1.1 正弦定理
第1课时 正弦定理(1)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．(难点)
2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．(重点)
1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养学生逻辑推理的核心素养.
2.借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养学生数学运算的核心素养.
1．正弦定理
三角形的各边和它所对角的正弦之比相等．
即＝＝.
思考1：正弦定理的适用范围是什么？
[提示] 正弦定理对任意三角形都成立．
思考2：在△ABC中，、、各自等于什么？
[提示] ＝＝＝2R(R为三角形的外接圆半径)．
2．解斜三角形
(1)解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余未知元素的过程．
(2)利用正弦定理可以解决的两类解斜三角形的问题
①已知两角与任一边，求其他两边和一角；
②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．
思考3：正弦定理的主要功能是什么？
[提示] 正弦定理实现了三角形中边角关系的转化．
1．判断正误
(1)正弦定理适用于所有三角形． ( )
(2)在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C． ( )
(3)＝＝＝2R，其中R为△ABC的外接圆的半径．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝________.
[根据＝，有＝，得sin B＝.]
3．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝________.
2 [由正弦定理可知，＝，所以AC＝＝＝2.]
正弦定理的证明
【例1】 在钝角△ABC中，证明正弦定理．
[证明] 如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，
根据正弦函数的定义知：
＝sin∠CAD＝sin(180°－A)
＝sin A，＝sin B.
∴CD＝bsin A＝asin B.
∴＝.
同理，＝.
故＝＝.
1．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使理解更深刻，记忆更牢固．
2．要证＝，只需证asin B＝bsin A，而asin B，bsin A都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
1．如图所示，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明＝2R.
[证明] 连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，
则圆周角∠A′＝∠A.
∵A′B为直径，长度为2R，
∴∠A′CB＝90°，
∴sin A′＝＝，
∴sin A＝，即＝2R.
已知两角及一边解三角形
【例2】 在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
[解] 因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.
由＝得a＝＝10×＝10.
因为sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，所以b＝＝＝20×＝5＋5.
已知三角形的两角和任一边解三角形的思路
?1?若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角.
?2?若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边.
2．在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.
[解] 由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
由正弦定理＝，
得c＝a·＝5·＝5·
＝5·
＝(＋).
已知两边及一边的对角解三角形
【例3】 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
(2)在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形．
(1)75° [由题意得：＝，所以sin B＝＝＝，因为b＜c，所以B＝45°，所以A＝180°－B－C＝75°.]
(2)[解] 因为＝，所以sin C＝＝＝.因为0°＜C＜180°，所以C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
所以b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
?1?首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
?2?如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；
?3?如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.
3．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则角C等于( )
A.或 B.
C. D.
C [由正弦定理，得sin C＝＝.因为BC＞AB，所以A＞C，则0＜C＜，故C＝.]
4．已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是( )
A．x＞2 B．x＜2
C．2＜x＜2 D．2＜x＜2
C [由asin B＜b＜a，得x＜2＜x，所以2＜x＜2.]
三角形形状的判断
[探究问题]
1．由＝2R，＝2R，＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？
[提示] (角化边)sin A＝，sin B＝，sin C＝，
(边化角)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
(边角互化)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
2．三角形中常见边角之间的关系有哪些？
[提示] 在△ABC中，(1)a＋b＞c，|a－b|＜c.
(2)a＞b?A＞B?sin A＞sin B.
(3)A＋B＋C＝π?sin(A＋B)＝sin C，
sin＝cos.
【例4】 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
思路探究：解决本题的关键是利用sin A＝，sin B＝，sin C＝把sin2A＝sin2B＋sin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sin A＝2sin Bcos C求解．
[解] 法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，
∴sin B＝.
∵0°∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，
得＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．
∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0.
又－90°∴△ABC是等腰直角三角形．
(变条件)将本例题条件“sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝acos C”其它条件不变，试判断△ABC的形状．
[解] ∵b＝acos C，
由正弦定理，得
sin B＝sin Acos C．(*)
∵B＝π－(A＋C)，
∴sin B＝sin(A＋C)，从而(*)式变为
sin(A＋C)＝sin Acos C.
∴cos Asin C＝0.
又∵A，C∈(0，π)，
∴cos A＝0，A＝，即△ABC是直角三角形．
1．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系．
2．注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如＝等．
1．本节课要牢记正弦定理及其常见变形
(1)＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)＝＝＝；
(4)在△ABC中，sin A＞sin B?A＞B?a＞b.
2．要掌握正弦定理的三个应用
(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
(3)判断三角形的形状．
3．本节课的易错点有两处
(1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况．
(2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”．
1．判断正误
(1)正弦定理只适用于锐角三角形．( )
(2)正弦定理不适用于直角三角形．( )
(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值是一定值．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] 正弦定理适用于任意三角形，故(1)(2)均不正确．
2．在△ABC中，若c＝2acos B，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．不等边三角形
B [由正弦定理知c＝2Rsin C，a＝2Rsin A，
故sin C＝2sin Acos B＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin Acos B＝cos Asin B，
即sin(A－B)＝0，所以A＝B.
故△ABC为等腰三角形．]
3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝60°，那么A等于( )
A．135° B．90°
C．45° D．30°
C [由＝得sin A＝＝＝，
∴A＝45°或135°.
又∵a∴A＝45°.]
4．已知在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，解这个三角形．
[解] 由正弦定理及已知条件有＝，得sin A＝.
∵a>b，∴A>B＝45°.∴A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝＝＝；
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝＝＝.
综上，可知A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝.
