人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.2 任意角的三角函数

第一章 三角函数
1.2任意角的三角函数
知识
1．任意角的三角函数的定义
（1）设角α终边上任意一点P（原点除外）的坐标为（x，y），它与原点的距离为r，
则sin α=___________，cos α=___________，tan α=___________（x≠0）．
（2）三角函数值在各象限内的符号
上述符号规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
（3）利用单位圆定义三角函数
若点P（x，y）为角α的终边与单位圆的交点，如图，
则sin α=___________，cos α=___________，tan α=___________（x≠0）．
2．诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等，即
sin（α+2kπ）=___________，
cos（α+2kπ）=___________，
tan（α+2kπ）=___________，其中k∈Z．
3．三角函数线
设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线（或反向延长线）于T点，则有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的___________、___________、___________．各象限内的三角函数线如下：
角所在的象限
图形
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
4．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α=1．
（2）商的关系：tan α=．
（3）公式常见变形：
①sin2α=1-cos2α；②cos2α=1-sin2α；③sin α=±；
④cos α=±；⑤sin α=cos αtan α；⑥cos α=；
⑦sin2α==；⑧cos2α==．
知识参考答案：
1．（1），，． （3），，．
2．sin α，cos α，tan α． 3．正弦线、余弦线、正切线
重点
重点
1．理解任意角的正弦、余弦和正切的定义，并会利用定义求值；
2．结合单位圆定义三角函数，判断三角函数在各个象限的符号；
3．掌握握三角函数诱导公式一．
4．掌握同角三角函数的基本关系式．
难点
1．会使用三角函数线表示三角函数值，理解三角函数线的画法，掌握三角函数值的规律．
2．能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简和证明．
易错
三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P（x，y）在终边上的位置无关，只由角a的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．
1．对三角函数定义的理解
（1）三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合（弧度制）到一个实数集合的对应；
（2）三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围；
（3）三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P（x，y）在终边上的位置无关，只由角a的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．
【例1】已知角α的终边上一点P（-，m）（m≠0），且sin α=，求cos α，tan α的值．
【答案】当m=时，cos α=-，tan α=-；当m=-时，cos α=-，tan α=．
【例2】已知角α的终边经过点（-8，-6），则cos α的值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设知x=-8，y=-6，所以r=，所以cos α=，故选C.
【名师点睛】利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况（点所在象限不同）进行分析．
2．三角函数值的正负判断
为了便于记忆，我们把三角函数值在各象限内的符号规律概括为下面的口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．
【例3】确定下列各式的符号：
（1）sin 103°·cos 220°；
（2）cos 6°·tan 6.
【答案】（1）负号；（2）负号.
【解析】（1）因为103°、220°分别是第二、第三象限的角，
所以sin 103°>0，cos 220°<0，
所以sin 103°·cos 220°<0；
（2）因为，所以6是第四象限的角，
所以cos 6>0，tan 6<0，
所以cos 6°·tan 6<0.
【名师点睛】准确记忆各三角函数值在各象限内的符号：
3．三角函数线
（1）位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；
（2）方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与a的终边（或其延长线）的交点；
（3）正负：三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值；
（4）书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．
【例4】角和角有相同的
A．正弦线 B．余弦线 C．正切线 D．不能确定
【答案】C
【解析】在同一坐标系内作出角和角的三角函数线可知，它们的的正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．故选C．
【名师点睛】对三角函数定义的考查有以下三种形式：
（1）给定角的终边上一点，求某个三角函数值，直接利用定义即可；
（2）给定角的某个三角函数值，求角的终边上一点的坐标，根据定义，列方程（组）求解；
（3）给定角的终边所在直线，求三角函数值，在终边上取点，利用定义求解，当终边不定时，要分类讨论．
4．同角三角函数的基本关系
通过三角函数的定义探究同一个角a的正弦、余弦、正切值之间的关系，即同角三角函数的基本关系式，这些公式是三角函数化简、求值、证明的基础．
【例5】已知sinα+cosα=–，α∈（0，π），则tanα的值为
A．–或– B．–
C．– D．
【答案】C
【解析】∵sinα+cosα=–，α∈（0，π），∴α为钝角，结合sin2α+cos2α=1，∴sinα=，cosα=–，则tanα==–，故选C．
【名师点睛】（1）平方关系：sin2α+cos2α=1．
（2）商的关系：tan α=．
（3）公式常见变形：
①sin2α=1-cos2α；②cos2α=1-sin2α；
③sin α=±；④cos α=±；
⑤sin α=cos αtan α；⑥cos α=；
⑦sin2α==；⑧cos2α==．
5．诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等，即
sin（2kπ+α）=sinα （k∈Z）；cos（2kπ+α）=cosα （k∈Z）；tan（2kπ+α）=tanα （k∈Z）．
【例6】sin780°=
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵sin780°=sin（720°+60°）=sin60°=，∴sin780°=．故选A．
【名师点睛】sin（α+2kπ）=sin α，cos（α+2kπ）=cos α，tan（α+2kπ）=tan α，其中k∈Z．
基础训练
1．已知sinα<0，且tanα>0，则α的终边所在的象限是
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若α为第二象限的角，且tanα=–，则cosα=
A． B．– C． D．–
3．若角α的终边经过点P（4，–3），则cosα=
A．± B．– C． D．±
4．已知sinα，cosα是方程3x2–2x+a=0的两根，则实数a的值为
A． B． C． D．
5．若角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点（1，–2），则tanα的值为
A． B．–2 C．– D．
6．若角α的终边与单位圆的交点为P（，–），则tanα=
A． B．– C． D．–
7．如果角θ的终边经过点，那么tanθ的值是
A． B． C． D．2
8．已知角α的终边经过点P（–1，2），则sinα=
A． B． C．–2 D．
9．已知tanα=1，则=
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知角α的终边过点P（t，–3），且，则t的值是
A．4 B．–4
C．3 D．–3
能力提升
11．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若终边经过点P（1，–2），则tanα的值为
A． B．
C．–2 D．
12．若tanα=2，则=
A．5 B．6
C．7 D．±7
13．若角α的终边落在直线x+y=0上，则sinα的值为
A．–1 B．1
C．± D．
14．已知角的终边过点（1，–2），则sinθcosθ=
A．– B．
C．– D．
15．如果点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，那么角θ所在的象限是
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
16．若角α终边经过点P（sin），则sinα=
A． B．
C． D．
17．点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为
A． B．
C． D．
18．适合条件|sinα|=–sinα的角α是__________．
19．已知，x是第二、三象限角，则a的取值范围是__________．
20．已知tanα=–，求：
（1）的值；
（2）2sinαcosα+cos2α的值．
21．已知tanα=–，求的值．
22．（1）已知cosb=–，且b为第二象限角，求sinb的值；
（2）已知tanα=2，计算的值．
23．已知tαnα=3，计算：
（1）；（2）sinα?cosα．
真题练习
24．（2018?全国）已知α为第二象限的角，且tanα=–，则sinα+cosα=
A．– B．– C．– D．
25．（2019?北京）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanαA． B． C． D．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
D
C
B
B
D
A
B
C
A
11
12
13
14
15
16
17
24
25
C
C
C
A
B
C
C
C
C
3．【答案】C
【解析】∵知角a的终边经过点P（4，–3），∴cosa=，故选C．
4．【答案】B
【解析】由题意，根据韦达定理得：sinα+cosα=，sinαcosα=，∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+cos2α=（sinα+cosα）2–2sinαcosα=，解得a=–，把a=–，代入原方程得3x2–2x–=0，∵=504>0，∴a=–符合题意．故选B．
5．【答案】B
【解析】由题意可得x=1，y=–2，tanα==–2，故选B．
6．【答案】D
【解析】角α的终边与单位圆的交点为P（，–），则tanα==–．故选D．
7．【答案】A
【解析】∵角θ的终边经过点，则x=2，y=，tanθ=，故选A．
8．【答案】B
【解析】角α的终边经过点P（–1，2），则sinα=，故选B．
9．【答案】C
【解析】由tanα=1，得．故选C．
12．【答案】C
【解析】∵tanα=2，∴．故选C．
13．【答案】C
【解析】角α的终边落在直线x+y=0上，取x=1，得y=–1，，∴sinα==–．取x=–1，得y=1，，∴sinα=．综上，sinα=．故选C．
14．【答案】A
【解析】∵角的终边过点（1，–2），∴x=1，y=–2，r=，则cosθ=，sinθ==–，∴sinθcosθ=–×=–，故选A．
15．【答案】B
【解析】∵点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，∴，∴角θ所在的象限是第二象限．故选B．
16．【答案】C
【解析】∵角α终边经过点P（sin），即点P（，–），∴x=，y=–，r=|OP|=1，则sinα==y=–，故选C．
17．【答案】C
【解析】点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx=，所以Q（cos，sin），所以Q．故选C．
20．【答案】（1）；（2）–．
【解析】（1）∵tanα=–，
∴．
（2）由tanα=–，
于是2sinαcosα+cos2α==–．
21．【答案】–．
【解析】∵tanα=–，∴
==–．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵cosb=–，且b为第二象限角，∴sinb=．
（2）∵已知tanα=2，∴．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵tαnα=3，∴．
（2）∵tαnα=3，∴sinα?cosα=．
24．【答案】C
【解析】tanα==–，①，sin2α+cos2α=1，②，又α为第二象限的角，∴sinα>0，cosα<0，联立①②，解得，，则sinα+cosα=．故选C．
25．【答案】C
【解析】A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα