2.2 等差数列
2.2.1 等差数列的概念
2.2.2 等差数列的通项公式
第1课时 等差数列的概念及通项公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．(重点)
2．会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．(重点)
3．等差数列的证明及其应用．(难点)
1.通过等差数列的通项公式的应用，提升数学运算素养．
2．借助等差数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.
1．等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．
思考1：等差数列定义中，为什么要注明“从第二项起”？
[提示] 第1项前面没有项，无法与前一项作差．
思考2：等差数列定义中的“同一个”三个字可以去掉吗？
[提示] 不可以．如果差是常数，而这些常数不相等，则不是等差数列．
2．等差数列的通项公式
对于等差数列{an}的第n项an，有an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.
思考3：已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项公式an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项公式an?
[提示] 设等差数列的首项为a1，
则am＝a1＋(m－1)d，
变形得a1＝am－(m－1)d，
则an＝a1＋(n－1)d
＝am－(m－1)d＋(n－1)d
＝am＋(n－m)d.
1．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝( )
A．4－2n B．2n－4
C．6－2n D．2n－6
C [an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.]
2．等差数列－6，－3,0,3，…的公差d＝________.
3 [(－3)－(－6)＝3，故d＝3.]
3．下列数列：
①0,0,0,0；
②0,1,2,3,4；
③1,3,5,7,9；
④0,1,2,3，….
其中一定是等差数列的有________个．
3 [①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．]
4．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于________．
60° [因为三内角A、B、C成等差数列，
所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，
所以3B＝180°，所以B＝60°.]
等差数列的判定与证明
【例1】 判断下列数列是否为等差数列．
(1)在数列{an}中，an＝3n＋2；
(2)在数列{an}中，an＝n2＋n.
思路探究：―→―→
[解] (1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意性知，这个数列为等差数列．
(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．
1．定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为：
(1)作差an＋1－an；
(2)对差式进行变形；
(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
2．应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变．
提醒：当n≥2时，an＋1－an＝d(d为常数)，无法说明数列{an}是等差数列，因为a2－a1不一定等于d.
1．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)确定．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2 019.
[解] (1)因为f(x)＝，数列{xn}的通项xn＝f(xn－1)，
所以xn＝，所以＝＋，所以－＝，所以是等差数列．
(2)x1＝时，＝2，所以＝2＋(n－1)＝，所以xn＝，所以x2 019＝.
等差数列的通项公式
【例2】 已知数列{an}是等差数列，且a5＝10，a12＝31.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若an＝13，求n的值．
思路探究：建立首项a1和d的方程组求an；由an＝13解方程得n.
[解] (1)设{an}的首项为a1，公差为d，则由题意
可知解得∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5.
(2)由an＝13，得3n－5＝13，解得n＝6.
1．从方程的观点看等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．
2．已知数列的其中两项，求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形an＝am＋(n－m)d.
2．已知递减等差数列{an}前三项的和为18，前三项的积为66.求该数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
[解] 依题意得
∴
解得或
∵数列{an}是递减等差数列，
∴d<0.故取a1＝11，d＝－5.
∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16，
即等差数列{an}的通项公式为
an＝－5n＋16.
令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.
∴－34是数列{an}的第10项．
等差数列的应用
[探究问题]
1．若数列{an}满足＝＋1且a1＝1，则a5如何求解？
[提示] 由＝＋1可知－＝1.
∴{}是首项＝1，公差d＝1的等差数列．
∴＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝n2，∴a5＝52＝25.
2．某剧场有20排座位，第一排有20个座位，从第2排起，后一排都比前一排多2个座位，则第15排有多少个座位？
[提示] 设第n排有an个座位，由题意可知
an－an－1＝2(n≥2)．
又a1＝20，∴an＝20＋(n－1)×2＝2n＋18.
∴a15＝2×15＋18＝48.即第15排有48个座位．
【例3】 某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
思路探究：分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可．
[解] 由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，每年获利构成等差数列{an}，且当an<0时，该公司会出现亏损．
设从第1年起，第n年的利润为an，则an－an－1＝－20，n≥2，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20.
所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
1．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．
2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．
3．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：
时间t(s)
1
2
3
…
？
…
60
距离s(cm)
9.8
19.6
29.4
…
49
…
？
(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？
(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？
[解] (1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9.8t.
(2)当t＝1 min＝60 s时，
s＝9.8t＝9.8×60＝588 cm.
当s＝49 cm时，t＝＝＝5 s.
1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)?{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)?{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
1．判断正误
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．( )
(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
[提示] (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．
2．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为( )
A．21 B．22
C．23 D．24
B [公差d＝a2－a1＝－4，
∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n，
令即?213．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2，则an＝________.
2n－1 [由an＋1＝an＋2，得an＋1－an＝2，
∴{an}是首项a1＝1，d＝2的等差数列，
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.]
4．已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，判断数列{an}是否为等差数列？说明理由．
[解] 因为an＝an－1＋2(n≥3)，
所以an－an－1＝2(常数)．
又n≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，
而a2－a1＝0≠a3－a2，
所以数列{an}不是等差数列．
课件43张PPT。第二章 数列2.2 等差数列
2.2.1 等差数列的概念
2.2.2 等差数列的通项公式
第1课时 等差数列的概念及通项公式公差同一个常数常数d (n－m)(n－1)等差数列的判定与证明等差数列的通项公式等差数列的应用点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 等差数列的性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握等差数列的有关性质．(重点、易错点)
2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)
1.通过等差数列性质的学习，体现了数学运算素养．
2．借助等差数列的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养.
1．等差数列与一次函数
(1)等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
(2)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知a1，d，am，an(m≠n)，则d＝＝，从而有an＝am＋(n－m)d.
思考1：已知等差数列中任意两项是否可以直接求公差？
[提示] 等差数列{an}的图象是均匀分布在一条直线上的孤立的点，任选其中两点(n，an)(m，am)(m≠n)，类比直线的斜率公式可知公差d＝.
2．等差中项
如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A＝.我们把A＝叫做a和b的等差中项．
3．等差数列的性质
(1)项的运算性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
(3)若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
(4){an}的公差为d，则d>0?{an}为递增数列；d<0?{an}为递减数列；d＝0?{an}为常数列．
思考2：等差数列{an}中，若a5＝7，a9＝19，则a2＋a12＝________，a7＝________.
[提示] ∵a2＋a12＝2a7＝a5＋a9＝26，
∴a2＋a12＝26，a7＝13.
思考3：还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？
[提示] 利用1＋100＝2＋99＝….
1．在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于( )
A．5 B．8 C．10 D．14
C [a1＋a7＝a3＋a5＝10.]
2．等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于( )
A．2 B．20 C．100 D．不确定
A [∵a100－a90＝10d，∴10d＝20，即d＝2.]
3．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝________.
33 [由题意得d＝＝＝3.
∴a14＝a8＋6d＝15＋18＝33.]
4．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.
15 [由等差数列的性质得a7＋a9＝a4＋a12＝16，
又∵a4＝1，∴a12＝15.]
等差中项及其应用
【例1】 已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．
思路探究：由x1，x4，x5成等差数列得出一个关于p，q的等式，结合x1＝3推出2p＋q＝3，从而得p，q.
[解] 由x1＝3，得2p＋q＝3， ①
又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4得，
3＋25p＋5q＝25p＋8q， ②
由①②得，q＝1，p＝1.
在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1?n≥2，n∈N*?，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.
1．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
[解] (1)∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，
∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5，
∴该数列为－1,1,3,5,7.
等差数列的性质及应用
【例2】 (1)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，求2a9－a10的值；
(2)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式；
(3)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
思路探究：(1)利用等差中项求解；
(2)利用m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq求解；
(3)利用d＝求解．
[解] (1)由等差数列的性质，得
a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，
∴a8＝24，又2a9＝a8＋a10，
∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
(2)∵a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9，
∴a5＝3，∴a2＋a8＝a3＋a7＝6，①
又a3a5a7＝－21，
∴a3a7＝－7.②
由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.
∴a3＝－1，d＝2，或a3＝7，d＝－2.
由通项公式的变形公式an＝a3＋(n－3)d，
得an＝2n－7或an＝－2n＋13.
(3)∵a60＝a15＋(60－15)d，
∴d＝＝，
∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.
解决本类问题一般有两种方法
一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw?m，n，p，q，w都是正整数?；
二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想.
提醒：递增等差数列d>0，递减等差数列d<0，解题时要注意数列的单调性对d的取值的限制.
2．已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66，求a2，a3，a4.
[解] ∵{an}为等差数列，∴2a3＝a2＋a4，∴3a3＝18，∴a3＝6，设公差为d，则(6－d)×6×(6＋d)＝66，
∴d2＝25，∴d＝±5，
∴或
等差数列的设法与求解
[探究问题]
1．若三个数成等差数列，如何设这三个数使计算较为方便？
[提示] 设等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，这样计算较为方便．
2．若四个数成等差数列，如何设这四个数使计算较为方便？
[提示] 设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，计算较为方便．
【例3】 已知三个数组成等差数列，首末两项之积为中项的5倍，后两项的和为第一项的8倍，求此三个数．
思路探究：根据这三个数成等差数列，可设这三个数为x－d，x，x＋d.
[解] 设此三个数分别为x－d，x，x＋d，
由题意得
解得或
故此三数分别为0,0,0或3,9,15.
(变条件)本例条件改为：三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求此数列．
[解] 设所求数列为a－d，a，a＋d(d>0)，
根据题意得到方程组
由①得a＝6.将a＝6代入②，
得d＝2，d＝－2(舍)．
所以所求数列为4,6,8.
设等差数列的三个技巧
?1?对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d.
?2?对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d.
?3?等差数列的通项可设为an＝pn＋q.
1．在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
2．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
1．判断正误
(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．( )
(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．( )
(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
[提示] (1)错误，如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．
(2)错误，如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．
(3)正确，根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2成立．
(4)正确．因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.
2．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为( )
A．20 B．30 C．40 D．50
C [∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，
∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，
∴a7＝20.
∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]
3．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________.
18 [∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，
∴a7＝.
又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.
故d＝＝＝.
∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，
∴13－7＝(k－9)×，∴k＝18.]
4．(1)已知{an}是等差数列，且a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13的值．
(2)已知在等差数列{an}中，若a49＝80，a59＝100，求a79.
[解] (1)因为{an}是等差数列，
所以a1＋a15＝a4＋a12＝a3＋a13＝2a8.
又因为a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，
所以a8＝2，即a3＋a13＝2a8＝2×2＝4.
(2)因为{an}是等差数列，可设公差为d.
由a59＝a49＋10d，知10d＝100－80，解得d＝2.
又因为a79＝a59＋20d，所以a79＝100＋20×2＝140.
课件42张PPT。第二章 数列2.2 等差数列
2.2.1 等差数列的概念
2.2.2 等差数列的通项公式
第2课时 等差数列的性质(n－m)dd等差中项及其应用等差数列的性质及应用等差数列的设法与求解点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六) 等差数列的概念及通项公式
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝17，则a14等于( )
A．45 B．41
C．39 D．37
B [设公差为d，则d＝＝＝3，
∴a1＝a2－d＝2，
∴a14＝a1＋13d＝2＋13×3＝41.]
2．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为( )
A．49 B．50
C．51 D．52
D [∵an＋1－an＝，
∴数列{an}是首项为2，公差为的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)·＝2＋，
∴a101＝2＋＝52.]
3．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7等于( )
A．10 B．18
C．20 D．28
C [设公差为d，则a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝2a1＋9d＝10.
∴3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋(a1＋6d)＝4a1＋18d＝20.]
4．数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a4为( )
A. B.
C. D.
D [法一：a1＝2，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.
法二：取倒数得＝＋3，
∴－＝3，
∴是以为首项，3为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)·3
＝3n－＝，
∴an＝，∴a4＝.]
5．若lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值等于( )
A．0 B．log25
C．32 D．0或32
B [依题意得2lg(2x－1)＝lg 2＋lg(2x＋3)，
∴(2x－1)2＝2(2x＋3)，
∴(2x)2－4·2x－5＝0，
∴(2x－5)(2x＋1)＝0，
∴2x＝5或2x＝－1(舍)，∴x＝log25.]
二、填空题
6．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
13 [设公差为d，则a5－a2＝3d＝6，
∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.]
7．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________.
3n [因为n≥2时，an－an－1＝3，
所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.]
8．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝________.
1 [法一：设数列{an}的公差为d，由题意知：
解得
故an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
∴a10＝－2×10＋21＝1.
法二：∵an＝am＋(n－m)d，
∴d＝，
∴d＝＝＝－2，
a10＝a8＋2d＝5＋2×(－2)＝1.]
三、解答题
9．在等差数列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？
[解] 由题意，得
d＝a2－a1＝116－112＝4，
所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108.
令450≤an≤600，
解得85.5≤n≤123，又因为n为正整数，故有38项．
10．已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
[解] (1)由已知，得a2－2a1＝4，
则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)证明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，
得＝2，即－＝2，
所以数列是首项为＝1，公差d＝2的等差数列．
则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.
[能力提升练]
1．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是( )
A. B.
C. D.
C [设an＝－24＋(n－1)d，
由
解得2．在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则( )
A．an＝3n B．an＝
C．an＝n－ D．an＝3n2
D [∵点(，)在直线x－y－＝0上，
∴－＝，即数列{}是首项为，公差为的等差数列．
∴数列{}的通项公式为
＝＋(n－1)＝n，
∴an＝3n2.]
3．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.
[由a－a＝4，知数列{a}成等差数列，且a＝1，
∴a＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
又∵an>0，∴an＝.]
4．等差数列{an}中，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为________．
an＝38－5n(n∈N*) [由题意可得
即
解得－又∵d∈Z，∴d＝－5，
∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n(n∈N*)．]
5．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2, … )，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列 {an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，
且a1＝1.
所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.
从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)数列 {an}不可能为等差数列，
证明如下：
由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，
得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，
a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．
若存在λ，使{an}为等差数列，
则a3－a2＝a2－a1，
即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，
解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，
a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.
这与{an}为等差数列矛盾．
所以，不存在λ使{an}是等差数列．
课时分层作业(七) 等差数列的性质
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
A [由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，
又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，
∴a5＝5.]
2．数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－2 B．－ C．2 D.
C [∵an＋1－an＝3，
∴{an}为等差数列，且d＝3.
a2＋a4＋a6＝9＝3a4，∴a4＝3，
a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d)＝3(3＋3×3)＝36，
∴log6(a5＋a7＋a9)＝log636＝2.]
3．若等差数列{an}的首项a1＝5，am＝3，则am＋2等于( )
A．13 B．3－
C．3－ D．5－
B [设等差数列{an}的公差为d，因为
a1＝5，am＝3，所以d＝＝.
所以am＋2＝am＋2d＝3＋＝3－.]
4．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于( )
A．8 B．4 C．6 D．12
A [因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.]
5．下列说法中正确的是( )
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列
C [因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，
所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．]
二、填空题
6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
－21 [设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.
∴它们的积为－21.]
7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
1或2 [∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.]
8．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则2 km,4 km，8 km高度的气温分别为________、________、________.
2 ℃ －11 ℃ －37 ℃ [用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，
解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃.]
三、解答题
9．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
[解] ∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5.
又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[解] 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
[能力提升练]
1．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101>0 B．a2＋a101<0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
C [根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝2a51＝0，故选C.]
2．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
C [设公差为d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，
∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16.]
3．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则的值为________．
[n－m＝3d1，d1＝(n－m)．
又n－m＝4d2，d2＝(n－m)．
∴＝＝.]
4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共为4升，则第5节的容积为________升．
[设自上而下各节的容积构成的等差数列为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9.
则
解得故a5＝a1＋4d＝.]
5．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？
[解] 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn}，c1＝11，
又等差数列5,8,11，…的通项公式为an＝3n＋2，
等差数列3,7,11，…的通项公式为bn＝4n－1.
所以数列{cn}为等差数列，且公差d＝12，
所以cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.
又a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302，
得n≤25，可知两数列共有25个相同的项.
