2.3 等比数列
2.3.1 等比数列的概念
2.3.2 等比数列的通项公式
第1课时 等比数列的概念及通项公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点)
2.会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)
3.会证明一个数列是等比数列．(难点)
1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养.
2.借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.
1．等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．
思考1：观察下列4个数列，归纳它们的共同特点．
①1,2,4,8,16，…；
②1，，，，，…；
③1,1,1,1，…；④－1,1，－1,1，….
[提示] 从第2项起，每一项与前一项的比是同一个常数．
思考2：若数列{an}满足an＋1＝2an(n∈N*)，那么{an}是等比数列吗？
[提示] 不一定．当a1＝0时，按上述递推关系，该数列为常数列，且常数为0，故{an}不一定为等比数列．
2．等比数列的通项公式
如果数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)．
3．等比中项
(1)若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，且满足G2＝ab.
(2)若数列{an}是等比数列，对任意的正整数n(n≥2)，都有a＝an－1·an＋1.
思考3：任意两个非零常数都有等比中项吗？若有，有几个？
[提示] 当ab>0时，a，b的等比中项有两个，且这两个数互为相反数；当ab<0时，a，b没有等比中项．
1．2＋和2－的等比中项是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．2
C [设2＋和2－的等比中项为a，
则a2＝(2＋)(2－)＝1.即a＝±1.]
2．下列数列为等比数列的序号是________．
①2,22,3×22；②，，，，(a≠0)；③s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5；④0,0,0,0,0.
② [≠，所以①不是等比数列；②是首项为，公比为的等比数列；③中，当s＝1时，数列为0,0,0,0,0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．]
3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝________.
[由定义知＝＝＝＝q，则a2＝a1q＝2，①
a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝，②
所以②÷①得q3＝，所以q＝.]
4．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________.
－729 [由等比数列定义知＝＝＝q.
所以a5＝a4q＝27×(－3)＝－81，
a6＝a5q＝－81×(－3)＝243，
a7＝a6q＝243×(－3)＝－729.]
等比数列的通项公式及应用
【例1】 在等比数列{an}中．
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
[解] (1)由等比数列的通项公式得，
a6＝3×(－2)6－1＝－96.
(2)设等比数列的公比为q，
那么
解得
所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.
1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
1．在等比数列{an}中，
(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
[解] (1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，
q＝＝－3，∴a5＝405.
(2)因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，
所以an＝a1qn－1＝.
等比中项
【例2】 (1)等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )
A．±4 B．4 C．± D.
(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
思路探究：(1)用定义求等比中项．
(2)证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可．
(1)A [由an＝·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.]
(2)[证明] b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，
又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，
(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
等比中项应用的三点注意
?1?由等比中项的定义可知＝?G2＝ab?G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.
?2?在一个等比数列中，从第二项起，每一项?有穷数列的末项除外?都是它的前一项和后一项的等比中项.,?3?a，G，b成等比数列等价于G2＝ab?ab>0?.
2．若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则的值为( )
A．± B. C．1 D．±1
D [由题知2a＝1＋3，
∴a＝2.
由b2＝4得b＝±2，
∴＝±1.]
3．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
B [∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)，k＝4.]
等比数列的判断与证明
[探究问题]
1．若数列{an}是等比数列，易知有＝q(q为常数，且q≠0)或a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)成立．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？
[提示] 能．若数列{an}满足＝q(q为常数，q≠0)或a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)都能说明{an}是等比数列．
2．若数列{an}是公比为q的等比数列，则它的通项公式为an＝a1·qn－1(a，q为非零常数，n∈N*)．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？
[提示] 能．根据等比数列的定义可知．
【例3】 已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
思路探究：①如何由求和公式得通项公式？②a1是否适合an＝Sn－Sn－1(n≥2)？需要检验吗？
[解] an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时＝＝2；
当n＝1时，＝＝.
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
1．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列．
[证明] ∵Sn＝2－an，
∴Sn＋1＝2－an＋1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，
∴an＋1＝an.
又∵S1＝2－a1，
∴a1＝1≠0.
又由an＋1＝an知an≠0，
∴＝，
∴{an}是等比数列．
2．(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝1，an＋1＝2an＋1”证明数列{an＋1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
[解] 因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1，知a1＋1≠0，
从而an＋1≠0.
所以＝2(n∈N*)，所以数列{an＋1}是等比数列．
所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1.
判断一个数列{an}是等比数列的方法
?1?定义法：若数列{an}满足＝q?q为常数且不为零?或f(an,an－1)＝q?n≥2，q为常数且不为零?，则数列{an}是等比数列.
?2?等比中项法：对于数列{an}，若a2n＋1＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列.
?3?通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1?a1≠0，q≠0?，则数列{an}是等比数列.
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q(q为与n无关的常数且不为零)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N*)．
2．两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方．
3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．
1．判断正误
(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( )
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( )
(3)常数列一定为等比数列．( )
(4)任何两个数都有等比中项．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
[提示] (1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列；(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．
2．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为( )
A．± B．±2 C. D．－2
D [因为＝q3＝－8，故q＝－2.]
3．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.
4n－1 [由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通项公式an＝4n－1.]
4．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
[解] 依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是bn＝.而＝＝－1＝2.
∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.
课件44张PPT。第二章 数列2.3 等比数列
2.3.1 等比数列的概念
2.3.2 等比数列的通项公式
第1课时 等比数列的概念及通项公式234公比第二项同一个常数567G2＝ab等比中项891011121314等比数列的通项公式及应用151617181920等比中项212223242526等比数列的判断与证明2728293031323334353637383940414243点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 等比数列的性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握等比数列的性质及其应用．(重点)
2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)
3.能用递推公式求通项公式．(难点)
1.通过灵活设项求解等比数列问题以及等比数列性质的应用，培养数学运算素养.
2.借助递推公式转化为等比数列求通项，培养逻辑推理及数学运算素养.
1．等比数列与指数函数的关系
如果数列{an}是等比数列，则an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1时点(n，an)均在函数y＝a1qx－1的图象上．
思考1：我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：
an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.
等比数列也有类似变形吗？
[提示] 在等比数列中，由通项公式an＝a1qn－1，得＝＝qn－m，
所以an＝amqn－m(n，m∈N*)．
思考2：我们知道等差数列的通项公式可以变形为an＝dn＋a1－d，其单调性由公差的正负确定．等比数列的通项公式是否也可做类似变形？
[提示] 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
则an＝a1qn－1＝·qn，其形式类似于指数型函数，但q可以为负值．由于an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)，所以{an}的单调性由a1，q，q－1的正负共同决定．
2．等比数列的性质
(1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al.
(2)如果m＋n＝2k，则有am·an＝a.
(3)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．
(4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.
(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….
1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列
[答案] D
2．等比数列{an}中，a1＝3，q＝2，则a4＝______，an＝______.
24 3×2n－1 [a4＝a1q3＝3×23＝24，an＝a1qn－1＝3×2n－1.]
3．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9＝________.
9 [因为a7＝a5q2，所以q2＝.
所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×＝9.]
4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为________．
25 [因为a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝25.]
等比数列的性质
【例1】 在等比数列{an}中，
(1)若a3a5a7a9a11＝243，求的值；
(2)若an>0，且a3a6＝32，求log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值．
思路探究：利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a求解．
[解] (1)∵a3，a5，a7，a9，a11成等比数列，
∴a3a5a7a9a11＝a＝243＝35，
∴a7＝3.
又＝＝a7，
∴＝3.
(2)log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2a1·a2·…·a8＝log2(a1·a8)4
＝log2(a3a6)4＝log2324＝log2220＝20.
等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便.
提醒：在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.
1．(1)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3·a9＝4，a6·a10＋a3·a5＝41，求a4＋a8的值；
(2)在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，求a7.
[解] (1)∵{an}为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，
∴a3·a9＝a4·a8＝4，a6·a10＝a，a3·a5＝a，
∴a6·a10＋a3·a5＝a＋a＝41，又a4·a8＝4，
∴(a4＋a8)2＝41＋2×4＝49，且an>0，
∴a4＋a8＝7.
(2)∴a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，
∴∴a5>0，a9>0.
又∵a＝a5·a9＝1，且a7＝a5·q2>0，∴a7＝1.
等比数列的实际应用
【例2】 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示第n(n∈N*)时这辆车的价值；
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
思路探究：根据题意，每年车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数列模型来解决．
[解] (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，
a3＝13.5(1－10%)2，…，
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，
∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.
所以n年后车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元．
(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.86(万元)，
所以用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.86万元．
解等比数列应用题的一般步骤
2．某市2018年建成共有产权住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年年底，
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2018年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
[解] (1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知，{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，
则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n.
令25n2＋225n≥4 750，得n2＋9n－190≥0，
令f(n)＝n2＋9n－190，
当f(n)＝0时，n1＝－19，n2＝10，
由二次函数的图象得n≤－19或n≥10时，
f(n)≥0，而n是正整数．所以n≥10.
故到2027年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．
(2)设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知，
{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，
则bn＝400×1.08n－1，由题意可知an>0.85bn，即250＋(n－1)×50>400×1.08n－1×0.85，满足不等式的最小正整数n＝6.
故到2023年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
灵活设项求解等比数列
[探究问题]
1．若三个数成等比数列，如何设这三个数使计算较为方便？
[提示] 设等比中项为a，公比为q，则这三个数分别为，a，aq，这样计算较为方便．
2．若四个数成等比数列，如何设这四个数使计算较为方便？
[提示] 设这四个数分别为，，aq，aq3计算较为方便．
【例3】 有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数又成等差数列，四个数的和为21，求这四个数．
[解] 设这四个数为，a，aq，b，由题意·a·aq＝a3＝216，解得a＝6，
则这四个数为，6,6q，b，
由题意，
解得或故这四个数为9,6,4,2，或12,6,3,0.
1．(变条件)若将本例的条件改为“前三个数的积为－8，后三个数的积为－80”其他条件不变，试求这四个数．
[解] 由题意设此四个数分别为，b，bq，a，
则有解得或
所以这四个数分别为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.
2．(变条件)本例四个数满足的条件改为“前三个成等差，后三个成等比，中间两个数之积为16，首尾两个数之积为－128”，求这四个数．
[解] 设这四个数分别为－a，，a，aq，
则由题意得
解得或
因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.
灵活设项求解等比数列问题，要注意题中的隐含条件，及时取舍，做到既快又准确.
1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．
2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
1．判断正误
(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( )
(2)当q>1时，{an}为递增数列．( )
(3)当q＝1时，{an}为常数列．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
[提示] (2)当a1>0且q>1时{an}为递增数列，故(2)错．
2．在正项等比数列{an}中，3a1，a3,2a2成等差数列，则等于( )
A．3或－1 B．9或1
C．1 D．9
D [由3a1，a3,2a2成等差数列可得a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q，∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.
解得q＝3或q＝－1(舍)．
∴＝＝＝q2＝9.]
3．在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________．
8 [设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c,8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝×8＝4，因为a2＝b>0，∴b＝2(舍负)．所以这3个数的积为abc＝4×2＝8.]
4．已知数列{an}为等比数列．
(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an；
(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q.
[解] (1)∵a1a2a3＝a＝216，∴a2＝6，∴a1a3＝36.
又∵a1＋a3＝21－a2＝15，
∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12.
当a1＝3时，q＝＝2，an＝3·2n－1；
当a1＝12时，q＝，an＝12·n－1.
(2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，
∴q4＝4，∴q＝±.
课件45张PPT。第二章 数列2.3 等比数列
2.3.1 等比数列的概念
2.3.2 等比数列的通项公式
第2课时 等比数列的性质234y＝a1qx－1 567am·an＝ak·al等比8an－1 91011121314等比数列的性质151617181920等比数列的实际应用2122232425262728灵活设项求解等比数列29303132333435363738394041424344点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十) 等比数列的概念及通项公式
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若正数a，b，c组成等比数列，则log2a，log2b，log2c一定是( )
A．等差数列
B．既是等差数列又是等比数列
C．等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
A [由题意得b2＝ac(a，b，c>0)，
∴log2b2＝log2ac，
即2log2b＝log2a＋log2c，
∴log2a，log2b，log2c成等差数列．]
2．等比数列{an} 中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为( )
A．3×10－5 B．3×29
C．128 D．3×2－5或3×29
D [设公比为q，则＋12q＝30，
∴2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝，
∴a10＝a3·q7＝12·27或12·7，
即3×29或3×2－5.]
3．已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于( )
A．6 B．－6
C．±6 D．±12
C [a＝＝，
b2＝(－1)(－16)＝16，b＝±4，
∴ab＝±6.]
4．已知一等比数列的前三项依次为x,2x＋2,3x＋3，那么－13是此数列的( )
A．第2项 B．第4项
C．第6项 D．第8项
B [由(2x＋2)2＝x(3x＋3)解得x＝－1(舍)或x＝－4，
∴首项为－4，公比为.
∴由－4×n－1＝－13，解得n＝4.]
5．在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于( )
A．－2 B．1或－2
C．1 D．1或2
B [根据题意，代入公式
解得：或]
二、填空题
6．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝________.
1 [设等比数列{an}的公比为q，由已知条件得a＝4·aq4，
∴q4＝，q2＝，
∴a3＝a1q2＝2×＝1.]
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.
3×2n－3 [由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.
所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.]
8．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5＝________.
27 [由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，
∴q2＝9，∴q＝3(q＝－3舍)，
∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.]
三、解答题
9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？
[解] (1)因为2an＝3an＋1，
所以＝，数列{an}是公比为的等比数列，又a2·a5＝，
所以a5＝3，由于各项均为负，
故a1＝－，an＝－n－2.
(2)设an＝－，则－＝－n－2，n－2＝4，n＝6，所以－是该数列的项，为第6项．
10．数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，an＋2＝，bn＝an＋1－an.
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)求{bn}的通项公式．
[解] (1)证明：∵2an＋2＝an＋an＋1，
∴＝＝＝－.
∴{bn}是等比数列．
(2)∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－，
∴bn＝1×n－1＝n－1.
[能力提升练]
1．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于( )
A.＋1 B．3＋2
C．3－2 D．2－3
C [设等比数列{an}的公比为q，
由于a1，a3,2a2成等差数列，
则2＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，
所以a1q2＝a1＋2a1q.
由于a1≠0，
所以q2＝1＋2q，解得 q＝1±.
又等比数列{an}中各项都是正数，
所以q>0，所以q＝1＋.
所以＝＝＝＝3－2.]
2．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A．2 B．1
C. D.
C [法一：∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)，
∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8，
∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故选C.
法二：∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，
将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，
解得q＝2，
∴a2＝a1q＝，故选C.]
3．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.
－1 [∵a2，a3，a7成等比数列，∴a＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②
由①②解得a1＝，d＝－1.]
4．设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
64 [设等比数列{an}的公比为q，
∴?解得
∴a1a2…an＝(－3)＋(－2)＋…＋(n－4)
＝n(n－7)
＝，当n＝3或4时，
取到最小值－6，
此时取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64.]
5．已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p.
[解] 因为数列{cn＋1－pcn}为等比数列，
所以(cn＋1－pcn)2＝(cn－pcn－1)(cn＋2－pcn＋1)，
将cn＝2n＋3n代入上式得，
[2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)]，
整理得(2－p)(3－p)·2n·3n＝0，
解得p＝2或p＝3.
课时分层作业(十一) 等比数列的性质
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于( )
A．± B．－ C. D．±
C [根据等比数列的性质可知a1a5＝a?a5＝＝.]
2．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝4，则a10＋a11＋a12等于( )
A．32 B．16 C．12 D．8
B [＝q3＝＝2，
∴a10＋a11＋a12＝(a1＋a2＋a3)q9＝2·(2)3＝24＝16.]
3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为( )
A．32 B．64 C．256 D．±64
B [由题意得，a1a99＝16，
∴a40a60＝a＝a1a99＝16，
又∵a50>0，∴a50＝4，
∴a40a50a60＝16×4＝64.]
4．设{an}是公比为q的等比数列，令bn＝an＋1，n∈N*，若数列{bn}的连续四项在集合{－53，－23,17,37,82}中，则q等于( )
A．－ B．－
C．－或－ D．－或－
C [即an的连续四项在集合{－54，－24,16,36,81}中，由题意知，这四项可选择－54,36，－24,16，此时，q＝－，若选择16，－24,36，－54，则q＝－.]
5．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于( )
A. B.或
C. D．以上都不对
B [不妨设是x2－mx＋2＝0的根，则其另一根为4，∴m＝4＋＝，
对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1∴等比数列为，x1，x2,4，
∴q3＝＝8，∴q＝2，
∴x1＝1，x2＝2，
∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3，
∴＝＝.
同理，若x＝是方程x2－nx＋2＝0的根，计算得出＝.]
二、填空题
6．在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________．
256 [因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，
所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29＝512.
因为a8＝a3·q5，所以q＝2，所以a7＝＝256.]
7.在如图所示表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x＋y＋z的值为________．
2 [∵＝，∴x＝1.
∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6.
同理，第二行后两格中数字分别为2.5,3.
∴y＝5·3，z＝6·4，
∴x＋y＋z＝1＋5·3＋6·4＝＝2.]
8．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是________．
－1 [由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均增长率只需利用＝m，所以月平均增长率为－1.]
三、解答题
9．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比．
[解] 设该数列的公比为q.
由已知，得
所以解得(q＝1舍去)，
故首项a1＝1，公比q＝3.
10．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式．
[解] an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝4.
又a1＝1，故b1＝＝－1，
所以是首项为－，公比为4的等比数列，所以bn＋＝－×4n－1，bn＝－－.
[能力提升练]
1．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝( )
A．±2 B．±4 C．2 D．4
C [∵T13＝4T9，
∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，
∴a10a11a12a13＝4.
又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2.
又∵{an}为递减数列，∴q>0，∴a8a15＝2.]
2．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝( )
A．16 B．14 C．4 D．49
A [∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，
∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4，∴b6b8＝b＝16.]
3．在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．
－213 [由于{an}是等比数列，
∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a，
∴a1a2a3…a13＝(a)6·a7＝a，
∵a7＝－2，
∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.]
4．已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则＝________.
－1 [由题意，知a2－a1＝＝2，b＝(－4)×(－1)＝4.又因为b2是等比数列中的第三项，所以b2与第一项同号，即b2＝－2，所以＝＝－1.]
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
[解] (1)证明：∵an＋Sn＝n，①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1.
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝，∵首项c1＝a1－1，
又a1＋a1＝1，∴a1＝，∴c1＝－，
又cn＝an－1，∴q＝.
∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．
(2)由(1)可知cn＝·n－1＝－n，
∴an＝cn＋1＝1－n.
∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－1－n－1＝n－1－n＝n.
又b1＝a1＝，
代入上式也符合，
∴bn＝n.
