人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.1 任意角和弧度制

第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
知识
1．任意角
（1）角的概念
角可以看成平面内一条____________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．
（2）象限角：角的顶点与____________重合,角的始边与x轴的____________重合,那么角的终边在第几象限,就认为这个角是第几象限角．具体表示如下：
象限角
角的表示
第一象限的角
{α|k·360°<α第二象限的角
{α|k·360°+90°<α第三象限的角
{α|k·360°+180°<α第四象限的角
{α|k·360°–90°<α（3）轴线角：若角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限．具体表示如下：
轴线角
角的表示
终边在x轴非负半轴上的角
{α|α=2kπ,k∈Z}
终边在x轴非正半轴上的角
{α|α=(2k–1)π,k∈Z}
终边在y轴非负半轴上的角
{α|α=2kπ+,k∈Z}
终边在y轴非正半轴上的角
{α|α=2kπ–,k∈Z}
终边在x轴上的角
{α|α=kπ,k∈Z}
终边在y轴上的角
{α|α=kπ+,k∈Z}
终边在坐标轴上的角
{α|α=,k∈Z}
（4）终边相同的角：所有与角α终边相同的角连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}={β|β=α+2kπ,k∈Z}．
2．弧度制
（1）定义：把长度等于___________的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作___________,这种用弧度作单位来度量角的单位制叫作弧度制．
（2）角α的弧度数公式：|α|=(弧长用l表示)．
（3）角度与弧度的换算：①1°=___________ rad;②1 rad=___________°．
（4）弧长公式：弧长l=___________．
（5）扇形面积公式：S=___________．
知识参考答案：
1．（1）射线 逆时针 顺时针 零角（2）原点 非负半轴
2．（1）半径 1 rad （3）① ② （4）|α|r （5）l·r=|α|·r2
重点
重点
1．理解并掌握正角、负角、零角的概念；
2．掌握终边相同的角的表示方法及判定方法；
3．了解弧度制，能进行弧度与角度的互化；
4．由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数．
难点
1．把终边相同的角用集合表示出来；
2．可以从六十进制与十进制区别角度制与弧度制；
3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式，能用公式进行简单的弧长及面积运算．
易错
注意从六十进制与十进制区别角度制与弧度制．
1．任意角
角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
角的表示：如图，
（1）始边：射线的起始位置OA；
（2）终边：射线的终止位置OB；
（3）顶点：射线的端点O；
（4）记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．
【例1】自行车大链轮有36齿，小链轮有24齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是_____________度．
【答案】–540°
【解析】因为大链轮转过一周时，小链轮转36齿．而小链轮有24齿，故小链轮转周，一周为360°，而大链轮和小链轮转动的方向相反，故小链轮转过的角度为–360°×=540°，故答案为：–540°．
【名师点睛】
（1）在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向．
（2）为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”．
（3）当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；但当角的始边相同时，若终边也相同，则角不一定相等．
2．角的分类
在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向一一顺时针方向和逆时针方向．习惯上规定：
名称
定义
图形
正角
一条射线按逆时针方向旋转形成的角
负角
一条射线按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转
这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．
【例2】时针走过2时40分，则分针转过的角度是
A．80° B．–80° C．960° D．–960°
【答案】D
【解析】∵40÷60=，∴360°×=240°，由于时针都是顺时针旋转，∴时针走过2小时40分，分针转过的角的度数为–2×360°–240°=–960°，故选D．
【名师点睛】（1）正确理解正角、负角、零角的定义，关键是抓住角的终边的位置是由角的始边所对应的射线按照逆时针方向旋转、顺时针方向旋转还是没有旋转得到的．
（2）高中阶段所说的角实际上是初中所学概念“由一点出发的两条射线组成的图形叫做角”的推广．对于角的形成过程，既要知道旋转量又要知道旋转方向．
（3）角的概念推广后，角度的范国不再限于0°~360°．
（4）正常情况下，如果果以零时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是负角．
3．象限角、轴线角、终边相同的角
（1）在平面直角坐标系中，如果角的顶点在在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，便称此角为第几象限角．
（2）轴线角：若角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限．
（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}={β|β=α+2kπ,k∈Z}．
（4）确定角（n∈N）终边所在象限的方法：
已知角终边所在的象限，确定（n∈N）终边所在象限的常用方法有以下两种：
一是分类讨论法．利用已知条件写出α的范围（用k表示），由此确定的范围，然后对k进行分类讨论，从而确定所在象限．
二是几何法．先把各象限均分为n等份，再从x轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四，一、二、三、四，…则α原来是第几象限角，标号为几的区域即终边所在的区域．
【例3】已知α锐角，那么2α是
A．小于180°的正角 B．第一象限角
C．第二象限角 D．第一或二象限角
【答案】A
【解析】∵α锐角，∴0°<α<90°，∴0°<2α<180°，故选A．
【例4】与终边相同的角的集合是____________．
4．弧度制
与角度制中先定义1度角的大小一样，我们也要先定义1弧度的角：
定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．
（1）正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零．
这样就在角的集合与实数集之间建立了一一对应关系．
（2）如果半径为的圆的圆心角所对弧的长为，那么角的弧度数的绝对值是．即的值就是弧长中有多少个半径．这里，的正负由角的终边的旋转方向决定．
（3）角度与弧度的换算：1°= rad≈0.01745 rad，1 rad=()°≈57.30°=57°18′．
特别地，弧度，弧度．
【例5】–300°化为弧度是
A．– B．– C．– D．–
【答案】B
【解析】–300°=– rad=– rad，故选B．
【名师点睛】
（1）把弧度作为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，但把度(°)作为单位表示角时，度(°)一定不能省略；
（2）正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零；
（3）在一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
（4）特殊角的度数与弧度数的对应表：
度]
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
5．弧长及扇形面积公式
（1）弧长公式：弧长l=|α|r ．
（2）扇形面积公式：S=l·r=|α|·r2．
【例6】已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为扇形面积为，半径是1，S=l·r，所以扇形的弧长为，因为l=|α|r ，所以扇形的圆心角为．故选C．
【名师点睛】在应用弧长公式l=|α|r 及扇形面积公式S=l·r时，要注意的单位是“弧度”，而不是“度”，如果已知角是以“度”为单位的，则必须先把它化成以“弧度”为单位后再代入计算．
基础训练
1．下列角中，终边与123°相同的角是
A．237° B．–123° C．483° D．–483°
2．若α=–835°，则角α的终边在
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．在0到2π范围内，与角终边相同的角是
A． B．
C． D．
4．有小于360°的正角，这个角的5倍角的终边与该角的终边重合，这个角的大小是
A．90° B．180°
C．270° D．90°，180°或270°
5．手表时针走过1小时，时针转过的角度
A．60° B．–60°
C．30° D．–30°
6．经过2小时，钟表上的时针旋转了
A．60° B．–60°
C．30° D．–30°
7．2018°的终边在
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．45°=
A． B．
C． D．
9．–150°的弧度数是
A．– B．
C．– D．–
10．半径为π cm，圆心角为150°的扇形的弧长为
A． B．
C． D．
能力提升
11．已知集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是
A． B．
C． D．
12．下列说法中正确的是
A．120°角与420°角的终边相同
B．若α是锐角．则2α是第二象限的角
C．–240°角与480°角都是第三象限的角
D．60°角与–420°角的终边关于x轴对称
13．下列命题中正确的是
A．终边在x轴负半轴上的角是零角
B．第二象限角一定是钝角
C．第四象限角一定是负角
D．若β=α+k?360°（k∈Z），则α与β终边相同
14．若角α满足α=45°+k?180°，k∈Z，则角α的终边落在
A．第一或第二象限 B．第一或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
15．若一段圆弧的长度等于该圆内接正三角形的边长，则这段弧所对圆心角弧度为
A． B．
C． D．
16．–π的角化为角度制的结果为___________，–135°的角化为弧度制的结果为___________．
17．你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了2分钟，则秒针转过的角的弧度数是___________．
18．如图，已知扇形AOB的面积是4 cm2，它的周长是10 cm，则扇形的圆心角α（0<α<2π）的弧度数是___________．
19．已知角α=390°
（1）角α的终边在第几象限；
（2）写出与角α终边相同的角的集合；
（3）在–360°～720°范围内，写出与α终边相同的角．
20．已知角β的终边在直线y=–x上．
（1）写出角β的集合S；
（2）写出S中适合不等式–360°<β<360°的元素．
21．已知α=–1090°．
（1）把α写成β+k?360°（k∈Z，0°≤β<360°）的形式，并指出它是第几象限角
（2）写出与α终边相同的角θ构成的集合S，并把S中适合不等式–360°≤θ<360°的元素θ写出来．
22．已知α=．
（1）写出所有与α终边相同的角；
（2）写出在（–4π，2π）内与α终边相同的角；
（3）若角β与α终边相同，则是第几象限的角？
23．已知α=1690°，
（1）把α表示成2kπ+β的形式（k∈Z，β∈[0，2π））．
（2）求θ，使θ与α的终边相同，且θ∈（–4π，–2π）．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
C
C
D
D
B
C
B
A
D
11
12
13
14
15
B
D
D
B
C
1．【答案】C
【解析】终边与123°相同的角的集合为{α|α=123°+k?360°，k∈Z}．取k=1，得α=483°．故选C．
2．【答案】C
【解析】因为–835°=–2×360°–115°，由角的定义得–115°的终边在第三象限，所以角α的终边在第三象限，故选C．
3．【答案】C
【解析】与角终边相同的角是2kπ+（），k∈Z．令k=1，可得与角终边相同的角是，故选C．
4．【答案】D
【解析】设这个角为α，则5α=k?360°+α，k∈Z，解得α=k?90°，又∵0°<α<360°，∴α=90°，180°或270°．故选D．
5．【答案】D
【解析】由于时针顺时针旋转，故时针转过的角度为负数．–×360°=–30°，故选D．
6．【答案】B
【解析】钟表上的时针旋转一周是–360°，其中每小时旋转–=–30°，所以经过2小时应旋转–60°．故选B．
9．【答案】A
【解析】∵1°=rad，∴–150×=–．故选A．
10．【答案】D
【解析】150°=，所以扇形的弧长l=（cm）．故选D．
11．【答案】B
【解析】对于集合A={α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，当k=0时，表示B={α|≤α≤}；当k∈Z，表示与集合B终边相同的角，故选B．
12．【答案】D
【解析】A，420°=360°+60°，∴420°与60°角的终边相同，A不正确；B，若α是锐角，则0°<α<90°，0°<2α<180°．则2α不一定是第二象限的角，B不正确；C，480°=360°+120°，∴480°与120°角的终边相同，是第二象限的角，C不正确；D，–420°=–360°–60°，∴–420°与–60°角的终边相同，∴60°角与–420°角的终边关于x轴对称，D正确．故选D．
13．【答案】D
【解析】A，终边在x轴负半轴上的角是零角，例如–180°，不是零角，所以A不正确；B，第二象限角不一定是钝角，例如：460°是第二象限角，但是不是钝角，所以B不正确；C，第四象限角不一定是负角，也可以是正角，例如：300°是第四象限角，是正角，所以C不正确；D，若β=α+k?360°（k∈Z），则α与β终边相同，满足终边相同角的表示方法，正确．故选D．
14．【答案】B
【解析】α=45°+k?180°，k∈Z；当k为偶数时，α为第一象限角，特别地，如当k=0时，α=45°；当k为奇数时，α为第三象限角，特别地，如当k=1时，α=225°．∴角α的终边落在第一或第三象限．故选B．
15．【答案】C
【解析】不妨设等边△ABC的外接圆的半径为2，如图，取BC的中点D，连接OD，OC，则∠OCB=30°．由垂径定理的推论可知，OD⊥BC，在Rt△OCD中，OD=OC=1，∴CD=，∴边长BC=2．设该圆弧所对圆心角的弧度数为θ，则由弧长公式可得2θ=2，∴θ=．故选C．
16．【答案】–300°；
【解析】–π==–300°；–135°=–135°×．故答案为：–300°；．
17．【答案】–4π
【解析】由于经过2分钟，秒针转过2圈，一个周角为2π，又由顺时针旋转得到的角是负角，故秒针转过的角的弧度数是–4π，故答案为：–4π．
18．【答案】
【解析】设半径为r，由题意可得：2r+αr=10，=4，0<α<2π．化为2α2–17α+8=0．解得α=．故答案为：．
19．【解析】（1）∵390°=360°+30°，30°是第一象限角，
∴角α的终边在第一象限；
（2）所有和角α终边相同的角的集合为{β|β=k?360°+30°，k∈Z}；
（3）∵β=k?360°+30°，
∴当k=–1时，β=–330°，
当k=0时，β=30°，
当k=1时，β=390°，
∴在–360°～720°范围内，与α终边相同的角是–330°，30°，390°．
20．【解析】（1）直线y=–x过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，
故在0°～360°范围内终边在直线y=–x上的角有两个：135°，315°．
因此，终边在直线y=–x上的角的集合
S={β|β=135°+k?360°，k∈Z}∪{β|β=315°+k?360°，k∈Z}
={β|β=135°+2k?180°，k∈Z}∪{β|β=135°+（2k+1）?180°，k∈Z}
={β|β=135°+n?180°，n∈Z}．
（2）由于–360°<β<360°，
即–360°<135°+n?180°<360°，n∈Z．
解得–所以集合S中适合不等式–360°<β<360°的元素为：
135°–2×180°=–225°；
135°–1×180°=–45°；
135°+0×180°=135°；
135°+1×180°=315°．
22．【解析】（1）所有与α终边相同的角可表示为{θ|θ=2kπ+，k∈Z}．
（2）由（1）令–4π<2kπ+<2π（k∈Z），
则有–2–又∵k∈Z，∴取k=–2，–1，0．
故在（–4π，2π）内与α终边相同的角是–、–、．
（3）由（1）有β=2kπ+（k∈Z），则=kπ+（k∈Z），
当k为偶数时，在第一象限，当k为奇数时，在第三象限．
∴是第一、三象限的角．