3.1 不等关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解现实世界和日常生活中的一些不等关系，了解不等式(组)的实际背景.
2.会用不等式(组)表示不等关系．(重点)
3.会比较数(或式)的大小．(难点)
通过实际问题抽象出不等式(组)，培养数学建模素养.
1．不等关系
在现实生活中，不等关系主要有以下几种类型：
(1)用不等式表示常量与常量之间的不等关系，
如“神舟”十一号飞船的质量大于“嫦娥四号”卫星的质量；
(2)用不等式表示变量与常量之间的不等关系，
如儿童的身高小于或等于1.4 m；
(3)用不等式表示函数与函数之间的不等关系，
如当x>a时，销售收入f(x)大于成本g(x)；
(4)用不等式表示一组变量之间的不等关系，
如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2 000元．
2．不等式
(1)不等式的定义
用数学符号“＝”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式．
(2)关于a≥b和a≤b的含义
a．不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
b．不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a(3)不等式中常用符号语言
大于
小于
大于或等于
小于或等于
至多
至少
不少于
不多于
>
<
≥
≤
≤
≥
≥
≤
3．比较大小
(1)比较实数a，b大小的文字叙述
①如果a－b是正数，那么a>b；
②如果a－b等于0，那么a＝b；
③如果a－b是负数，那么a(2)比较实数a，b大小的符号表示
①a－b>0?a>b；
②a－b＝0?a＝b；
③a－b<0?a思考：试用不等式表示下列关系：
(1)a大于b a________b
(2)a小于b a________b
(3)a不超过b a________b
(4)a不小于b a________b
[提示] (1)> (2)< (3)≤ (4)≥
1．人类能听到的声音频率x不低于80 Hz且不高于2 000 Hz，用不等式表示为________．
80 Hz≤x≤2 000 Hz [“不低于80 Hz”即“≥80 Hz”；“不高于2 000 Hz”即“≤2 000 Hz”．]
2．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不高于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式组表示上述关系为________．
[答案]
用不等式表示不等关系
【例1】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
思路探究：总收入＝单价×销售量，总收入－成本＝利润．
[解] 设提价后杂志社的定价为x元，则销售的总收入为8－×0.2x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式8－×0.2x≥20.
用不等式表示不等关系的注意事项
?1?利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示.
?2?在用不等式表示实际问题时一定要注意单位统一.
提醒：利用不等式表示不等关系时的注意点：
?1?必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示.
?2?在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一.
1．一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为________．
10b＋a>50 [该两位数为10b＋a，由题意可知10b＋a>50.]
用不等式组表示不等关系
【例2】 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运 360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
思路探究：
[解] 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，
则即
用不等式组表示实际问题中的不等关系时，要做到：
?1?阅读要用心，读懂题意，寻找不等关系的根源，这是解决实际问题的基本的一步.
?2?对题中关键字、关键句要留心，多加注意.
?3?要将所有不等关系都表示为不等式.
2．如图所示，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍，写出L与W的关系．
[解] 由题意，得
实数大小的比较
[探究问题]
1．如果a，b之间的大小关系分别为a>b，a＝b，a[提示] 若a>b，则a－b>0，反之也成立；
若a＝b，则a－b＝0，反之也成立；
若a2．若a>b，则>1吗？反之呢？
[提示] 若a>b，当b<0时，<1，即a>bD?/>1；
若>1，则－1>0，即>0，
∴a－b>0，b>0或a－b<0，b<0，
即>1D?/a>b，反之也不成立．
【例3】 已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
思路探究：―→―→
[解] x3－1－(2x2－2x)
＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)
＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)，
∵x<1，∴x－1<0，又∵2＋>0，
∴(x－1)<0，
∴x3－1<2x2－2x.
1．(变条件)本例条件“x<1”变为“x≥1”，比较x3－1与2x2－2x的大小．
[解] x3－1－(2x2－2x)＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，
∵x≥1，∴x－1≥0，又(x－)2＋>0，
∴(x－1)≥0，
∴x3－1≥2x2－2x.
2．(变条件)本例条件“x<1”变为“x>2”，比较xx与2x的大小．
[解] ∵＝x，又x>2，∴>1，
∴x>0＝1，∴xx>2x.
1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法
(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．
2．作商法比较大小的步骤及适用范围
(1)作商法比较大小的三个步骤：
①作商变形；
②与1比较大小；
③得出结论．
(2)作商法比较大小的适用范围：
①要比较的两个数同号；
②比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法．
1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．
a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.
2．作差法比较大小的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
1．判断正误
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( )
(2)某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于100 m. 用不等式表示为( )
[答案] (1)√ (2)√
2．下面列出的不等式中，正确的是( )
A．a不是负数，可表示成a>0
B．x不大于3，可表示成x<3
C．m与4的差是负数，可表示成m－4<0
D．x与2的和是非负数，可表示成x＋2>0
C [a不是负数， 可表示为a≥0；x不大于3可表示为x≤3；m与4的差是负数，可表示成m－4<0；x与2的和是非负数，可表示成x＋2≥0.]
3．一个两位数个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为________．
10y＋x＞70 [设两位数可表示为10y＋x，∴70<10y＋x.]
4．某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别为28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是什么？
[解] 设初中有x个班级，高中有y个班级，此时所需要的资金为(28x＋58y)万元，市政府准备投资1 800万元，
则28x＋58y≤1 800，
班级数量非负且要满足20≤x＋y≤30，
即需要满足的条件是
课件44张PPT。第三章 不等式3.1 不等关系23456不等关系 789<>＝10<>＝1112131415用不等式表示不等关系1617181920用不等式组表示不等关系212223242526实数大小的比较2728293031323334353637383940414243点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十四) 不等关系
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1. 下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式是( )
A．a＋b＜0 B．a＋b＞0
C．a＋b≤0 D．a＋b≥0
C [a与b的和是非正数， 即a＋b≤0.]
2．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T满足关系为( )
A．T＜40 B．T＞40
C．T≤40 D．T≥40
C [“限重40吨”用不等式表示为T≤40.]
3．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是( )
A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3
C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1
A [根据四个杯的形状分析易知h2>h1>h4或h2＞h3＞h4.]
4．李辉准备用自己节省的零花钱买一台复读机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是( )
A．30x－60≥400 B．30x＋60≥400
C．30x－60≤400 D．30x＋60≤400
B [x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.]
5．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x(单位：分)不低于95，文化课总分y(单位：分)高于380，体育成绩z(单位：分)超过45，用不等式组表示为( )
A. B.
C. D.
D [“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，
“超过”即“＞”，所以]
二、填空题
6．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．
4.5t＜28 000 [由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t＜28 000.]
7．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是________．
5x＋4y≤200 [请木工共需付工资500x元，请瓦工共需付工资400y元，总工资不能超过预算资金，即500x＋400y≤20 000，∴5x＋4y≤200.]
8．已知某学生共有10元钱，打算购买单价分别为0.6元和0.7元的铅笔和练习本，根据需要，铅笔至少买7支，练习本至少买6本，设买铅笔x支，练习本y本．则满足条件的不等式组为________．
[由题意得]
三、解答题
9．有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数．
[解] 设宿舍x间，则学生(4x＋19)人，依题意，
解得＜x＜.
∵x∈N＋，∴x＝10,11或12.学生人数为：59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人．
10．某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
家电名称
空调
彩电
冰箱
工时/h
若每周生产空调x台、彩电y台，试写出满足题意的不等式组．
[解] 由题意，知x≥0，y≥0，每周生产冰箱(120－x－y)台．
因为每周所用工时不超过40 h，所以x＋y＋(120－x－y)≤40，即3x＋y≤120.
又每周至少生产冰箱20台，
所以120－x－y≥20，即x＋y≤100.
所以满足题意的不等式组为
[能力提升练]
1．如图为某三岔路口交通环道的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段，，的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数相等)，则( )
A．x1＞x2＞x3 B．x1＞x3＞x2
C．x2＞x3＞x1 D．x3＞x2＞x1
C [由已知图形知x1＝50＋x3－55，x2＝x1－20＋30，x3＝x2－35＋30.由此得x1＝x3－5，x2＝x1＋10，x2＝x3＋5，故x1＜x3＜x2.]
2．已知a，b∈(0,1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是( )
A．MN
C．M＝N D．不确定
B [M－N＝ab－(a＋b－1)＝ab－a－b＋1＝(a－1)(b－1)．
∵a，b∈(0,1)，
∴a－1<0，b－1<0，
∴M－N>0，∴M>N.]
3．下表给出了X，Y，Z三种食物的维生素含量：
维生素A(单位/kg)
维生素B(单位/kg)
X
300
700
Y
500
100
Z
300
300
某人欲将这三种食物混合成100 kg的食品，要使混合食品中至少含35 000单位的维生素A及40 000单位的维生素B，设X，Y这两种食物各取x kg，y kg，那么x，y应满足的不等式组是________．
[因为食物X，Y分别为x kg，y kg，故食物Z为(100－x－y)kg，则有
即]
4．投资生产A产品时，每生产100万吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100万吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，若生产A产品x百万吨，生产B产品y百万吨，则x，y应满足的数学关系式为________．
[依题意，应有]
5．用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k∈N*)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且每一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组．
[解] 依题意得，第二次钉子没有全部钉入木板，第三次全部钉入木板，则不等式组为
