人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第03章 章末检测

第三章 三角恒等变换
章末检测
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．cos15°的值是
A． B．
C． D．
2．已知，则=
A．7 B．–7
C． D．
3．cos（35°+x）cos（55°–x）–sin（35°+x）sin（55°–x）的值是
A．0 B．–1
C．±1 D．1
4．设α∈（0，2π），已知sin α>cos α，则α的取值范围是
A．（） B．（，π）
C．（） D．（）
5．已知=
A． B．–3
C． D．3
6．已知点A（cos80°，sin80°），B（cos20°，sin20°），则||等于
A． B．
C． D．1
7．已知锐角α，β满足sin α=，cos β=，则α+β等于
A． B．或
C． D．2kπ+（k∈Z）
8．函数f（x）=cos2x–2cos2（x∈[0，π]）的最小值为
A．1 B．–1
C． D．
9．下列是函数f（x）=sinxcosxcos2x+的零点的是
A． B．π
C． D．
10．函数f（x）=（1+cos2x）·sin2x（x∈R）是
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
11．已知α，β∈（，），tanα，tanβ是方程x2+12x+10=0的两根，则tan=
A． B．–2或
C． D．–2
12．定义运算/=ad–bc，若cosα=/，/=/，0<β<αA．/ B．/
C．/ D．/
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
13．已cosθ=，则cos2θ=__________．
14．–2cos10°=___________．
15．已知，则=__________．
16．已知，，则tan（α+β）=__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）化简．
（2）已知α∈（0，π），且cos（α–）=．求cosα．
18．已知sinα=，且α为第二象限角．
（1）求sin2α的值；
（2）求tan（α+）的值．
19．已知tan（α+）=–3．
（1）求tanα的值；
（2）求sin（2α–）的值．
20．求证：–2cos（x+y）=．
21．在△ABC中，sinA=sinBtanA，且B为钝角．
（1）证明：B–A=；
（2）求sinA+sinC的取值范围．
22．已知函数f（x）=–cos2xcos+sin2xsin．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若<α<β<，f（α）=，且f（β）=，求角2β–2α的大小．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
A
C
B
D
C
D
D
D
D
D
1．【答案】D
【解析】cos15°=cos（45°–30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=×+×=，故选D．
2．【答案】D
【解析】由得，，所以=，故选D．
3．【答案】A
【解析】cos（35°+x）cos（55°–x）–sin（35°+x）sin（55°–x）=cos[（35°+x）+（55°–x）]=cos90°=0，故选A．
4．【答案】C
【解析】（1）解法一：因为sin α–cos α>0，即sin α–cos α>0，所以sin（α–）>0，所以2kπ<α–<2kπ+π，k∈Z，所以2kπ+<α<2kπ+，k∈Z，又α∈（0，2π），所以α∈（）．故选C．
解法二：取α=π，因为sin π=0，cos π=–，则sin π>cos π，符合题意，排除A，B；取α=，因为sin=–，=–，则sin=，不符合题意，排除D．故选C．
5．【答案】B
【解析】由cos（+α）=2cos（π–α），可得–sinα=–2cosα，所以tanα=2，
则tan=–3．故选B．
6．【答案】D
【解析】||==
===1．
7．【答案】C
【解析】由sin α=，cos β=，且α，β为锐角，知cos α=，sin β=，故cos（α+β）=cos αcos β–sin αsin β=×– ×=，又0<α+β<π，故α+β=．
8．【答案】D
【解析】由题意，得f（x）=cos2x–2cos2=cos2x–（1+cosx）=cos2x–cosx–1，设t=cosx（x∈[0，π]），y=f（x），则t∈[–1，1]，y=t2–t–1=（t）2，所以当t=，即x=时，y取得最小值，为，所以函数f（x）的最小值为，故选D．
9．【答案】D
【解析】f（x）=sinxcosxcos2x+=sin2x（1+cos2x）+=sin（2x），令sin（2x）=0，得2x=kπ，k∈Z，所以x=+，k∈Z，当k=1时，x=．故选D．
10．【答案】D
【解析】由题意，得f（x）=（1+cos2x）（1–cos2x）=（1–cos22x）=sin22x=（1–cos4x）．又f（–x）=f（x），所以函数f（x）是最小正周期为的偶函数，选D．
11．【答案】D
【解析】∵α，β∈（，），tanα，tanβ是方程x2+12x+10=0的两根，∴tanα+tanβ=–12，tanα·tanβ=10，∴tanα<0，tanβ<0，∴<α<0，<β<0，∴<<0．又tan（α+β）====，整理得2tan2+3tan2=0，解得tan=–2或tan=（舍去），故选D．
12．【答案】D
【解析】依题意有/=sinαcosβ–cosαsinβ=sin（α–β）=/．∵0<β<α13．【答案】–
【解析】由二倍角的余弦公式可得cos2θ=2cos2θ–1=2×–1=–，故答案为：–．
14．【答案】
【解析】–2cos10°=
=
=．故答案为：．
15．【答案】–
【解析】∵，∴，解得tan，因此，=tanα–=–．故答案为：–．
16．【答案】–
【解析】，∴cosαcos–sinαsincosα，∴–sinα=cosα，∴tanα==–．又，∴tan（α+β）==–．故答案为：–．
17．【解析】（1）=
===．
（2）∵α∈（0，π），∴，
又，
∴，
∴
．
18．【解析】（1）∵sinα=，且α为第二象限角，∴cos，
∴sin2α=2sinαcosα=；
（2）由（1）知tan，∴tan（α+）=．
19．【解析】（1）∵tan（α+）=–3，
∴tanα=tan（α+–）=，
（2）∵sin2α=，
cos2α==–，
∴sin（2α–）=sin2α?cos–cos2α?sin=+．
20．【解析】左边=–2cos（x+y）
=–2cos（x+y）
=
=
==右边．
∴原等式成立．
21．【解析】（1）由sinA=sinBtanA，得=，
所以sinB=cosA，即sinB=sin（+A）．
又B为钝角，因此+A∈（，π），故B=+A，即B–A=．
（2）由（1），知C=π–（A+B）=–2A>0，所以A∈（0，）．
于是sinA+sinC=sinA+sin（–2A）=sinA+cos2A=–2sin2A+sinA+1=–2（sinA–）2+．
因为0因此<–2（sinA–）2+≤，
即sinA+sinC的取值范围是（，]．
22．【解析】（1）因为f（x）=–cos2xcos+sin2xsin，
所以f（x）=cos2xcos+sin2xsin=cos（2x–），
所以函数f（x）的最小正周期T==π．
（2）因为f（α）=，且f（β）=，
所以cos（2α–）=，cos（2β–）=．
又<α<β<，所以2α–，2β–∈（0，），
所以sin（2α–）==，
sin（2β–）==，
所以cos（2β–2α）
=cos[（2β–）–（2α–）]
=cos（2β–）·cos（2α–）+sin（2β–）sin（2α–）
=×+×
=．
又<α<β<，所以0<2β–2α<，所以2β–2α=．