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.
(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9，
所以5a1＋10>a＋8a1，
即a＋3a1－10<0，解得－5
求数列的通项公式
【例2】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an；
(2)数列{an}的前n项和为Sn且a1＝1，an＋1＝Sn，求an.
思路探究：(1)已知Sn求an时，应分n＝1与n≥2讨论；
(2)在已知式中既有Sn又有an时，应转化为Sn或an形式求解．
[解] (1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－1，
当n＝1时，a1＝S1＝5不适合上式．
∴an＝
(2)∵Sn＝3an＋1， ①
∴n≥2时，Sn－1＝3an. ②
①－②得Sn－Sn－1＝3an＋1－3an，
∴3an＋1＝4an，
∴＝，又a2＝S1＝a1＝.
∴n≥2时，an＝·，不适合n＝1.
∴an＝
数列通项公式的求法
?1?定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目.
?2?已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式,求解.
?3?累加或累乘法,形如an－an－1＝f?n??n≥2?的递推式，可用累加法求通项公式；形如＝f?n??n≥2?的递推式，可用累乘法求通项公式.
2．设数列{an}是首项为1的正项数列，且an＋1－an＋an＋1·an＝0(n∈N*)，求{an}的通项公式．
[解] ∵an＋1－an＋an＋1·an＝0，∴－＝1.
又＝1，∴是首项为1，公差为1的等差数列．
故＝n.
∴an＝.
等差(比)数列的判定
【例3】 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．
(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；
(2)设cn＝，求证：{cn}是等差数列．
思路探究：分别利用等比数列与等差数列的定义进行证明．
[证明] (1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2
＝4an＋1－4an.
＝＝＝＝2.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，
所以－＝3.
所以cn＋1－cn＝3，且c1＝＝2，
所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2.
等差数列、等比数列的判定方法
?1?定义法：an＋1－an＝d?常数??{an}是等差数列；＝q?q为常数，q≠0??{an}是等比数列.
?2?中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2?{an}是等差数列；aoal(2,n＋1)＝an·an＋2?an≠0??{an}是等比数列.
?3?通项公式法：an＝kn＋b?k，b是常数??{an}是等差数列；an＝c·qn?c，q为非零常数??{an}是等比数列.
?4?前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn?A，B为常数，n∈N*??{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A?A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*??{an}是等比数列.
提醒：①前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.②若要判定一个数列不是等差?比?数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差?比?即可.
3．数列{an}的前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.求证：数列{cn}是等比数列．
[证明] 当n＝1时，a1＝S1.
由an＋Sn＝n，①
得a1＋S1＝1，即2a1＝1，解得a1＝.
又an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②
②－①得an＋1－an＋(Sn＋1－Sn)＝1，
即2an＋1－an＝1，③
因为cn＝an－1，
所以an＝cn＋1，an＋1＝cn＋1＋1，
代入③式，得2(cn＋1＋1)－(cn＋1)＝1，
整理得2cn＋1＝cn，
故＝(常数)．
所以数列{cn}是一个首项c1＝a1－1＝－，公比为的等比数列.
数列求和
[探究问题]
1．若数列{cn}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，且an＝cn＋bn，如何求数列{an}的前n项和？
[提示] 数列{an}的前n项和等于数列{cn}和{bn}的前n项和的和．
2．有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．试用此种方法求和：
12－22＋32－42＋…＋992－1002.
[提示] 12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)
＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)
＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5 050.
3．我们知道＝－，试用此公式求和：＋＋…＋.
[提示] 由＝－得 ＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
【例4】 已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c、k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3.
(1)求an；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
思路探究：(1)已知Sn，据an与Sn的关系an＝确定an；(2)若{an}为等比数列，则{nan}是由等差数列和等比数列的对应项的积构成的新数列，可用错位相减法求和．
[解] (1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k(cn－cn－1)，
则a6＝k(c6－c5)，a3＝k(c3－c2)，
＝＝c3＝8，
∴c＝2.
∵a2＝4，即k(c2－c1)＝4，
解得k＝2，
∴an＝2n.
当n＝1时，a1＝S1＝2.
综上所述，an＝2n(n∈N*)．
(2)nan＝n·2n，
则Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，
两式作差得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，
Tn＝2＋(n－1)·2n＋1.
1．(变结论)例题中的条件不变，(2)中“求数列{nan}的前n项和Tn”变为“求数列{n＋an}的前n项和Tn”．
[解] 由题知Tn＝1＋2＋2＋22＋3＋23＋…＋n＋2n
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋…＋2n)
＝＋
＝2n＋1－2＋.
2．(变结论)例题中的条件不变，将(2)中“求数列{nan}的前n项和Tn”变为“求数列的前n项和Tn”．
[解] 由题知Tn＝＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋…＋＋，②
①－②得：
Tn＝＋＋＋…＋－
＝－＝1－n－，
∴Tn＝2－－＝2－＝2－.
数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解．
一般常见的求和方法有：
(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式．
(2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．
(4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
(5)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导．
课件37张PPT。第二章 数列章末复习课等差(比)数列的基本运算求数列的通项公式等差(比)数列的判定数列求和Thank you for watching !章末综合测评(二) 数列
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知数列1，，，，3，，…，，…，则是这个数列的( )
A．第10项 B．第11项
C．第12项 D．第21项
B [观察可知该数列的通项公式为an＝(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n－1，解得n＝11，故选B.]
2．一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q＝( )
A. B.
C. D.
C [由题意知an＝an＋1＋an＋2＝anq＋anq2，即q2＋q－1＝0，解得q＝(负值舍去)，故选C.]
3．等比数列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( )
A．8 B．－8
C．±8 D．以上选项都不对
A [∵a2＋a6＝34，a2·a6＝64，∴a＝64，且a2>0，a6>0，∴a4＝a2q2>0(q为公比)，∴a4＝8.]
4．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织390尺．问：每天织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，估算出每天多织的布约有( )
A．0.55尺 B．0.53尺
C．0.52尺 D．0.5尺
A [设每天多织d尺，由题意a1＝5，{an}是等差数列，公差为d，所以S30＝30×5＋ d＝390，解得d≈0.55.]
5．“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》，通过计算得到的答案是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
B [由题意设尖头a盏灯，根据题意由上往下数第n层有2n－1a盏灯，所以一共有(1＋2＋4＋8＋16＋32＋64)a＝381盏灯，解得a＝3.]
6．已知Sn是数列{an}的前n项和，log2Sn＝n(n＝1,2,3，…)，则数列{an}( )
A．是公比为2的等比数列
B．是公差为2的等差数列
C．是公比为的等比数列
D．既非等差数列，也非等比数列
D [∵log2Sn＝n，∴Sn＝2n，则a1＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.
∵a1＝2不适合上式，∴{an}既非等差数列，也非等比数列．]
7．已知等差数列{an}中，a1>0，前n项和是Sn，且S14＝S8，则当Sn取得最大值时，n为( )
A．8 B．9 C．10 D．11
D [∵S14＝S8，∴a9＋a10＋a11＋a12＋a13＋a14＝3(a11＋a12)＝0.
∵a1>0，∴d<0，∴a11>0，a12<0，∴n＝11.]
8．已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则( )
A．a1d>0，dS4>0 B．a1d<0，dS4<0
C．a1d>0，dS4<0 D．a1d<0，dS4>0
B [依题意a＝a3a8，所以(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，解得a1＝－d，所以S4＝2(a1＋a4)＝2(a1＋a1＋3d)＝－d，所以a1d＝－d2<0，dS4＝－d2<0.]
9．已知公差不为0的等差数列{an}的前23项的和等于前8项的和．若a8＋ak＝0，则k＝( )
A．22 B．23
C．24 D．25
C [等差数列的前n项和Sn可看做关于n的二次函数(图象过原点)．由S23＝S8，得Sn的图象关于n＝对称，所以S15＝S16，即a16＝0，所以a8＋a24＝2a16＝0，所以k＝24.]
10．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230.那么a3·a6·…·a30等于( )
A．210 B．215
C．220 D．216
C [法一：a1·a2·a3·…·a30＝aq(1＋2＋3＋…＋29)＝(aq145)3，a3·a6·a9·…·a30＝aq(2＋5＋8＋…＋29)＝aq155.
所以a3·a6·a9·…·a30＝(a1·a2·a3·…·a30)q10＝(230)·210＝220.故选C.
法二：a1·a4·a7·…·a28，a2·a5·a8·…·a29，a3·a6·a9·…·a30构成等比数列，公比为210.
设a3·a6·a9·…·a30＝x，则有a1·a2·a3·…·a30＝··x＝230.所以x3＝260，故a3·a6·a9·…·a30＝220.故选C.]
11．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，则a10＝( )
A．15 B．19
C．21 D．30
B [由S3＝a得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列可得S＝S1·S4，又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)，化简得3d2＝2a2d，又d≠0，∴a2＝3，d＝2，a1＝1，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴a10＝19.]
12．设数列{an}满足an＋1＝－2an，a1＝1，数列{|an|}的前n项和为Sn，则S2 019＝( )
A．22 019－1 B．22 020－2
C．22 018－1 D．1－22 019
A [由an＋1＝－2an，可得＝－2，又a1＝1，所以an＝(－2)n－1，所以|an|＝|(－2)n－1|＝2n－1，所以S2 019＝＝22 019－1.故选A.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝________.
－6 [S8＝＝4(a3＋a6)，由于S8＝4a3，所以a6＝0.又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.]
14．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝________.
768 [由an＋1＝3Sn，得Sn＋1－Sn＝3Sn，即Sn＋1＝4Sn，所以数列{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，所以Sn＝4n－1，所以a6＝S6－S5＝45－44＝3×44＝768.]
15．已知公差不为零的正项等差数列{an}中，Sn为其前n项和，lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，若a5＝10，则S5＝________.
30 [设{an}的公差为d，则d≠0.
由lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，
得2lg a2＝lg a1＋lg a4，∴a＝a1a4，
即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，d2＝a1d.
又d≠0，故d＝a1，a5＝5a1＝10，d＝a1＝2，
S5＝5a1＋×d＝30.]
16．已知等差数列{an}中，a3＝7，a6＝16，将此等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵：
a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
… … … … …
则此数阵中第20行从左到右的第10个数是________．
598 [第1行有1项，第2行有2项，第3行有3项，故前19行共有19×1＋×1＝190(项)，第20行第10项为数列{an}中的第200项．又a3＝7，a6＝16，∴d＝＝＝3，∴an＝a3＋(n－3)·d＝7＋3(n－3)＝3n－2，∴a200＝3×200－2＝598.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知数列{an}为等差数列，且a3＝5，a7＝13.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足an＝log4bn，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解] (1)设an＝a1＋(n－1)d，
则解得a1＝1，d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)依题意得bn＝4an＝42n－1，
因为＝＝16，
所以{bn}是首项为b1＝41＝4，公比为16的等比数列，所以{bn}的前n项和Tn＝＝(16n－1)．
18．(本小题满分12分)等差数列{an}中，前三项分别为x,2x,5x－4，前n项和为Sn，且Sk＝2 550.
(1)求x和k的值；
(2)求T＝＋＋＋…＋的值．
[解] (1)由4x＝x＋5x－4，得x＝2，
所以an＝2n，Sn＝n(n＋1)，所以k(k＋1)＝2 550，得k＝50.
(2)因为Sn＝n(n＋1)，
所以＝＝－，
所以T＝＋＋…＋
＝1－＝.
19．(本小题满分12分)已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．
(1)求通项an及Sn；
(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
[解] (1)因为{an}是首项为a1＝19，公差为d＝－2的等差数列，
所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
Sn＝19n＋·(－2)＝－n2＋20n.
(2)由题意得bn－an＝3n－1，所以bn＝3n－1－2n＋21，则Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，并且an＋1＝f(an)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an，求数列{bn}的前n项和Sn.
[解] (1)由题意得an＋1＝，∴＝＝1＋，即－＝1，∴数列是一个等差数列，公差为1，首项为＝1，
从而＝n，∴an＝.
(2)由(1)得bn＝an＝＝－，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－＝.
21．(本小题满分12分)已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，在等差数列{bn}中，bn>0，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列．
(1)求数列{anbn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
[解] (1)∵an＝3n－1，∴a1＝1，a2＝3，a3＝9.
∵在等差数列{bn}中，b1＋b2＋b3＝15，∴3b2＝15，则b2＝5.设等差数列{bn}的公差为d，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，
∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2.
∵bn>0，∴d＝－10应舍去，∴d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1.
故anbn＝(2n＋1)·3n－1.
(2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①
3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②
①－②，得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n
＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n
＝3＋2×－(2n＋1)3n
＝3n－(2n＋1)3n
＝－2n·3n.
∴Tn＝n·3n.
22．(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．
[解] (1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d，
an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.
(2)由(1)得an＝an－1－d＝－d
＝2·an－2－d－d＝…
＝n－1a1－d.
整理得an＝n－1(3 000－d)－2d＝n－1·(3 000－3d)＋2d.
由题意知am＝4 000，所以m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000，
解得d＝＝.
故该企业每年上缴资金d的值为万元时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．
