一元二次不等式的解法
[探究问题]
1．当a>0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且α<β，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？
[提示] 借助函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为{x|x<α或x>β}．
2．若[探究1]中的a<0，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？
[提示] 解集为{x|α
3．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac<0，则ax2＋bx＋c>0的解集是什么？
[提示] 当a>0时，不等式的解集为R；当a<0时，不等式的解集为?.
【例1】 若不等式组的整数解只有－2，求k的取值范围．
思路探究：不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不等式，取交集判断．
[解] 由x2－x－2>0，得x<－1或x>2.
对于方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0有两个实数解x1＝－，x2＝－k.
(1)当－>－k，即k>时，不等式的解集为，显然－2?.
(2)当－k＝－时，不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解集为?.
(3)当－<－k，即k<时，
不等式的解集为.
∴不等式组的解集由
或确定．
∵原不等式组整数解只有－2，
∴－2<－k≤3，
故所求k的范围是－3≤k<2.
(变条件，变结论)若将例题改为“已知a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0”．
[解] (1)若a＝0，则原不等式为－2x<0，
故解集为{x|x>0}．
(2)若a>0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即0∴原不等式的解集为
.
②当Δ＝0，即a＝1时，原不等式的解集为?.
③当Δ<0，即a>1时，原不等式的解集为?.
(3)若a<0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即－1②当Δ＝0，即a＝－1时，原不等式可化为(x＋1)2>0，
∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}．
③当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R.
综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为?；
当0；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>0}；
当－1；当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}；
当a<－1时，原不等式的解集为R.
不等式的解法
?1?一元二次不等式的解法.
①将不等式化为ax2＋bx＋c>0?a>0?或ax2＋bx＋c<0?a>0?的形式；
②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确定一元二次不等式的解集.
?2?含参数的一元二次不等式.,解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的.
不等式恒成立问题
【例2】 已知不等式mx2－mx－1<0.
(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围．
思路探究：先讨论二次项系数，再灵活的选择方法解决恒成立问题．
[解] (1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；
②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0 恒成立?解得－4综上可知，实数m的取值范围是(－4,0]．
(2)令f(x)＝mx2－mx－1，
①当m＝0时，f(x)＝－1<0显然恒成立；
②当m>0时，若对于x∈[1,3]不等式恒成立，只需即可，∴解得m<，∴0③当m<0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝，若x∈[1,3]时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需f(1)<0即可，解得m∈R，∴m<0符合题意．
综上所述，实数m的取值范围是.
(3)令g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，
若对满足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需 即解得∴实数x的取值范围是.
对于不等式恒成立求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种：
?1?变更主元法
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元.
?2?分离参数法
若f?a?若f?a?>g?x?恒成立，则f?a?>g?x?max.
?3?数形结合法
利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化.
1．设f(x)＝mx2－mx－6＋m，
(1)若对于m∈[－2,2]，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)依题意，设g(m)＝(x2－x＋1)m－6，
则g(m)为关于m的一次函数，且一次项系数x2－x＋1＝2＋>0，
所以g(m)在[－2,2]上递增，
所以欲使f(x)<0恒成立，
需g(m)max＝g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0，
解得－1(2)法一：要使f(x)＝m(x2－x＋1)－6<0在[1,3]上恒成立，
则有m<在[1,3]上恒成立，
而当x∈[1,3]时，
＝≥＝，
所以m<min＝，
因此m的取值范围是.
法二：①当m＝0时，f(x)＝－6<0对x∈[1,3]恒成立，所以m＝0.
②当m≠0时f(x)的图象的对称轴为x＝，
若m>0，则f(x)在[1,3]上单调递增，
要使f(x)<0对x∈[1,3]恒成立，
只需f(3)<0即7m－6<0，
所以0若m<0，则f(x)在[1,3]上单调递减，
要使f(x)<0对x∈[1,3]恒成立，
只需f(1)<0即m<6，
所以m<0.
综上可知m的取值范围是.
利用基本不等式求最值
【例3】 设函数f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
(2)当0思路探究：(1)将原函数变形，利用基本不等式求解．
(2)利用函数的单调性求解．
[解] (1)把a＝2代入f(x)＝x＋，
得f(x)＝x＋＝(x＋1)＋－1，
∵x∈[0，＋∞)，
∴x＋1>0，>0，
∴x＋1＋≥2，当且仅当x＋1＝，
即x＝－1时，f(x)取等号，此时f(x)min＝2－1.
(2)当0若x＋1＋≥2，
则当且仅当x＋1＝时取等号，
此时x＝－1<0(不合题意)，
因此，上式等号取不到．
f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)min＝f(0)＝a.
基本不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛.
?1?基本不等式通常用来求最值，一般用a＋b≥2?a>0，b>0?解“定积求和，和最小”问题，用ab≤解“定和求积，积最大”问题.
?2?在实际运用中，经常涉及函数f?x?＝x＋?k>0?，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”.特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证.
2．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
[解] (1)设每件定价为t元，依题意，有[8－(t－25)×0.2]t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，
解得25≤t≤40.
因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意，x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等价于x>25时，a≥＋x＋有解．
∵＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，
∴a≥10.2.
因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．
课件38张PPT。第三章 不等式章末复习课2345一元二次不等式的解法67891011121314151617不等式恒成立问题181920212223242526272829利用基本不等式求最值3031323334353637Thank you for watching !章末综合测评(三) 不等式
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式＞1的解集是( )
A．{x|x＜－2} B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|x＜1} D．{x|x∈R}
A [＞1可化为－1＞0，
整理可得＞0，即x＋2＜0，
解得x＜－2，解集为{x|x＜－2}．]
2．下列函数：
①y＝x＋(x≥2)；②y＝tan x＋；③y＝x－3＋.
其中最小值为2的个数有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
A [y＝x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，由于x≥2，因此①的最小值不是2；②中tan x可能小于零，最小值不是2；③中x－3可能小于零，最小值不是2.]
3．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是( )
A．A≥B B．A>B
C．AB [∵a，b都是正实数，且a≠b，
∴A＝＋>2＝2，即A>2，
B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2
＝－(x－2)2＋2≤2，
即B≤2，∴A>B.]
4．在等差数列{an}中an＞0，且a1＋a2＋a3＋…＋a8＝40，则a4·a5的最大值是( )
A．5 B．10 C．25 D．50
C [因为等差数列{an}中an＞0，且a1＋a2＋a3＋…＋a8＝40，所以a4＋a5＝10，
所以10＝a4＋a5≥2，
所以a4·a5≤25，当且仅当a4＝a5＝5时取等号．
所以a4·a5的最大值是25.]
5．不等式≤的解集为( )
A．(－∞，－3] B．(－3,1]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
C [由已知得≤2－1，
所以x2＋2x－4≤－1，
即x2＋2x－3≤0，
解得－3≤x≤1.]
6．不等式组的解集为( )
A．[－4，－3] B．[－4，－2]
C．[－3，－2] D．?
A [?
??－4≤x≤－3.]
7．函数y＝log(x＞1)的最大值为( )
A．4 B．3 C．－4 D．－3
D [由x＋＋5＝x－1＋＋6≥2＋6＝8(x＞1)，
所以y＝log≤log8＝－3.]
8．若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )
A．a≥2或a≤－3 B．a＞2或a≤－3
C．a＞2 D．－2＜a＜2
C [原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0，显然a＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a＋2＞0，且Δ＜0，即解得a＞2.]
9．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝＋＋，则( )
A．T>0 B．T<0
C．T＝0 D．T≥0
B [法一：取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，
则T＝－<0，排除A，C，D，可知选B.
法二：由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，
不妨设a>0，b<0，c<0，
则T＝＋＋＝＝＝.
∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0.]
10．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈都成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2
C．－3 D．－
D [由对一切x∈，不等式x2＋ax＋1≥0都成立，所以ax≥－x2－1，即a≥－x－.
设g(x)＝－x－，只需a≥g(x)max，
而g(x)＝－x－在x∈上是增函数，
所以g(x)＝－x－的最大值是g＝－.]
11．定义符号函数sgn x＝则当x∈R时，不等式x＋2＞(2x－1)sgn x的解集是( )
A.
B.
C.
D.
D [当x＞0时，不等式化为x＋2＞2x－1，
解得x＜3，即0＜x＜3；
当x＝0时，不等式恒成立；
当x＜0时，不等式化为x＋2＞(2x－1)－1，
即2x2＋3x－3＜0，
解得－＜x＜，
即－＜x＜0.
综上可知，不等式的解集为.]
12．已知x>0，y>0.若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－2D [∵x>0，y>0，
∴＋≥8.
若＋>m2＋2m恒成立，则m2＋2m<8，解之得－4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2,3)，则不等式bx2－ax－1>0的解集为________．
[方程x2－ax－b＝0的根为2,3.根据根与系数的关系得：a＝5，b＝－6.所以不等式为6x2＋5x＋1<0，解得解集为.]
14．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是________．
[对于x2＋3xy－1＝0可得y＝·，
∴x＋y＝＋≥2＝(当且仅当x＝时等号成立)．]
15．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50＜x≤80时，每天售出的件数P＝，若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为________元．
60 [设销售价格定为每件x(50＜x≤80)元，每天获得利润y元，则：
y＝(x－50)·P＝，
设x－50＝t，则0＜t≤30，
所以y＝＝＝≤＝2 500，
当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2 500.]
16．若不等式≤a≤在t∈(0,2]上恒成立，则a的取值范围是________．
[＝，而y＝t＋在(0,2]上单调递减，故t＋≥2＋＝，＝≤(当且仅当t＝2时等号成立)，因为≥，所以＝＋＝22－≥1(当且仅当t＝2时等号成立)，故a的取值范围为.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
[解]
得x2＋x－6<0，
所以－3故A＝{x|－3由集合B可得：解得－1B＝{x|－1A∩B＝{x|－1则a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.
18．(本小题满分12分)已知函数y＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
[解] (1)因为函数y＝的定义域为R，所以ax2＋2ax＋1≥0，恒成立．
①当a＝0时，1≥0恒成立；
②当a≠0时，则
解得0综上，a的取值范围为[0,1]．
(2)由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0.
因为0≤a≤1，
所以①当1－a>a，
即0≤a<时，
a②当1－a＝a，即a＝时，2<0，不等式无解；
③当1－a1－a综上所述，当0≤a<时，解集为(a,1－a)；
当a＝时，解集为?；
当19．(本小题满分12分)a，b，c∈R，证明不等式：a4＋b4＋c4≥abc(a＋b＋c)．
[证明] 因为a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2，
所以2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)
即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
又因为a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，
c2a2＋a2b2≥2a2bc.
所以2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)，
即a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．
所以a4＋b4＋c4≥abc(a＋b＋c)．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x≠a，a为非零常数)．
(1)解不等式f(x)(2)设x>a时，f(x)有最小值为6，求a的值．
[解] (1)f(x)整理得(ax＋3)(x－a)<0.
当a>0时，(x－a)<0，
∴解集为；
当a<0时，(x－a)>0，
解集为.
(2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t>0)，
∴f(x)＝
＝t＋＋2a
≥2＋2a
＝2＋2a.
当且仅当t＝，
即t＝时，等号成立，
即f(x)有最小值2＋2a.
依题意有2＋2a＝6，
解得a＝1.
21．(本小题满分12分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
[解] (1)y＝＝≤＝≈11.08.
当v＝，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时．
(2)据题意有：≥10，
化简得v2－89v＋1 600≤0，
即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x＋2－x.
(1)解不等式f(x)＞；
(2)若对任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．
[解] (1)设2x＝t＞0，则2－x＝，
∴t＋＞，
则2t2－5t＋2＞0，
解得t＜或t＞2，
即2x＜或2x＞2，
∴x＜－1或x＞1.
∴f(x)＞的解集为{x|x＜－1或x＞1}．
(2)f(x)＝2x＋2－x，
令t＝2x＋2－x，则t≥2(当且仅当x＝0时，等号成立)．
又f(2x)＝22x＋2－2x＝t2－2，
故f(2x)≥mf(x)－6可化为t2－2≥mt－6，
即m≤t＋，
又t≥2，t＋≥2＝4
(当且仅当t＝2，即x＝0时等号成立)．
∴m≤min＝4.即m的最大值为4.
