1.3 正弦定理、余弦定理的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)
2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题．(重点)
通过利用正、余弦定理求解实际问题中的长度、高度，培养学生的直观想象及数学建模素养.
正、余弦定理在物理学中的应用
【例1】 如图，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10 N，且OA，OB都是细杆，只受沿杆方向的力．试求杆OA，OB所受的力．
思路探究：先借助向量的合成与分解画出图示，然后借助正弦定理求解．
[解] 如图，作＝F，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解，即作?OCED，则＝＝F1，＝F2.由题设条件可知，||＝10，∠OCE＝50°，∠OEC＝70°，所以∠COE＝180°－50°－70°＝60°.
在△OCE中，由正弦定理，
得＝，＝，
因此，|F1|＝≈11.3 N，
|F2|＝≈12.3 N.
即灯杆OA所受的力为11.3 N，灯杆OB所受的力为12.3 N.
在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.
1．作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡．已知F1＝30 N，F2＝50 N，F1与F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向(精确到0.1°)．
[解] F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图，在△OF1F中，由余弦定理，得
F＝＝70(N)，
再由正弦定理，得
sin∠F1OF＝＝，
所以∠F1OF≈38.2°，从而∠F1OF3≈141.8°.
即F3为70 N，F3和F1间的夹角为141.8°.
正、余弦定理在几何中的应用
【例2】 如图，在△ABC中，B＝，AC＝2，cos C＝.
(1)求sin∠BAC的值；
(2)设BC的中点为D，求中线AD的长．
思路探究：(1)
(2)
[解] (1)因为cos C＝，且C是三角形的内角，
所以sin C＝＝＝.
所以sin∠BAC＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C
＝×＋×＝.
(2)在△ABC中，由正弦定理得，
＝，则
BC＝×sin∠BAC＝×＝6，
所以CD＝BC＝3.
又在△ADC中，AC＝2，cos C＝，
所以由余弦定理得，
AD＝
＝＝.
(三角形中几何计算问题的解题思路
?1?正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决.
?2?此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件.
2.如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.
(1)求cos∠CBE的值；
(2)求AE.
[解] (1)因为∠BCD＝90°＋60°＝150°，
CB＝AC＝CD，所以∠CBE＝15°.
所以cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝.
(2)在△ABE中，AB＝2，
由已知和(1)知∠ABE＝∠ABC－∠CBE＝45°－15°＝30°，
∠AEB＝∠ACB＋∠EBC＝90°＋15°＝105°，
由正弦定理，得＝，
∴AE＝＝＝－.
正、余弦定理在测量学中的应用
[探究问题]
1．如图，A，B两点在河的对岸，且不可到达，如何测量其两点间的距离？
[提示] 在河岸这边选取点C，D，测得CD＝a，∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，则在△ACB和△ACD中应用正弦定理可求AC，BC的长，进而在△ACB中应用余弦定理求AB.
2．如图，如何测量山顶塔AB的高？(测量者的身高忽略不记)
[提示] 测量者在山下先选择一基点P，测出此时山顶的仰角α，前进a米后，再测出此时山顶的仰角β，则借助直角三角形的边角关系可求塔顶距地面的高h，进而利用AB＝h－H求解．
【例3】 如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里每小时，该救援船到达D点至少需要几个小时？
思路探究：在△ABD中，利用正弦定理求出BD的长，再在△DBC中利用余弦定理求出DC的长，进而求时间．
[解] 由题意知AB＝5(3＋)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，所以∠ADB＝105°，
所以sin 105°＝sin 45°cos 60°＋sin 60°cos 45°＝×＋×＝，
在△ABD中，由正弦定理得＝，
所以BD＝＝＝＝＝10，
又∠DBC＝180°－60°－60°＝60°，BC＝20，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BCcos 60°
＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
所以CD＝30(海里)，则至少需要的时间t＝＝1(小时)．
本例中，A与B的距离改为“5(＋)海里”，点C的位置改为“位于A点南偏西15°且与A点相距10海里，如图所示”，其他条件不变，应如何解答？
[解] 在△ABD中，由正弦定理得＝，
所以AD＝＝＝＝10.
在△ACD中，∠CAD＝90°＋45°＋15°＝150°，AD＝10，AC＝10，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2×AD×ACcos 150°＝100＋300－2×10×10×＝700，
所以CD＝10(海里)，则需要的时间t＝＝(小时)．
1．解决测量高度问题的一般步骤
(1)画图：根据已知条件画出示意图；
(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形；
(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．
2．测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．
提醒：解题时要注意题目条件和实际意义中的隐含信息，避免出现增解或漏解．
1．本节课要掌握四类问题的解法
(1)测量距离问题．
(2)测量高度问题．
(3)角度问题．
(4)与立体几何有关的测量问题．
2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之．
(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．
1．判断正误
(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．( )
(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．( )
(3)东偏北45°的方向就是东北方向．( )
(4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
[提示] 已知三角形中至少知道一条边才能解三角形，故(1)错．两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求出，故(2)错．
2．身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( )
A．d1>d2 B．d1C．d1>20 m D．d2<20 m
B [如图，设旗杆高为h，
则d1＝，d2＝.
因为tan 50°>tan 40°，所以d13．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为________．
6 km [v实＝＝2(km/h)．所以实际航程为2×＝6(km)．]
4．某市在“旧城改造”工程中，计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a元/m2，则购买这种草皮需要________元．
150a [∵S△＝×20×30×sin 150°＝×20×30×＝150(m2)，
∴购买这种草皮需要150a元．]
5．如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？
[解] 在△ACD中，应用正弦定理得
AC＝
＝＝＝20(1＋)(m)，
在△BCD中，应用正弦定理得BC＝
＝＝40(m)．
在△ABC中，由余弦定理得AB＝
＝20(m)．
课件45张PPT。第一章 解三角形1.3 正弦定理、余弦定理的应用正、余弦定理在物理学中的应用正、余弦定理在几何中的应用正、余弦定理在测量学中的应用点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(四) 正弦定理、余弦定理的应用
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A．12 m B．8 m
C．3 m D．4 m
D [由题意知，A＝B＝30°，
所以C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理得，＝，
即AB＝＝＝4.]
2．如图所示，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B间距离是( )
A．20米 B．20米
C．20米 D．40米
C [可得DB＝DC＝40，由正弦定理得AD＝20(＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB＝20(米)．]
3．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为( )
A．20 m B．30 m C．40 m D．60 m
C [如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20，
在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60，
∴AB＝OA－OB＝40(m)．]
4．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD在水平面上，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
B [∵AD2＝602＋202＝4 000，
AC2＝602＋302＝4 500，
在△ACD中，由余弦定理得
cos∠CAD＝＝，∠CAD∈(0°，180°)，
∴∠CAD＝45°.]
5．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为( )
A．15 m B．20 m
C．25 m D．30 m
D [设建筑物的高度为h，由题图知，
PA＝2h，PB＝h，PC＝h，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，
得cos∠PBA＝，①
cos∠PBC＝.②
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，
∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③
由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30 m．]
二、填空题
6．若两人用大小相等的力F提起重为G的货物，且保持平衡，则两力的夹角θ的余弦值为________．
[如图，由平行四边形法则可知，
||＝G，
在△AOB中，由余弦定理可得
||2＝F2＋F2－2F·Fcos(π－θ)．
∵||＝G，
∴2F2(1＋cos θ)＝G2，
∴cos θ＝.]
7．如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别是75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于________ m.
120(－1) [由题意可知，AC＝＝120.
∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
于是BC＝＝＝120(－1)(m)．]
8.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．
[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)
＝cos∠BAD＝，
∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，
∴BD＝.]
三、解答题
9．如图所示，一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C，D分别在北偏东45°和北偏东30°方向，此人向东走300米到达B处之后，再看C，D，则分别在北偏西15°和北偏西60°方向，求目标C，D之间的距离．
[解] 由题意得，在△ABD中，因为∠DAB＝60°，∠DBA＝30°，所以∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，
因为AB＝300，所以BD＝300·sin 60°＝150，
在△ABC中，因为∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝60°.由正弦定理得＝，
所以BC＝×＝100，在△BCD中，因为BC＝100，BD＝150，∠CBD＝45°，
由余弦定理得
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝37 500，所以CD＝50.
所以目标C，D之间的距离为50米．
10．如图，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sin B＝，求BC边上的高AD.
[解] 在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，由正弦定理，得＝，
∴sin C＝×＝，∴C＝60°(C＝120°舍去，否则由8x>7x，知B也为钝角，不符合要求)．
由余弦定理，得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos 60°，
∴x2－8x＋15＝0.
∴x＝3或x＝5，∴AB＝21或AB＝35.
在△ABC中，AD＝ABsin B＝AB，
∴AD＝12或AD＝20.
[能力提升练]
1．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )
A.分钟 B.分钟
C．21.5分钟 D．2.15小时
A [如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos 120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos 120°＝28t2－20t＋100＝282＋.
当t＝时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为×60＝分钟．]
2．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是( )
A．100 m B．400 m
C．200 m D．500 m
D [设AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500 m，由余弦定理得(x)2＝x2＋5002－2×500xcos 120°，解得x＝500 m．]
3.如图所示，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________m.
50 [连结OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17 500，
∴OC＝50.]
4．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为________小时．
1 [设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cos A，即302＝x2＋402－2x·40cos 45°，
化简得x2－40x＋700＝0，
|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，
|x1－x2|＝20，
即图中的CD＝20(千米)，
故t＝＝＝1(小时)．]
5．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cos B＝，cos ∠ADC＝－.
(1)求sin ∠BAD的值；
(2)求AC边的长．
[解] (1)因为cos B＝，所以sin B＝.
又cos ∠ADC＝－，所以sin ∠ADC＝.
所以sin ∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin ∠ADCcos B－cos ∠ADCsin B＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理，得＝，即＝，解得BD＝2.
故DC＝2，从而在△ADC中，由余弦定理，得
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC
＝32＋22－2×3×2×＝16，所以AC＝4.
