2.2.3 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．(难点)
2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点)
1.通过等差数列前n项和的有关计算及an与Sn关系的应用，培养数学运算素养．
2．借助等差数列前n项和的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养.
1．数列的前n项和的概念
一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
思考1：如何用Sn和Sn－1的表达式表示an?
[提示] an＝
2．等差数列的前n项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
思考2：等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？
[提示] S3＝＝3a2＝21.
1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝( )
A．230 B．420 C．450 D．540
B [S20＝20a1＋d＝20×2＋20×19＝420.]
2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则其前n项和Sn＝________.
[因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋×1＝＝＝.]
3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝________.
24 [由S10＝＝120，
解得a1＋a10＝24.]
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝________.
48 [设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋×d＝20，即4×＋d＝20，
解得d＝3，所以S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.]
等差数列前n项和的有关计算
【例1】 在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
[解] (1)由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.∴n＝15，d＝－.
(2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程?组?求解，在求解过程中要注意整体思想的运用.
1．在等差数列{an}中，
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a3＋a15＝40，求S17.
[解] (1)
解得a1＝－5，d＝3.
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.
(2)S17＝＝＝＝340.
an与Sn的关系的应用
[探究问题]
1．若数列{an}的前n项和为Sn，则关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是什么？
[提示] 使用条件是n≥2.
2．若数列{an}的前n项和为Sn，a2 016＋a2 017＋a2 018如何用前n项和Sn表示？
[提示] a2 016＋a2 017＋a2 018＝S2 018－S2 015.
3．已知数列{an}的通项公式an，可利用Sn＝a1＋a2＋…＋an求前n项和Sn；反之，如果知道了数列{an}的前n项和Sn，如何求出它的通项公式？
[提示] 对所有数列都有Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)．因此，当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1；当n＝1时，有a1＝S1.所以an与Sn的关系为an＝
当a1也适合an时，则通项公式要统一用一个解析式an＝f(n)(n∈N*)来表示．
【例2】 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.
(1)求a1及an；
(2)判断这个数列是否是等差数列．
思路探究：(1)利用a1＝S1，求a1，借助于an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式但要验证a1是否符合条件；(2)利用等差数列的定义进行判断即可．
[解] (1)因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，
a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.
验证当n＝1时上式成立，
所以an＝4n－32.
(2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)，
所以an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)，
所以数列{an}是等差数列．
1．(变条件，变结论)将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“log2(Sn＋1)＝n＋1”，其他条件不变，求an.
[解] 由log2(Sn＋1)＝n＋1得Sn＋1＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1，
当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n.
当n＝1时，a1＝S1＝3.经验证不符合上式．
∴an＝
2．(变条件，变结论)将本例中的条件“Sn＝2n2－30n”变为“正数数列{bn}的前n项和Sn＝(bn＋1)2”，求{bn}的通项公式．
[解] 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1，
∴bn＝(bn＋1)2－(bn－1＋1)2
＝(b－b＋2bn－2bn－1)．
整理得：b－b－2bn－2bn－1＝0，
∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0，
∵bn＋bn－1>0，∴bn－bn－1＝2(n≥2)．
∴{bn}为等差数列．
又∵b1＝(b1＋1)2，∴b1＝1，
∴bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：
?1?当n＝1时，a1＝S1.
?2?当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
?3?如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝
等差数列前n项和公式的实际应用
【例3】 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
思路探究：因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程．
[解] 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.
25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．
1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．
(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.
2．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
2 000 [假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为
S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000(米)．]
1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．
2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：
若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)；若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
3．由Sn与an的关系求an主要使用an＝
1．判断正误
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．( )
(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．( )
(3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (1)正确．由前n项和的定义可知正确．
(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
又因为a1＝S1＝3，
所以a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．
(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则( )
A．an＝2n＋1 B．an＝－2n＋1
C．an＝－2n－1 D．an＝2n－1
B [由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，
当n＝1时，S1＝a1＝－1符合上式．
∴an＝－2n＋1.]
3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.
190 [S19＝＝＝190.]
4．已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12.
[解] ∵Sn＝n·＋·－＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
a12＝＋(12－1)×＝－4.
课件42张PPT。第二章 数列2.2 等差数列
2.2.3 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和a1＋a2＋…＋ana1＋a2＋…＋an等差数列前n项和的有关计算an与Sn的关系的应用等差数列前n项和公式的实际应用点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 等差数列前n项和的综合应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握an与Sn的关系并会应用．(难点)
2.掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点)
3.会求等差数列前n项和的最值．(重点)
4.会用裂项相消法求和．(易错点)
1.通过等差数列前n项和Sn的函数特征的学习，体现了数学建模素养.
2.借助等差数列前n项和Sn性质的应用及裂项相消法求和，培养数学运算素养.
1．Sn与an的关系
an＝
2．等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．
(2)数列{an}是等差数列?Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．
思考1：如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？
[提示] (a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)
＝＝100d，类似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d.
∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列．
3．等差数列前n项和Sn的最值
(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．
(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．
特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
思考2：我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n2＋n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？
[提示] 由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1>0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
1．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( )
A．9 B．10 C．11 D．12
B [∵＝，∴＝.∴n＝10.故选B项．]
2．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝________.
15 [由S2，S4－S2，S6－S4成等差数列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)，解得S6＝15.]
3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为________．
23或24 [由an≤0即2n－48≤0得n≤24.
∴所有负项的和最小，即n＝23或24.]
4.若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．
2A [a1＝S1＝A＋B，a2＝S2－S1＝(4A＋2B)－(A＋B)＝3A＋B，∴d＝a2－a1＝2A.]
等差数列前n项和的性质
【例1】 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．
[解] (1)在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
(2)＝＝＝＝＝.
等差数列前n项和计算的几种思维方法
?1?整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解.
?2?待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn?A≠0?，列出方程组求出A，B即可，或利是关于n的一次函数，设＝an＋b?a≠0?进行计算.
1．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，则S13＝________.
(2)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．
(1)104 (2)75 [(1)由a2＋a7＋a12＝24，得a7＝8，
所以S13＝×13＝a7·13＝104.
(2)因为an＝2n＋1，所以a1＝3.
所以Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2，
所以是公差为1，首项为3的等差数列，
所以前10项和为3×10＋×1＝75.]
等差数列前n项和Sn的函数特征
[探究问题]
1．将首项为a1＝2，公差d＝3的等差数列的前n项和看作关于n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？
[提示] 首项为2，公差为3的等差数列的前n项和为Sn＝2n＋＝n2＋n，
显然Sn是关于n的二次型函数．
且常数项为0，二次项系数为，一次项系数为a1－；如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么当n＝1时，S1＝a1＝4.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n－2，则该数列的通项公式为an＝6n－2，所以该数列为等差数列，事实上对于任何一个等差数列的前n项和都是关于n的二次型函数，且常数项为0，反之，一个数列的前n项和具备上述特征，该数列一定是等差数列．
2．已知一个数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n，试画出Sn关于n的函数图象．你能说明数列{an}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？
[提示] Sn＝n2－5n＝2－，它的图象是分布在函数y＝x2－5x的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{an}前n项为负数．由Sn的图象可知，Sn有最小值且当n＝2或3时，Sn最小，最小值为－6，即数列{an}前2项或前3项和最小．
【例2】 数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，
(1)求{an}的通项公式；
(2)问{an}的前多少项和最大；
(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn′.
思路探究：(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项．
(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解．
(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解．
[解] (1)法一：(公式法)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n.
故{an}的通项公式为an＝34－2n.
法二：(结构特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知
解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.
(2)法一：(公式法)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，
故数列{an}的前17项大于或等于零．
又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
法二：(函数性质法)由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝.
距离最近的整数为16,17.由Sn＝－n2＋33n的
图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0，
故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；
当n≥18时，an<0.
所以当n≤17时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn
＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.
当n≥18时，
Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)
＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn
＝n2－33n＋544.
故Sn′＝
1．(变条件)将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“在等差数列{an}中a1＝25，S17＝S9”求其前n项和Sn的最大值．
[解] 法一：∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d
＝17×25＋d，
解得d＝－2.
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
法二：同法一，求出公差d＝－2.
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
∵a1＝25>0，
由
得
又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
法三：∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
∵a1>0，∴d<0.∴a13>0，a14<0.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
法四：设Sn＝An2＋Bn.∵S9＝S17，
∴二次函数对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，
∴当n＝13时，Sn取得最大值169.
2．(变条件)将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“Sn＝－＋n”求数列{|an|}的前n项和Tn.
[解] a1＝S1＝－×12＋×1＝101.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－
＝－3n＋104.
∵n＝1也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)．
由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7.
即当n≤34时，an>0；
当n≥35时，an<0.
(1)当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n；
(2)当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn
＝2－
＝n2－n＋3 502.
故Tn＝
1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)．
(2)借助二次函数的图象及性质求最值．
2．寻求正、负项分界点的方法
(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找．
(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．
3．求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．
裂项相消法求和
【例3】 等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求＋＋…＋.
思路探究：根据{an}为等差数列求出其前n项和，根据的通项特征，利用裂项相消法求和．
[解] ∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，
∴前n项和Sn＝na1＋d
＝3n＋×2＝n2＋2n(n∈N*)，
∴＝＝
＝，
∴＋＋…＋
＝
＝
＝－.
裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项?裂项?之差，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而求数列的前n项和.
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，求数列{an}的前n项和Sn.
[解] an＝＝，
∴Sn＝＋＋＋…＋＋
＝
＝＝，∴Sn＝.
1．等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形
(1)Sn＝n·；
(2)Sn＝n2＋n；
(3)＝n＋a1－是公差为的等差数列．
2．等差数列前n项和的常用性质
(1)数列{an}为等差数列?Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成等差数列，公差为原公差的k2倍．
(3)若等差数列{an}的项数为2n(n∈N*)，则S偶－S奇＝nd，＝；若项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，＝.
(4)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·.
(5)若Sm＝Sn(m≠n)，则Sm＋n＝0；若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．
(6)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列为等差数列，公差为原公差的.
1．判断正误
(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列．( )
(2)若a1>0，d<0，则等差数列中所有正项之和最大．( )
(3)在等差数列中，Sn是其前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)an.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
C [由题知S偶－S奇＝5d，
∴d＝＝3.]
3．数列{an}的通项公式an＝，其前n项和Sn＝9，则n＝________.
99 [an＝＝－，
∴Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝9.∴n＝99.]
4．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n2－30n.
(1)求数列 {an}的通项公式an；
(2)求Sn的最小值及对应的n值．
[解] (1)∵Sn＝n2－30n，
∴当n＝1时，a1＝S1＝－29.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－30n)－[(n－1)2－30(n－1)]＝2n－31.
∵n＝1也适合，∴an＝2n－31，n∈N*.
(2)法一：Sn＝n2－30n
＝2－225，
∴当n＝15时，Sn最小，且最小值为S15＝－225.
法二：∵an＝2n－31，∴a1
15时，an>0.
∴当n＝15时，Sn最小，且最小值为S15＝－225.
课件58张PPT。第二章 数列2.2 等差数列
2.2.3 等差数列的前n项和
第2课时 等差数列前n项和的综合应用Sn－Sn－1S1S4n－S3nS2n－Sn小大小S1 S1 等差数列前n项和的性质等差数列前n项和Sn的函数特征裂项相消法求和点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八) 等差数列的前n项和
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于( )
A．49 B．42 C．35 D．28
B [2a6－a8＝a4＝6，S7＝(a1＋a7)＝7a4＝42.]
2．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为( )
A．4 B. C．－4 D．－
A [由题知S5＝＝＝55，解得a3＝11.
∴P(3,11)，Q(4,15)，∴k＝＝4.故选A.]
3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765 B．665 C．763 D．663
B [∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，
∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.]
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A．1 B．－1 C．2 D.
A [＝＝＝＝·＝1.]
5．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9 B．10 C．19 D．29
B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少， 为10根．]
二、填空题
6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差d＝________.
[a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①
S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝10，②
由①②联立解得a1＝1，d＝.]
7．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
27 [由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.]
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.
[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由6S5－5S3＝5，得3(a1＋3d)＝1，所以a4＝.]
三、解答题
9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
[解] (1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.
10．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，求a2＋a3－a4＋a5＋a6.
[解] ∵Sn＝n2－2n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2－2n－[(n－1)2－2(n－1)]
＝n2－2n－(n－1)2＋2(n－1)
＝2n－3，
∴a2＋a3－a4＋a5＋a6
＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)－a4
＝2a4＋2a4－a4＝3a4
＝3×(2×4－3)＝15.
[能力提升练]
1．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于( )
A. B.
C. D.
C [由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，
所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝
＝.]
2．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a( )＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( )
A．15 B．24
C．18 D．28
C [设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，
∴6a1＋(n＋12)d＝24.
又S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，
所以a1＋5d为定值．
所以＝5，n＝18.]
3．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
－ [当n＝1时，S1＝a1＝－1，所以＝－1.因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以－＝1，即－＝－1，所以是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝(－1)＋(n－1)·(－1)＝－n，所以Sn＝－.]
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.
10 [因为{an}是等差数列， 所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0，由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，又S2m－1＝38，即＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10.]
5．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an>0，且Sn＝a＋an－.
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3)．
所以4an＝a－a＋2an－2an－1，
即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝2(n≥2)．
所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
课时分层作业(九) 等差数列前n项和的综合应用
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
B [等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.]
2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．①② C．①③ D．①④
B [∵S6>S7，∴a7<0，
∵S7>S5，∴a6＋a7>0，
∴a6>0，∴d<0，①正确；
又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，②正确；
S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，③不正确；
{Sn}中最大项为S6，④不正确．
故正确的是①②.]
3．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于( )
A．15 B．35 C．66 D．100
C [易得an＝
|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，
令an>0，则2n－5>0，∴n≥3.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝1＋1＋a3＋…＋a10
＝2＋(S10－S2)
＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.]
4．设数列{an}是等差数列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是( )
A．18 B．19 C．20 D．21
C [a1＋a3＋a5＝105＝3a3，
∴a3＝35，
a2＋a4＋a6＝99＝3a4，
∴a4＝33，
∴d＝＝－2，
∴an＝a3＋(n－3)d＝41－2n，
令an>0，∴41－2n>0，
∴n<，
∴n≤20.]
5.＋＋＋＋…＋等于( )
A.
B.
C.
D.
C [通项an＝＝，
∴原式＝
＝
＝.]
二、填空题
6．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.
5 [∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.]
7．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是________．
6或7 [由|a5|＝|a9|且d>0得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0?2a1＋12d＝0?a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最小．]
8．首项为正数的等差数列的前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值．
5或6 [∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0，∵a1>0，
∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.
故当n＝5或6时，Sn最大．]
三、解答题
9．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
[解] (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)法一：a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n
＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
法二：由(1)知a1＝9，d＝－2<0，
∴{an}是递减数列．
令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
10．若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
[解] ∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
＝na1＋d＝13n＋×(－4)
＝15n－2n2；
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
＝2×－(15n－2n2)
＝2n2－15n＋56.
∴Tn＝
[能力提升练]
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( )
A．12 B．14 C．16 D．18
B [Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，
所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，
由Sn＝＝210，得n＝14.]
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
C [am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以公差d＝am＋1－am＝1，由Sm＝＝0，得a1＝－2，所以am＝－2＋(m－1)·1＝2，解得m＝5，故选C.]
3．已知数列：1，，，…，，…，则其前n项和等于________．
[通项an＝＝
＝2，
∴所求的和为
2
＝2＝.]
4．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．
11 7 [设等差数列{an}的项数为2n＋1，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝＝(n＋1)an＋1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，
所以＝＝，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，
S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．]
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.
(1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；
(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；
(3){Sn}有多少项大于零？
[解] (1)Sn＝na1＋d＝12n＋×(－2)＝－n2＋13n.图象如图．
(2)Sn＝－n2＋13n＝－2＋，n∈N*，
∴当n＝6或7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；当n≥7时，{Sn}单调递减．
{Sn}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42.
(3)由图象得{Sn}中有12项大于零．
