1.2 余弦定理
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握余弦定理及其推论．(重点)
2.掌握正、余弦定理的综合应用．(重点)
3.能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)
1.借助余弦定理的推导过程，提升学生的逻辑推理素养.
2.通过余弦定理的应用，提升学生的数学运算素养.
1．余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
即a2＝b2＋c2－2bccos_A，
b2＝c2＋a2－2cacos_B，
c2＝a2＋b2－2abcos_C.
思考1：根据勾股定理，若△ABC中，C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcos C．①
试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？
[提示] 当a＝b＝c时，C＝60°，
a2＋b2－2abcos C＝c2＋c2－2c·ccos 60°＝c2，
即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcos C.
思考2：在c2＝a2＋b2－2abcos C中，abcos C能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？
[提示] abcos C＝||·||cos〈，〉＝·.
∴a2＋b2－2abcos C
＝＋－2·
＝(－)2＝＝c2.
猜想得证．
2．余弦定理的变形
(1)余弦定理的变形
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝.
(2)余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为直角；c2>a2＋b2?C为钝角；c2
思考3：勾股定理和余弦定理有何联系与区别？
[提示] 二者都反映了三角形三边之间的平方关系；其中余弦定理反映了任意三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例．
1．在△ABC中，若b＝1，c＝，A＝，则a＝________.
1 [a＝＝1.]
2．在△ABC中，若a＝5，c＝4，cos A＝，则b＝________.
6 [由余弦定理可知
25＝b2＋16－2×4bcos A，
即b2－b－9＝0，
解得b＝6.]
3．在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，则B＝________.
60° [cos B＝＝＝，
∴B＝60°.]
4．在△ABC中，若b2＋c2－a2<0，则△ABC必为________三角形．
钝角 [∵cos A＝<0，
∴A∈(90°，180°)．∴△ABC必为钝角三角形．]
已知两边与一角解三角形
【例1】 在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，角C和边a.
[解] 法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，
∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或6.
当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.
当a＝6时，由正弦定理sin A＝＝＝1.
∴A＝90°，∴C＝60°.
法二：由bcsin 30°＝3×＝知本题有两解．
由正弦定理sin C＝＝＝，
∴C＝60°或120°，当C＝60°时，A＝90°，
由勾股定理a＝＝＝6，
当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，
∴a＝3.
已知三角形的两边及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理?已知两边和一边的对角?求解.
若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题?在?0，π?上，余弦值所对角的值是唯一的?，故用余弦定理求解较好.
1．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形．
[解] 根据余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos 45°＝8，
∴b＝2.
又∵cos A＝
＝＝，
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
已知三边解三角形
【例2】 已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC的各角的大小．
思路探究：已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而问题转化为已知三边求三角，可利用余弦定理求解．
[解] 设a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)，
利用余弦定理，
有cos A＝＝＝，
∴A＝45°.同理可得cos B＝，B＝60°.
∴C＝180°－A－B＝75°.
1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．
2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．
2．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sin C.
[解] ∵a>c>b，∴A为最大角，
由余弦定理的推论，得：
cos A＝＝＝－，
∴A＝120°，∴sin A＝sin 120°＝.
由正弦定理＝，得：
sin C＝＝＝，
∴最大角A为120°，sin C＝.
正、余弦定理的综合应用
[探究问题]
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之说法正确吗？为什么？
[提示] 设△ABC的外接圆半径为R.
由正弦定理的变形，将a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C.反之将sin A＝，sin B＝，sin C＝代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确．
2．在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝成立吗？反之若C＝，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？
[提示] 因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cos C＝＝0，即cos C＝0，所以C＝，反之若C＝，则cos C＝0，即＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.
【例3】 在△ABC中，若(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC的形状．
思路探究：
[解] 法一：(角化边)∵(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，
∴由正、余弦定理可得：
·b＝·a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.
∴a2＋b2＝c2或a＝b.
故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：
(sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A，
即sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A.
∵sin C≠0，
∴sin Bcos B＝sin Acos A.
∴sin 2B＝sin 2A.
∴2B＝2A或2B＋2A＝π，
即A＝B或A＋B＝.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
1．(变条件)将例题中的条件“(a－ccos B)·sin B＝(b－ccos A)·sin A”换为“acos A＋bcos B＝ccos C”其它条件不变，试判断三角形的形状．
[解] 由余弦定理知cos A＝，cos B＝，cos C＝，代入已知条件得a·＋b·＋c·＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
2．(变条件)将例题中的条件“(a－ccos B)·sin B＝(b－ccos A)·sin A”换为“lg a－lg c＝lg sin B＝－lg 且B为锐角”，判断△ABC的形状．
[解] 由lg sin B＝－lg ＝lg ，
可得sin B＝，又B为锐角，∴B＝45°.
由lg a－lg c＝－lg ，得＝，
∴c＝a.
又∵b2＝a2＋c2－2accos B，
∴b2＝a2＋2a2－2a2×＝a2，
∴a＝b，即A＝B.又B＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状.
1．本节课要掌握的解题方法
(1)已知三角形的两边与一角，解三角形．
(2)已知三边解三角形．
(3)利用余弦定理判断三角形的形状．
2．本节课的易错点有两处
(1)正弦定理和余弦定理的选择
已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．
(2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．
1．判断正误
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．( )
(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．( )
(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] 由余弦定理可知，已知△ABC的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以△ABC是唯一的，(3)错误．
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( )
A. B. C. D.
B [由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cos C＝＝＝，所以C＝，故选B.]
3．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
A [∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，
∴
解得3c2＝bc，
∴＝6.
故选A.]
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝a，则cos A＝________.
[由B＝C,2b＝a，
可得b＝c＝a，
所以cos A＝
＝＝.]
5．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
[解] 在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B＝82－2×15－2×15×＝19.
∴b＝.
课件50张PPT。第一章 解三角形1.2 余弦定理234a2＋b2－2abcos Cb2＋c2－2bccos Ac2＋a2－2cacos B5678锐角直角钝角9101112131415已知两边与一角解三角形161718192021已知三边解三角形2223242526正、余弦定理的综合应用2728293031323334353637383940414243444546474849点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三) 余弦定理
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
B [∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，∴A＝60°.]
2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是( )
A．－ B．－
C．－ D．－
C [由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×＝9，所以c＝3，故a最大，
所以最大角的余弦值为cos A＝＝＝－.]
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
C [由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．]
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A. B．8－4
C．1 D.
A [由 (a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝.]
5．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是( )
A．1C.C [若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，∴a<，若c为最大边，则a2＋b2>c2，即a2>3，∴a>，故二、填空题
6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
0 [∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°
＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.]
7．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
1 [∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴()2＝a2＋12－2a×1×cos ，∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1，或a＝－2(舍去)．∴a＝1.]
8．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是________．
[由正弦定理知：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．设sin A＝5k，sin B＝7k，sin C＝8k，
∴a＝10Rk，b＝14Rk，c＝16Rk，
∴a∶b∶c＝5∶7∶8，
∴cos B＝＝，∴B＝.]
三、解答题
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
[解] (1)由正弦定理得＝＝2R，R为△ABC外接圆半径．
又bsin A＝acos B，
所以2Rsin Bsin A＝·2Rsin Acos B.
又sin A≠0，
所以sin B＝cos B，所以tan B＝.
又因为0(2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a.
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得9＝a2＋c2－ac，
所以a2＋4a2－2a2＝9，
解得a＝，故c＝2.
10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos (A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长．
[解] (1)∵cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝－，且C∈(0，π)，
∴C＝.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴
∴AB2＝b2＋a2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝.
[能力提升练]
1．在△ABC中，有下列关系式：
①asin B＝bsin A；②a＝bcos C＋ccos B；③a2＋b2－c2＝2abcos C；④b＝csin A＋asin C．一定成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C [对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，又sin B＝sin(A＋C)＝cos Csin A＋cos Csin A，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C.]
2．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是( )
A. B.
C. D.
A [cos B＝＝
＝＋≥，
∵03．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，则第三边c的长为________．
4 [5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0，
∴x1＝，x2＝－2(舍去)，
∴cos C＝.
根据余弦定理，
c2＝a2＋b2－2abcos C
＝52＋32－2×5×3×＝16，
∴c＝4，即第三边长为4.]
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，则cos A的值是________．
[由2sin B＝3sin C及正弦定理可得2b＝3c，
由b－c＝a可得a＝c，b＝c，
由余弦定理可得cos A＝＝.]
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝.
(1)求b和sin A的值；
(2)求sin的值．
[解] (1)在△ABC中，因为a＞b，
故由sin B＝，可得cos B＝.
由已知及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝13，
所以b＝.
由正弦定理＝，
得sin A＝＝.
所以b的值为，sin A的值为.
(2)由(1)及a＜c，得cos A＝，
所以sin 2A＝2sin Acos A＝，
cos 2A＝1－2sin2A＝－.
故sin＝sin 2Acos ＋cos 2Asin＝×＝.
