3．3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题(不作要求)
3.4 基本不等式≤(a≥0，b≥0)
3.4.1 基本不等式的证明
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解基本不等式的证明过程．(重点)
2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.
3.能利用基本不等式求简单函数的最值．(难点)
1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养.
2.借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养.
1．算术平均数与几何平均数
对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．
2．基本不等式
如果a，b是正数，那么≤(当且仅当a＝b时取“＝”)，我们把不等式≤(a≥0，b≥0)称为基本不等式．
思考：如何证明不等式≤(a≥0，b≥0)?
[提示] ∵a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，
∴a＋b≥2，
∴≤，
当且仅当a＝b时，等号成立．
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，“＝”成立．]
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是( )
A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
D [∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b，
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(∵a≠b)，
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
又∵a＋b＞2(∵a≠b)，∴a＋b最大．]
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
B [∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.]
4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．
①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
③ [根据≥xy，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]
对基本不等式的理解
【例1】 给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2＝－2.
其中正确的推导为( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
B [①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．
②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的．
③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，、均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．]
1．基本不等式≤ (a≥0，b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系．
2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a，b都是非负数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b?＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝?a＝b.
1．下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x＞0，则x＋≥2＝2.
②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4.
③若a，b∈R，则＋≥2＝2.
①② [③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]
利用基本不等式比较大小
【例2】 (1)已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2 B.＋≥2
C.≥2 D.≥
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
(1)D (2)p＞q [(1)由≥得a＋b≥2，
∴A成立；
∵＋≥2＝2，∴B成立；
∵≥＝2，∴C成立；
∵≤＝，∴D不一定成立．]
(2)∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.]
1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
2．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是( )
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
B [显然＞，又因为＜，(由a＋b＞，也就是＜1可得)，所以＞＞.故M＞P＞Q.]
利用基本不等式证明不等式
【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9.
思路探究： 看到＋＋>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．
[证明] ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋2＋2＋2
＝9.
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴＋＋>9.
本例条件不变，求证：>8.
[证明] ∵a，b，c∈R＋，
且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，
∴
＝··
≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴不等式成立．
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为符合待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
[证明] 由基本不等式可得
a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，
同理，b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2a2c2，
∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，
从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
4. 已知2a＋b＝1，a>0，b>0，求证：＋≥3＋2.
[证明] ＋＝＋＝3＋≥3＋2，
当且仅当＝，且2a＋b＝1，即a＝，b＝－1时取等号．
1．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a≥0，b≥0时，才会有≤.对于“当且仅当a＝b时，‘＝’号成立”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.
2．应用基本不等式证明不等式的关键在于进“拼”“凑”
“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构.
1．判断正误
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．( )
(2)若a≠0，则a＋≥2＝2.( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)× 任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b≥0时，不等式a＋b≥2成立．
(2)× 只有当a>0时，根据基本不等式，才有不等式a＋≥2＝2成立．
(3)√ 因为≤，所以ab≤2.
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a－b<0 B．0<<1
C.< D．ab>a＋b
C [∵a>b>0，由基本不等式知<一定成立．]
3．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
C [由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．]
4．设a>0，b>0，证明：＋≥a＋b.
[证明] ∵a>0，b>0，
∴＋a≥2b，＋b≥2a，
∴＋≥a＋b.
课件41张PPT。第三章 不等式3.4 基本不等式
3.4.1 基本不等式的证明≤ a＝b 对基本不等式的理解利用基本不等式比较大小利用基本不等式证明不等式点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十七) 基本不等式的证明
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．sA [∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.]
2．下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
D [a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；
a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；
a＝4，b＝16，则＜，故C错；
由基本不等式可知D项正确．]
3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是( )
A．ab≤2 B．ab≤
C.≥ D.≤2
D [由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得，ab≤2，∴≥2，故选D.]
4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是( )
A．a＞b＞＞
B．a＞＞＞b
C．a＞＞b＞
D．a＞＞＞b
B [a＝＞＞＞＝b，因此只有B项正确．]
5．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.＞ B.＋≤1
C.≥2 D.≤
D [由a＋b＝4，得≤＝＝2，故C错；
由≤2得ab≤4，
∴≥，故A错；
B中，＋＝＝≥1，故B错；
由≥2得a2＋b2≥2×2＝8，
∴≤，D正确．]
二、填空题
6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
≤ [∵a＞b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0，
∴≤＝.]
7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
x≤ [用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝≤＝1＋，
∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]
8．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
36 [f(x)＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)取得最小值4.又由已知x＝3时，f(x)min＝4，
∴＝3，即a＝36.]
三、解答题
9．已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3.
[证明] 左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1
＝＋＋－3.
∵a，b，c为正数，
∴＋≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．
从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
∴＋＋－3≥3，
即＋＋≥3.
10．已知a，b，c为正实数，且a＋b＝1.求证：＋≥4.
[证明] ＋＝＋
＝1＋＋＋1
＝2＋＋≥2＋2＝4.
当且仅当a＝b时“＝”成立．
[能力提升练]
1．下列不等式一定成立的是( )
A．x＋≥2 B.≥
C.≥2 D．2－3x－≥2
B [A项中当x<0时，x＋<0<2，∴A错误．
B项中，＝≥，∴B正确．
而对于C，＝－，
当x＝0时，＝<2，显然选项C不正确．
D项中取x＝1,2－3x－<2，∴D错误．]
2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
C [∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴ab≤2＝1，
又≥2，∴a2＋b2≥2.]
3．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________．
2 [xy≤＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．]
4．设a，b为非零实数，给出不等式：
①≥ab；②≥2；③≥；④＋≥2.
其中恒成立的不等式的个数是________．
2 [由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；
②＝
＝≥
＝＝2，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．]
5．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋.
[证明] ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴≥，≥，≥，
∴＋＋≥＋＋，
即a＋b＋c≥＋＋.
由于a，b，c不全相等，∴等号不成立，
∴a＋b＋c＞＋＋.
