2.1 数列
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(难点)
2．理解数列的通项公式及简单应用．(重点)
3．数列与集合、函数等概念的区别与联系．(易混点)
1.通过数列概念及数列通项的学习，体现了数学抽象及逻辑推理素养．
2．借助数列通项公式的应用，培养学生的逻辑推理及数学运算素养.
1．数列的概念
按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
2．数列的表示
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，an称为第n项．
思考1：数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
[提示] 不是，顺序不一样．
思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？
[提示] 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．
3．数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，k})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．
4．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．
思考3：数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
[提示] 如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．
1．数列3,4,5,6，…的一个通项公式为( )
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝n＋2 D．an＝2n
C [经验证可知，它的一个通项公式为an＝n＋2.]
2．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项．
24 [an＝n(n＋1)＝600＝24×25，所以n＝24.]
3．数列{an}满足an＝log2(n2＋3)－2，则log23是这个数列的第________项．
3 [令an＝log2(n2＋3)－2＝log23，
解得n＝3.]
4．数列1,2, ，，，…中的第26项为________．
2 [因为a1＝1＝，a2＝2＝，
a3＝，a4＝，a5＝，所以an＝，
所以a26＝＝＝2.]
根据数列的前n项写出通项公式
【例1】 写出下列数列的一个通项公式．
(1)，2，，8，，…；
(2)9,99,999,9 999，…；
(3)，，，，…；
(4)－，，－，，….
思路探究：―→―→―→
[解] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝(n∈N*)．
(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，….此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1(n∈N*)．
(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an＝(n∈N*)．
(4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n(n∈N*)．
用观察法求数列的通项公式的一般规律
(1)一般数列通项公式的求法
(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号问题．
(3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
1．写出下列数列的一个通项公式．
(1)3,5,9,17,33，…；
(2)，，，，，…；
(3)，－1，，－，，－，….
[解] (1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….
所以an＝2n＋1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，
所以an＝.
(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为，－，所以an＝(－1)n＋1.
通项公式的简单应用
【例2】 已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n.
(1)写出数列的前3项；
(2)判断45是否为{an}中的项？3是否为{an}中的项？
思路探究：(1)令n＝1,2,3求解即可；
(2)令an＝45或an＝3解n便可．
[解] (1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为：1,6,15.
(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，
解得n＝5或n＝－(舍去)，
故45是数列{an}中的第5项．
令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，
解得n＝－1或n＝，即方程没有正整数解，
故3不是数列中的项．
1．如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．
2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下：
(1)将所给的数代入通项公式中；
(2)解关于n的方程；
(3)若n为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项．
提醒：数列项的取值为正的自然数，是离散的，解题时要关注n的取值特点．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？
[解] (1)令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列{an}中的第21项．
令an＝1，得＝1，
而该方程无正整数解，
∴1不是数列{an}中的项．
(2)假设存在连续且相等的两项为an，an＋1，
则有an＝an＋1，
即＝，
解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．
数列的性质
[探究问题]
1．数列是特殊的函数，能否利用函数求最值的方法求数列的最大(小)项？
[提示] 可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函数与数列的差异，数列{an}中，n∈N*.
2．如何定义数列{an}的单调性？
[提示] 对于数列的单调性的判断一般要通过比较an＋1与an的大小来判断，若an＋1>an，则数列为递增数列，若an＋1
【例3】 设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn(n∈N*)．数列{an}是单调递增的，求实数k的取值范围．
思路探究：利用二次函数的单调性，求得k的取值范围．
[解] ∵an＝n2＋kn，其图象的对称轴为n＝－，
∴当－≤1，即k≥－2时，
{an}是单调递增数列．
另外，当1<－<2且－1<2－，
即－3∴k的取值范围是(－3，＋∞)．
1．(变结论)求本例中k＝－13时数列{an}的最小项．
[解] 由题意知n2－13n＝2－，
由于函数f(x)＝－在上是减函数，在上是增函数，故当n＝6或7时，f(n)＝n2－13n取得最小值－42.
所以数列{an}的最小项为a6＝a7＝－42.
2．(变条件)本例中“单调递增”改为“单调递减”，那么这样的实数k是否存在？如果存在，求实数k的范围，若不存在说明理由．
[解] 要使{an}是单调递减数列，
必须an>an＋1恒成立，
即n2＋kn>(n＋1)2＋k(n＋1)对任意n∈N*恒成立．
整理得k<－2n－1对任意n∈N*恒成立，
因为f(n)＝－2n－1(n∈N*)没有最小值，
故不存在实数k使an＝n2＋kn单调递减．
1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调．
2．求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若则an为最大项；若则an为最小项．
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
1．判断正误
(1)数列1,1,1，…是无穷数列．( )
(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列．( )
(3)有些数列没有通项公式．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
[提示] (1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．
(2)错误．虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．
(3)正确．某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．
2．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于( )
A．11 B．12
C．13 D．14
C [观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x＝5＋8＝13.]
3．已知数列2，，4，…，，…，则8是该数列的第________项．
11 [令＝8，得n＝11.]
4．已知数列.
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．
[解] 设f(n)＝
＝＝.
(1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明：∵an＝＝＝1－，
又n∈N*，
∴0<<1，∴0即数列中的各项都在区间(0,1)内．
课件51张PPT。第二章 数列2.1 数列无穷项有穷首项{an}an＝f(n)从小到大函数值第n项序号n通项公式列表图象根据数列的前n项写出通项公式通项公式的简单应用数列的性质点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五) 数列
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
A [an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．]
2．数列－，3，－3，9，…的一个通项公式是( )
A．an＝(－1)n(n∈N*)
B．an＝(－1)n(n∈N*)
C．an＝(－1)n＋1(n∈N*)
D．an＝(－1)n＋1(n∈N*)
B [把前四项统一形式为－，，－，，可知它的一个通项公式为an＝(－1)n.]
3．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项为( )
A. B．－
C. D．－
D [易知，数列的通项公式为an＝(－1)n·，当n＝5时，该项为(－1)5·＝－.]
4．已知数列的通项公式为an＝则a2a3等于( )
A．20 B．28
C．0 D．12
A [a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2a3＝2×10＝20.]
5．数列{an}中，an＝2n2－3，则125是这个数列的第几项( )
A．4 B．8
C．7 D．12
B [令2n2－3＝125得n＝8或n＝－8(舍)，故125是第8项．]
二、填空题
6．数列{an}的通项公式an＝，则－3是此数列的第________项．
9 [令＝－3，
即－＝－3，∴n＝9.]
7．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
2 [∴a2－a＝2，
∴a＝2或－1，又a<0，∴a＝－1.
又a＋m＝2，∴m＝3，∴an＝(－1)n＋3，
∴a3＝(－1)3＋3＝2.]
8．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.
① ②
[因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，
OAn＝，…，
所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.]
三、解答题
9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)，，，，…；
(2)1,3,6,10,15，…；
(3)7,77,777，….
[解] (1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即，，，，…，于是它们的分母依次相差3，因而有an＝.
(2)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即，，，，，…，因而有an＝.
(3)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有an＝(10n－1)．
10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2 019；
(3)2 019是否为数列{an}中的项？
[解] (1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有
解得k＝4，b＝－2，∴an＝4n－2.
(2)a2 019＝4×2 019－2＝8 074.
(3)由4n－2＝2 019得n＝505.25?N*，
故2 019不是数列{an}中的项．
[能力提升练]
1．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积为( )
A. B．5
C．6 D.
B [a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5.]
2．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，3)
C．(－∞，2) D．(－∞，3]
B [an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，又{an}单调递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可．]
3．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
9 [由an＝19－2n>0，得n<.
∵n∈N*，∴n≤9.]
4．根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．
n2－n＋1 [观察图形可知，第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．]
5．如果连续自然数数列a1，a2，…，an，…满足lg 2＋lg1＋＋lg＋…＋lg＝lg n，那么这个数列最多有几项？并求数列的前n项和Sn.
[解] 由已知得：
2···…·＝n，
即2····…·＝n.
∵a1，a2，…，an，…为连续自然数，
∴上式可化简为2·＝n，即2·＝n，
∴2n＋2a1＝na1，即(n－2)(a1－2)＝4.
若要n最大，且n∈N＋，则只能有
∴
∴该数列最多有6项，首项为3，
∴S6＝3＋4＋5＋6＋7＋8＝33.
